Bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Xin chào các bạn, bài học hôm nay sẽ giới thiệu tới các bạn phương pháp tính nguyên hàm rất phổ biến mà chắc chắn rằng các bạn phải thành thạo phương pháp này mới có thể giải quyết được các bài toán nguyên hàm đó là phương pháp tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

Nội dung chính Show

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ví dụ minh họa
B. Bài tập vận dụng
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại banmaynuocnong.com

Định lý: Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y = f(x)$ liên tục sao cho hàm hợp $f(u(x))$ xác định trên $K$ . Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì $\int f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C$

Ví dụ minh hoạ 1:

Tìm nguyên hàm $\int (x – 1)^{10}dx$

Theo định lý trên ta cần viết về dạng $\int f(u)du$ .
Mà $u’ = (x - 1)’ = 1$ . do vậy
$\int (x – 1)^{10}dx = \int (x – 1)^{10}.(x – 1)dx = \int (x – 1)^{10}d(x – 1) = \frac{(x – 1)^{11}}{11} + C$

Từ ví dụ trên ta có các bước gọi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến như sau:

Đặt $u = g(x)$ .
Biến đổi $x$ và $dx$ về $u$ và $du$
Giaỉ bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp $\int f(u)du$ , sau đó thay biến $x$ vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả

Ví dụ minh hoạ 2:

Tìm nguyên hàm $\int x^{2}(1 – x)^{7}dx$

Ở bài toán này ta thấy só mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn $x^{2}$ . Do vậy ta đăt $(1 - x)$ để đổi biến.
Đặt $u = 1 – x \Rightarrow du = (1 – x)’dx = -dx$
Ta có $\int x^{2}(1 – x)^{7}dx = \int (1 – u)^{2}u^{7}(-1)du = -\int (u^{7} – 2u^{8} + u^{9})du = -\frac{u^{8}}{8} + \frac{2u^{9}}{9} – \frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1 – x)^{8}}{8} + \frac{2(1 – x)^{9}}{9} – \frac{(1 – x)^{10}}{10} + C$

Dưới đây là một số hàm thường gặp trong phương pháp đổi biến số và phượng pháp đặt biến cho từng hàm.

$\int f(