Chắc hẳn khi tiếp xúc với bài toán về tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị, không ít các em học sinh sẽ hoang mang vì nhầm lẫn giữa các khái niệm và phân biệt công thức chính xác. Bài viết dưới đây sẽ giải thích rõ hơn về tổ hợp và chỉnh hợp hoán vị để mỗi học sinh đều nắm chắc các định nghĩa và công thức thật chuẩn nhé! Show
Nếu tách riêng nghĩa từng từ ra, chúng ta có thể hiểu đơn giản rằng “hoán” trong từ hoán đổi và “vị” trong từ vị trí. Ta cho một tập hợp X gồm n phần tử phân biệt với n ≥ 0. Mỗi một cách sắp xếp n phần tử của X theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.  2. Tổ hợp là gì?Trong chương trình Toán học, tổ hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong một vài trường hợp chúng ta còn có thể đếm được số tổ hợp. Tổ hợp chập k của n phần tử được hiểu là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử, mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Với mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n > 0) được gọi là một tổ hợp chập k của n. 3. Chỉnh hợp là gì?Chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự. 4. Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vịThông qua định nghĩa, chúng ta có thể thấy tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước như sau:
Do đó chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị như sau: $A^{k}n=C^{k}nP_{k}$ 5. Công thức tính hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp5.1. Công thức tính chỉnh hợpTheo những định nghĩa nêu trên, ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với $1\leq k\leq n$ với công thức: $A^{k}n=\frac{n!}{(n-k)!}=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn Hưng, Hoàng, Hiếu vào hai chỗ ngồi cho trước? Giải: $A_{3}^{2}=\frac{3!}{(3-2)!}=3!=6$ cách Ví dụ 2: Sẽ có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)? Giải: Ta có mỗi một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy ra từ 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và sắp xếp chúng theo thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy sẽ được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Vậy số các số cần tìm là các số: $A_{7}^{4}$=840 số 5.2. Công thức tổ hợp, ví dụ về tổ hợpTa có tổ hợp chập k của n phần tử ($1\leq k\leq n$) là : $C^{k}n=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$ Trong đó có kn và có kết quả bằng 0 khi có k > n. Ví dụ 1: Ông A có 11 người bạn. Ông A muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời? Giải: Ông A chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn còn lại, ta có: $2.C_{4}^{9}$=252 Ông A không mời 2 người bạn đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có: $C_{5}^{9}$=126 Như vậy tổng cộng ông A có 252+126=378 cách mời. Ví dụ 2: Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật? Mỗi một cách chọn ra 2 bạn để làm công việc trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy chúng ta có số cách chọn là: $C_{5}^{2}$=10. >> Xem thêm: Công thức tính tổ hợp xác suất và các dạng bài tập 5.3. Công thức tính hoán vịỞ công thức hoán vị rất đơn giản, khi cho tập hợp gồm n phần tử (n > 0), chúng ta có được công thức hoán vị của n phần tử đã cho là: Pn=n! Ví dụ 1: Cho một tập hợp A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập hợp A chúng ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số phân biệt? Giải: Áp dụng theo công thức $P_{n}$=n! ta có: $P_{5}$=5!=120 số Ví dụ 2: Hãy tính số cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dọc. Giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_{10}$=10! VUIHOC đã giúp các em nắm rõ hơn về lý thuyết công thức tổ hợp chỉnh hợp cũng như hoán vị. Bên cạnh đó, nền tảng học online Vuihoc.vn có những khóa học và ôn thi đại học dành cho học sinh lớp 11, các em có thể đăng ký khóa học để bổ sung thêm nhiều kiến thức bổ ích của môn Toán nhé! Chúc các bạn học tập thật tốt.
>> Xem thêm: Hoán vị gen là gì? Ý nghĩa, quy luật liên kết và bài tập
Toán 11 | Tổng ôn học kỳ II môn Toán
27 clip dạng bài trọng tâm, hơn 600 bài tập bám sát chương trình ôn thi HKII Toán 11, 20 đề thi HKII chọn lọc có hướng dẫn chi tiết, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi. 1.000.000₫ Chỉ còn 700.000 ₫ Chỉ còn 2 ngày BÀI TẬP HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP CÓ ĐÁP ÁN Vấn đề 1. HOÁN VỊ Câu 1: Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A. 120. B. 100. C. 80. D. 60. Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A. 120 B. 5 C. 20 D. 25 Câu 3: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A. 6!4!. B. 10!. C. 6!− 4!. D. 6!+ 4!. Câu 4: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A. 24. B. 120. C. 60. D. 16. Câu 5: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A. 120. B. 16 C. 12. D. 24. Câu 6: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24. B. 48. C. 72. D. 12. Câu 7: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 725760. C. 103680. D. 518400. Câu 8: Cô dâu và chú rể mời 6 người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A. 8!− 7!. B. 2.7!. C. 6.7!. D. 2! +6!. Câu 9: Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau. A. 20! − 18!. B. 20! − 19!. C. 20! − 18!.2!. D. 19!.18. Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A. 12. B. 24. C. 4. D. 6. Câu 11: Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 576. B. 144. C. 2880. D. 1152. Câu 12: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau? A. 44 . B. 24. C. 1. D. 42. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A. 15. B. 720. C. 30. D. 360. Câu 14: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A. 35. B. 30240. C. 210. D. 21. Câu 15: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A. 60. B. 10. C. 15. D. 720. Câu 16: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280. Câu 17: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0→ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30. Câu 18: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5! Câu 19: Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A. 336. B. 56. C. 24. D. 120. Câu 20: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A. 210. B. 200. C. 180. D. 150. Câu 21: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370. Câu 22: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900. Câu 23: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049. Câu 24: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376. Câu 25: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, …, 9? A. 15120. B. 9 5. C. 59 . D. 126. Câu 26: Cho tập A = { 0,1, 2, …, 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A. 30420. B. 27162. B C. 27216. D. 30240. Câu 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455. Câu 29: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A. 25. B. 252. C. 50. D. 455. Câu 30: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A. 25. B. 42. C. 50. D. 35. Câu 31: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365. Câu 32: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942. Câu 33: Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con? A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652. Câu 34: Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A. 100. B. 105. C. 210. D. 200. Câu 35: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A. 10. B. 30. C. 6. D. 60. Câu 36: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? A. 2018!2016!. . B. 2016!2!. C. 2018!2!. D. 2018!2016!.2!. Câu 37: Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên? A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác. Câu 38: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác. Câu 39: Cho 10 điểm phân biệt A1 , A2 , ..., A10 trong đó có 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên? A. 96 tam giác. B. 60 tam giác. C. 116 tam giác. D. 80 tam giác. Câu 40: Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A. 1440. B. 360. C. 1120. D. 816. Câu 41: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này. A. 5690. B. 5960. C. 5950. D. 5590. Câu 42: Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là: A. 10. B. 20. C. 18. D. 22. Câu 43: Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là: A. 50. B. 100. C. 120. D. 45. Câu 44: Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là A. 90. B. 45. C. 35. D. Một số khác. Câu 45: Cho đa giác đều n đỉnh n ≥3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n =15. B. n = 27. C. n = 8. D. n =18. Câu 46: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A. 60. B. 48. C. 20. D. 36. Câu 47: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ? A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970. Câu 48: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? A. 4! C 41C51. B. 3! C 32C52. C. 4! C 42 C52. D. 3! C 42C52. Câu 49: Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu. A. 300. B. 310. C. 320. D. 330. Câu 50: Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ? A. 455. B. 7. C. 456. D. 462. Câu 51: Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. A. C195. B. C 355 −C195. C. C 355 −C165. D. C165. Câu 52: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam? A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080. Câu 53: Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500. Câu 54: Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số các chia nhóm là: A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510. Câu 55: Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? A. 3C3612. B. C3612 . C. 3C217C155 D. C217C155C147C105. Câu 56: Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ? A. 56. B. 112. C. 224. D. 448. Câu 57: Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 2163. B. 3843. C. 3003. D. 840. Câu 58: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 126. B. 102. C. 98. D. 100. Câu 59: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 85. B. 58. C. 508. D. 805. Câu 60: Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50. B. 500. C. 502. D. 501. Câu 61: Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A? A. 80. B. 78. C. 76. D. 98. Câu 62: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160. Câu 63: Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A. 654. B. 275. C. 462. D. 357. Câu 64: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200. Câu 65: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A. 69. B. 88. C. 96. D. 100. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66: Tìm tất cả các giá trị x thuộc ℕ thỏa mãn 6(Px − Px −1 ) = Px +1. A. x = 2. B. x = 3 C. x = 2; x = 3. D. x = 5. Câu 67: Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2.x2-P3.x=8. A. S =−4. B. S =−1. C. S = 4. D. S = 3. Câu 68: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3.A2x-A22x+42=0. A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. Câu 69: Cho số tự nhiên x thỏa mãn Ax10+Ax9=9.Ax8. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố. C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3. Câu 70: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An3+5An2=2(n+15)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 71: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+11+3Cn+22=Cn+13 A. n =12. B. n = 9. C. n =16. D. n = 2. Câu 72: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãnC14x+C14x+2=2C14x+1. A. P = 4. B. P = 32. C. P =−32. D. P = 12. Câu 73: Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 A. S = 8. B. S =11. C. S =12. D. S =15. Câu 74: Tìm giá trị x ∈ ℕ thỏa mãn Cx0+Cxx-1+Cxx-2=79. A. x =13. B. x =17. C. x =16. D. x =12. Câu 75: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+4n+1-Cn+3n=7(n+3). A. n =15. B. n =18. C. n =16. D. n =12. Câu 76: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn1+Cn2+Cn3=7n2. A. n =3. B. n =4. C. n =6. D. n =8. Câu 77: Tính tổng S tất cả các giá trị của x thỏa mãn Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x. A. S=2. B. S=7. C. S=9. D. S=14. Câu 78: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa Cn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 A. n =18. B. n =16. C. n =15. D. n =14. Câu 79: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn PnAn2+72=6(An2+2P2). A. P =12. B. P = 5. C. P =10. D. P = 6. Câu 80: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 7(Ax+1x-1+2Px-1)=30Px. A. P =7. B. P = 4. C. P = 28. D. P =14. Câu 81: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+8n+3=5An+63 A. n =15. B. n =17. C. n = 6. D. n = 14 Câu 82: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãnAx2.Cxx-1=48. A. x = 4. B. x = 3. C. x =7. D. x =12. Câu 83: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn An2-Cn+1n-1=5. A. n = 3. B. n = 5. C. n = 4. D. n = 6. Câu 84: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn An2-3Cn2=15-5n. A. P = 5. B. P = 6. C. P = 30. D. P = 360. Câu 85: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn 3Ax4=24(Ax+13-Cxx-4). A. x = 3. B. x =1. C. x = 5. D. x = 1; x = 5. Câu 86: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An+44(n+2)!<15(n-1)!? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 87: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+12+3An2-20<0? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 88: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+12+3An2<30? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 89: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 14P3.Cn-1n-3<An+14? A. 1 B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 90: Giải hệ phương trình Cxy-Cxy+1=04Cxy-5Cxy-1=0 A. (x ; y ) =(17;8) . B. (x ; y ) =(17;-8 ) . C. (x ; y ) = ( 9;8 ) . D. (x ; y) = ( 7;9). ----------------------------------------------- ĐÁP ÁN
LỜI GIẢI Vấn đề 1. HOÁN VỊ Câu 1: Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A. 120. B. 100. C. 80. D. 60. Lời giải. Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5!=120 cách. Chọn A. Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A. 120 B. 5 C. 20 D. 25 Lời giải. Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5!=120 cách. Chọn A. Câu 3: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A. 6!4!. B. 10!. C. 6!− 4!. D. 6!+ 4!. Lời giải. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có 10! cách. Chọn B. Câu 4: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A. 24. B. 120. C. 60. D. 16. Lời giải. Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! cách. Vậy có 24 cách xếp. Chọn A. Câu 5: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A. 120. B. 16 C. 12. D. 24. Lời giải. Xếp An và Dũng ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp. Số cách xếp 3 bạn Bình, Chi, Lệ vào 3 ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! cách. Vậy có 2!.3!=12 cách. Chọn C. Câu 6: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24. B. 48. C. 72. D. 12. Lời giải. Số cách xếp 5 bạn vào 5 chỗ trên ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5!=120 cách. Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là 2.4!=48 cách ( An và Dũng ngồi cạnh nhau xem như 1 bạn; xếp 4 bạn vào 4 chỗ có 4! cách; cách xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau là 2 !=2) Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là 120‐48 =72 cách. Chọn C. Câu 7: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 725760. C. 103680. D. 518400. Lời giải. Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3! Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3! Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4! Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5! ⇒ Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là 3!.3!.4!.5!=103680 cách. Chọn C. Câu 8: Cô dâu và chú rể mời 6 người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A. 8!− 7!. B. 2.7!. C. 6.7!. D. 2! +6!. Lời giải. Khi cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và đứng với 6 vị khách mời để chụp ảnh nên có 2.7! cách sắp xếp. Chọn B. Câu 9: Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau. A. 20! − 18!. B. 20! − 19!. C. 20! − 18!.2!. D. 19!.18. Lời giải. Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp. Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có 2.19! cách sắp xếp. Vậy có tất cả 20!-2.19!=19!.18 cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A. 12. B. 24. C. 4. D. 6. Lời giải. Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì . Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3!=6 cách. Chọn D. Câu 11: Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 576. B. 144. C. 2880. D. 1152. Lời giải. Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8. Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài). Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách. Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đẫ xếp ở trên có 4! cách. Vậy có 3!.4!=144 cách. Chọn B. Câu 12: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau? A. 44 . B. 24. C. 1. D. 42. Lời giải. Số các số tự nhiện có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là một hoán vị của 4 phần tử bằng 4!=24. Chọn B. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A. 15. B. 720. C. 30. D. 360. Lời giải. Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có A64=360 cách. Chọn D. Câu 14: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A. 35. B. 30240. C. 210. D. 21. Lời giải. Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Suy ra có A73=210 cách. Chọn C. Câu 15: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A. 60. B. 10. C. 15. D. 720. Lời giải. Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có A53=60 cách. Chọn A. Câu 16: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280. Lời giải. Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có A64=360 cách. Chọn B. Câu 17: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0→ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30. Lời giải. Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm A,B cho ta một vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra có A62=30 cách. Chọn D. Câu 18: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5! Lời giải. Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy có A115=55440. Chọn C. Câu 19: Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A. 336. B. 56. C. 24. D. 120. Lời giải. Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có A83=336. Chọn A. Câu 20: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A. 210. B. 200. C. 180. D. 150. Lời giải. Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy có A73=210. Chọn A. Câu 21: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370. Lời giải. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có: A153=2730 kết quả. Chọn A. Câu 22: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900. Lời giải. Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: A1004=94109400 kết quả. Chọn B. Câu 23: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049. Lời giải. Vì người giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 99 phần tử, do đó ta có: A993=941094 kết quả. Chọn C. Câu 24: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376. Lời giải. Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì: � Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải. � Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có A993=941094 cách . Vậy số kết quả bằng 4×A993=4×941094=3764376 kết quả. Chọn D. Câu 25: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, …, 9? A. 15120. B. 9 5. C. 59 . D. 126. Lời giải. Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, …, 9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy có A95=15120. Chọn A. Câu 26: Cho tập A = { 0,1, 2, …, 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A. 30420. B. 27162. B C. 27216. D. 30240. Lời giải. Gọi số cần tìm là abcde¯,a≠0. � Chọn a có 9 cách. � Chọn b,c,d,e từ 9 số còn lại có A94 =3024cách. Vậy có 9×3024=27216. Chọn C. Câu 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942. Lời giải. Ta chia thành các trường hợp sau: � TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có A74 số. � TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có A74 số. � TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác 0;1; 2;3 ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc 123 , còn lại 3 vị trí có A63 cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có 6.2.4.A63=5760 Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là 2A74+5760=7440. Chọn B. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455. Lời giải Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ ‐ công việc) là một tổ hợp chậm 3 của 40 (học sinh). Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là C403=40.!37!3!=9880. Chọn A. Câu 29: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A. 25. B. 252. C. 50. D. 455. Lời giải. Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có là C105=10!5!.5!=252. Chọn B. Câu 30: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A. 25. B. 42. C. 50. D. 35. Lời giải. Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Như vậy, ta có C75=7.!2!5!=35 cách chọn ban thường vụ. Chọn D. Câu 31: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365. Lời giải. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Như vậy, ta có C154=1365 kết quả. Chọn D. Câu 32: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942. Lời giải. Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi). Vậy ta có C126=924 cách lấy. Chọn B. Câu 33: Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con? A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652. Lời giải. Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử. Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là C522=1326. Chọn C. Câu 34: Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A. 100. B. 105. C. 210. D. 200. Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). Như vậy, ta có C152=15.!13!2!=105 trận đấu. Chọn B. Câu 35: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A. 10. B. 30. C. 6. D. 60. Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). Như vậy, ta có C152=15.!13!2!=105 trận đấu. Chọn B. Câu 36: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? A. 2018!2016!. .B. 2016!2!. C. 2018!2!. D. 2018!2016!.2!. Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm). Như vậy, ta có C20182=2018.!2016!2! đoạn thẳng. Chọn D. Câu 37: Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên? A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác. Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm). Như vậy, ta có C102=10!8!.2!=45 đường thẳng. Chọn C. Câu 38: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác. Lời giải. Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác. Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập 3 của 6 phần từ (điểm). Như vậy, ta có C63=20 tam giác. Chọn B. Câu 39: Cho 10 điểm phân biệt A1 , A2 , ..., A10 trong đó có 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên? A. 96 tam giác. B. 60 tam giác. C. 116 tam giác. D. 80 tam giác. Lời giải. Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là C103=120. Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1,A2,A3,A4 là C43=4. Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1,A2,A3,A4 thì sẽ không tạo thành tam giác. Như vậy, số tam giác tạo thành 120‐4 =116 tam giác. Chọn C. Câu 40: Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A. 1440. B. 360. C. 1120. D. 816. Lời giải. Lấy một cạnh bất kỳ của (H) làm cạnh của một tam giác có 20 cách. Lấy một điểm bất kỳ trong 18 đỉnh còn lại của (H) (trừ đi hai đỉnh của một cạnh) có 18 cách. Vậy số tam giác cần tìm là 20.18=360. Chọn B. Câu 41: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này. A. 5690. B. 5960. C. 5950. D. 5590. Lời giải. Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét: TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2→ có C171.C202 tam giác. TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2→ có C172.C201 tam giác. Như vậy, ta có C171.C202+C172.C201=5950 tam giác cần tìm. Chọn C. Câu 42: Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là: A. 10. B. 20. C. 18. D. 22. Lời giải. Hai đường tròn cho tối đa hai giao điểm. Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau. Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là 2.C52=20. Chọn B. Câu 43: Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là: A. 50. B. 100. C. 120. D. 45. Lời giải. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường thẳng nào song song. Và cứ hai đường thẳng ta có một giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường thẳng bất kỳ được lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta có C102=45 giao điểm. Chọn D. Câu 44: Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là A. 90. B. 45. C. 35. D. Một số khác. Lời giải. Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi. Vậy số đường chéo cần tìm là C102-10=10!8!.2!-10=35. Chọn C. Câu 45: Cho đa giác đều n đỉnh n ≥3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n =15. B. n = 27. C. n = 8. D. n =18. Lời giải. Đa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong n đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo. Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với � Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong n điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của n phần tử. Như vậy, tổng số đoạn thẳng là Cn2. � Số cạnh của đa giác lồi là n. Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là Cn2-n=nn-32. Theo bài ra, ta có n≥3nn-32=135 ⇔n≥3n2-3n-270=0⇔n=18ChọnD. Câu 46: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A. 60. B. 48. C. 20. D. 36. Lời giải. Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật. Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật là C42.C52=60. Chọn A. Câu 47: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ? A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970. Lời giải. Số cách chọn 3 học sinh nữ là: C203=1140 cách. Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: C152=105 cách. Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1140×105=119700. ChọnB. Câu 48: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? A. 4! C 41C51. B. 3! C 32C52. C. 4! C 42 C52. D. 3! C 42C52. Lời giải. Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp {2;4;6;8} là: C42 cách. Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp {1;3;5;7;9} là: C52 cách. Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách. Vậy có 4!×C42×C52 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 49: Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu. A. 300. B. 310. C. 320. D. 330. Lời giải. Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp: Số bi trắng Số bi xanh Số cách chọn TH1: Chọn 1 bị trắng và 3 bi xanh có C61×C53 cách. TH2: Chọn 2 bị trắng và 2 bi xanh có C62×C52 cách. TH3: Chọn 3 bị trắng và 1 bi xanh có C63×C51 cách. Vậy có tất cả C61×C53+C62×C52+C63×C51=310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: C115 cách. Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: C64 cách. Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là: C54 cách. Vậy có C115-C64+C54=310 cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu. Câu 50: Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ? A. 455. B. 7. C. 456. D. 462. Lời giải. Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là: C115 cách. Số cách chọn 5 học sinh nam là: C65 cách. Số cách chọn 5 học sinh nữ là: C55 cách. Vậy có C115-C65-C55=455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Cách 2. Do trong 5 học sinh được chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trường hợp sau: TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ có C61×C54cách. TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ có C62×C53cách. TH3: Chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ có C63×C52cách. TH4: Chọn 4 học sinh nam và 1 học sinh nữ có C64×C51cách. Vậy có C61×C54+C62×C53+C63×C52+C64×C51=455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 51: Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. A. C195. B. C 355 −C195. C. C 355 −C165. D. C165. Lời giải. Tổng số học sinh lớp 10A là 35 . Có C355 cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A. Có C195 cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A. Do đó có C355-C195 cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ. Chọn B. Câu 52: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam? A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080. Lời giải. Dùng phần bù Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là: C403 cách. Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là: C252×C151 cách. Số cách chọn 3 học sinh nam là: C253×C150 cách. Vậy có C403-C252×C151+C253×C150=3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 53: Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500. Lời giải. Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là: C201 cách. Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là: C191 cách. Số cách chọn 1 người trong 18 người còn lại làm thư kí là: C181 cách. Số cách chọn 3 người trong 17 người còn lại làm ủy viên là: C173 cách. Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là C201×C191×C181×C173=4651200. Chọn A. Câu 54: Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số các chia nhóm là: A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510. Lời giải. Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: C105 cách. Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: C53 cách. Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: C22 cách. Vậy có C105×C53×C22=2520 cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 55: Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? A. 3C3612 B. C3612 C. 3C217C155 D. C217C155C147C105. Lời giải. Số cách chọn nhóm thứ nhất là: C217×C155 cách. Số cách chọn nhóm thứ hai là: C147×C105 cách. Số cách chọn nhóm thứ ba là: C77×C55 cách. Vậy có C217×C155×C147×C105×C77×C55 =C217C155C147C105cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 56: Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ? A. 56. B. 112. C. 224. D. 448. Lời giải. Chọn 1 hồng đỏ và 6 hoa còn lại ( hồng vàng và hồng trắng) có C41×C86=112 Vậy có 11 cách chọn bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 57: Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 2163. B. 3843. C. 3003. D. 840. Lời giải. Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là: C155 cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu vàng là: C115 cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu đỏ là: C105 cách. Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu xanh là: C95 cách. Vậy có C155-C115+C105+C95=2163 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 58: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 126. B. 102. C. 98. D. 100. Lời giải. Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là 9 học sinh. Số cách chọn 5 học sinh bất kì trong 9 học sinh là: C95 cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là: C55 cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là: C65 cách. Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là: C75 cách. Vậy có C95-C55+C65+C75=98 cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 59: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó saocho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 85. B. 58. C. 508. D. 805. Lời giải. Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: C126 cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là: C76 cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 là: C86 cách. Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là: C96 cách. Vậy có C126-C76+C86+C96=805 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 60: Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50. B. 500. C. 502. D. 501. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra như sau: TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10. Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là: C51 cách. Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là: C109 cách. TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10. Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là: C52 cách. Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là: C108 cách. Vậy có C51×C109+C52×C108=500 cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 61: Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A? A. 80. B. 78. C. 76. D. 98. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra như sau: TH1. Chọn 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C cóC42×C32×C21 cách. TH2. Chọn 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C cóC42 ×C31 ×C22 cách. TH3. Chọn 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C có C43 ×C31 ×C21cách. Vậy có C42×C32×C21+C42×C31×C22+C43×C31×C21=78 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 62: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 trường hợp xảy ra như sau: TH1. Chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng có C81×C51×C32 cách. TH2. Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ và 0 viên bi vàng có C82×C52×C30 cách. Vậy có C81×C51×C32+C82×C52×C30=400 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 63: Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A. 654. B. 275. C. 462. D. 357. Lời giải. Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra: TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên. Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: C94 cách. Số cách lấy 4 viên bi xanh là: C44 cách. ⇒ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: C94-C44=125 cách. TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi vàng: C31 cách. Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: C52×C41 cách. Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: C53×C40 cách. ⇒ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: C31×C52×C41+C53×C40=150 cách. Vậy có 125+150=275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 64: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200. Lời giải. Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là: C53 cách. Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là: C63 cách. Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là: C31 cách. Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là: C21 cách. Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là: C11 cách. Vậy có C53×C63×C31×C21×C11=1200 cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 65: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A. 69. B. 88. C. 96. D. 100. Lời giải. Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên ta xét: TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý thuyết có C41 cách, tương ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập có C62 cách. Vậy có C41.C62 đề. TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tương tự TH1, ta sẽ tạo được C42.C61 đề. Vậy có thể tạo được C41×C62+C42×C61=96 đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66: Tìm tất cả các giá trị x thuộc ℕ thỏa mãn 6(Px − Px −1 ) = Px +1. A. x = 2. B. x = 3 C. x = 2; x = 3. D. x = 5. Lời giải. Điều kiện: x≥1 và x∈N. Ta có 6 Px-Px‐1=Px+1 ⇔6x!-x-1!=x+1! ⇔6x-1!.x-1=x-1!.xx+1 ⇔6.x-1=xx+1 ⇔x2-5x+6=0 ⇔x=2 (nhận) hoặc x=3 (nhận) Chọn C. Câu 67: Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2.x2-P3.x=8. A. S =−4. B. S =−1. C. S = 4. D. S = 3. Lời giải. Ta có P2.x2-P3.x=8⇔2!.x2-3!.x=8 ⇔2x2-6x-8=0⇔x=-1x=4 ⇒S=-1+4=3. Chọn D. Câu 68: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3.A2x-A22x+42=0. A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. Lời giải. Điều kiện: x≥2 và x∈N. Tacó 3Ax2-A2x2+42=0 ⇔3.x!x-2!-2x!2x-2!+42=0 ⇔3.x-1.x-2x-1.2x+42=0 ⇔x2+x-42=0⇔x=-7 (l)x=6 (n) Chọn B. Câu 69: Cho số tự nhiên x thỏa mãn Ax10+Ax9=9.Ax8. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố. C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3. Lời giải. Điều kiện: x≥10 và x∈N. Ta có Ax10+Ax9=9Ax8 ⇔x!x-10!+x!x-9!=9x!x-8! ⇔11+1x-9=9x-9x-8 ⇔x2-16x+55=0 ⇔x=5 (loại) hoặc x=11 (nhận) Chọn B. Câu 70: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An3+5An2=2(n+15)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: n≥3 và n∈N. Tacó An3+5An2=2n+15 ⇔n!n-3!+5.n!n-2!-2n-30=0 ⇔n-2.n-1.n+5.n-1.n-2n-30=0 ⇔n3+2n2-5n-30=0⇔n=3 Chọn B. Câu 71: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+11+3Cn+22=Cn+13 A. n =12. B. n = 9. C. n =16. D. n = 2. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Tacó Cn+11+3Cn+22=Cn+13 ⇔n+1!1!.n!+3.n+2!2!.n!=.n+1!3!n-2! ⇔n+1+3.n+1.n+22=n-1.n.n+16 ⇔1+3.n+22=n-1.n6 ⇔6+9n+18=n2-n ⇔n2-10n-24=0 ⇔n=-2 l hoặc n=12 (n) Chọn A. Câu 72: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãnC14x+C14x+2=2C14x+1. A. P = 4. B. P = 32. C. P =−32. D. P = 12. Lời giải. Điều kiện: 0≤x≤12 và x∈N. Ta có C14x+C14x+2=2C14x+1⇔ 14!x!14-x!+14!x+2!12-x!=214!x+1!13-x! ⇔114-x13-x+1x+1x+2=2.1x+113-x ⇔x+1x+2+14-x13-x=2x+214-x ⇔x2-12x+32=0⇔x=8x=4 →P=4.8=32. Chọn B. Câu 73: Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 A. S = 8. B. S =11. C. S =12. D. S =15. Lời giải. Điều kiện: n≥1 và n∈N. Ta có 1Cn1-1Cn+12=76Cn+41 ⇔n-1!n!-2!.n-1!n+1!=7n+3!6n+4! ⇔1n-2nn+1=76n+4 ⇔n2-11n+24=0⇔n=3 (n)n=8 (n) →S=3+8=11. Chọn B. Câu 74: Tìm giá trị x ∈ ℕ thỏa mãn Cx0+Cxx-1+Cxx-2=79. A. x =13. B. x =17. C. x =16. D. x =12. Lời giải. Điều kiện: x∈N . Ta có Cx0+Cxx-1+Cxx-2=79⇔Cx0+Cx1+Cx2=79 ⇔1+x+xx-12=79 ⇔x2+x-156=0 ⇔x=12 (nhận) hoặc x=-13l Chọn D. Câu 75: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+4n+1-Cn+3n=7(n+3). A. n =15. B. n =18. C. n =16. D. n =12. Lời giải. Điều kiện: n∈N. Tacó Cn+4n+1-Cn+3n=7n+3 ⇔Cn+43-Cn+33=7n+3 ⇔n+4n+23!-n+2n+13!=7 ⇔3n-36=0⇔n=12 (nhận). Chọn D. Câu 76: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn1+Cn2+Cn3=7n2. A. n =3. B. n =4. C. n =6. D. n =8. Lời giải. Ta có Cn1+Cn2+Cn3=7n2⇔ n!n-1!+n!2!.n-2!+n!3!n-3!=7n2 ⇔n2-16=0→n=4. Chọn B. Câu 77: Tính tổng S tất cả các giá trị của x thỏa mãn Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x. A. S=2. B. S=7. C. S=9. D. S=14. Lời giải. Tacó Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x ⇔x!1!.x-1!+6.x!2!.x-2!+6.x!3!.x-3!=9x2-14x ⇔x+3xx-1+x-2x-1x=9x2-14x ⇔x=0 (l); x=2 (l); x=7 (n) Chọn B. Câu 78: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa Cn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 A. n =18. B. n =16. C. n =15. D. n =14. Lời giải. Điều kiện: n≥9 và n∈N. Áp dụng công thức Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1, ta có Cn6+3Cn7+3Cn8+Cn9=2Cn+28 ⇔Cn6+Cn7+2Cn7+Cn8+Cn8+Cn9=2Cn+28 ⇔Cn+17+2Cn+18+Cn+19=2Cn+28 ⇔Cn+17+Cn+18+Cn+18+Cn+19=2Cn+28 ⇔Cn+28+Cn+29=2Cn+28 ⇔Cn+29=Cn+28→n+2=9+8⇔n=15. Chọn C. Câu 79: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn PnAn2+72=6(An2+2P2). A. P =12. B. P = 5. C. P =10. D. P = 6. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Tacó PnAn2+72=6An2+2Pn ⇔n!.n!n-2!+72=6n!n-2!+2.n! ⇔n!. n-1.n+72=6n-1n+2.n! ⇔n!-6n2-n-12=0 ⇔n2-n-12=0n!-6=0⇔n=4 (n)n=-3 (l)n=3 (n) ⇒P=4.3=12. Chọn A. Câu 80: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 7(Ax+1x-1+2Px-1)=30Px. A. P =7. B. P = 4. C. P = 28. D. P =14. Lời giải. Điều kiện: x≥1 và x∈N. Ta có 7 Ax+1x‐1+2Px‐1=30Px ⇔7x+1!2!+2.x-1!=30.x! ⇔7xx+12+2=30x ⇔7x2-53x+28=0 ⇔x=47l;x=7(n)→P=7. Chọn A. Câu 81: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn Cn+8n+3=5An+63 A. n =15. B. n =17. C. n = 6. D. n = 14 Lời giải. Áp dụng công thức Cnk=Cnn-k, ta có Cn+8n+3=5An+63⇔Cn+85=5.An+63 ⇔n+8n+75!=5 ⇔n2+15n-544=0 ⇔n=17 (n); n=-32 (l) Chọn B Câu 82: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãnAx2.Cxx-1=48. A. x = 4. B. x = 3. C. x =7. D. x =12. Lời giải. Điều kiện: x≥2 và x∈N. Tacó A2.Cxx‐1=48⇔x!x-2!.x!x-1!.1!=48 ⇔x-1x.x=48 ⇔x3-x2-48=0⇔x=4 (n). ChọnA. Câu 83: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn An2-Cn+1n-1=5. A. n = 3. B. n = 5. C. n = 4. D. n = 6. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Tacó An2-Cn+1n‐1=5⇔n!n-2!-n+1!n-1!2!=5 ⇔n-1.n-nn+12-5=0 ⇔n2-3n-10=0⇔n=-2 (l)n=5 (n) Chọn B. Câu 84: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn An2-3Cn2=15-5n. A. P = 5. B. P = 6. C. P = 30. D. P = 360. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Tacó An2-3Cn2=15-5n ⇔n!n-2!-3.n!2!.n-2!=15-5n ⇔nn-1-3nn-12=15-5n ⇔-n2+11n-30=0⇔n=6 (n); n=5 (n) →P=5.6=30. Chọn C. Câu 85: Tìm giá trị n ∈ ℕ thỏa mãn 3Ax4=24(Ax+13-Cxx-4). A. x = 3. B. x =1. C. x = 5. D. x = 1; x = 5. Lời giải. Điều kiện: x≥4 và x∈N. Tacó 3Ax4=24Ax+13-Cxx-4 ⇔23.x!x-4!=24.x+1!x-2!-x!x-4!.4! ⇔23.1x-4!=24.x+1x-2!-1x-4!.4! ⇔23.11=24.x+1x-2x-3-11.24 ⇔23=24x+1x-2x-3-1 ⇔x+1x-2x-3=1 ⇔x=5 (n); x=1 (l) Chọn C. Câu 86: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An+44(n+2)!<15(n-1)!? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Điều kiện: n∈N. Tacó An+44n+2!<15n-1! ⇔n+4.!n+2!n!<15n-1! ⇔n+3n+4n<15 ⇔n+3n+4<15n. ⇔n2-8n+12<0 ⇔2<n<6, n∈N⇒n∈3;4;5Chọn C. Câu 87: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+12+3An2-20<0? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Tacó 2Cn+12+3An2-20<0 ⇔2n+1!2!.n-1!+3.n!n-2!-20<0 ⇔nn+1+3n-1n-20<0 ⇔2n2-n-10<0⇔-2<n<52 mà n≥2n∈Nnên n=2. Chọn A. Câu 88: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+12+3An2<30? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Điều kiện: n≥2 và n∈N. Ta có 2Cn+12+3An2<30 ⇔2.n+1!2!n-1!+3.n!n-2!<30 ⇔nn+1+3n-1x<30 ⇔2n2-n-15<0⇔-52<n<3 Mà n≥2n∈N⇒n=2Chọn A. Câu 89: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 14P3.Cn-1n-3<An+14? A. 1 B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Điều kiện: n≥3 và n∈N. Ta có 14.P3Cn‐1n‐3<An+14 ⇔14.3!.n-1.!n-3!2!<n+1!n-3! ⇔42n-2n-1<n-2n-1nn+1 ⇔42<nn+1⇔n2+n-420>0 ⇔n<-7n>6 mà n≥3n∈Nsuy ra có vô số số n. Chọn D. Câu 90: Giải hệ phương trình Cxy-Cxy+1=04Cxy-5Cxy-1=0 A. (x ; y ) =(17;8) . B. (x ; y ) =(17;-8 ) . C. (x ; y ) = ( 9;8 ) . D. (x ; y) = ( 7;9). Lời giải. Điều kiện: x≥y+1 và x,y∈N. Ta có Cxy-Cxy+1=014Cxy-5Cxy‐1=02 Phương trình ( 1) ⇔Cxy=Cxy+1 ⇔y+y+1=x ⇔x-2y-1=0 Phươngtrình (2) ⇔4Cxy=5Cxy‐1 ⇔4.x!y!.x-y!=5.x!y-1!.x-y+1! ⇔4y=5x-y+1⇔4x-9y+4=0. Do đó hệ phương trình đã cho ⇔x-2y-1=04x-9y+4=0⇔x=17y=8 (thỏa mãn). ChọnA. |
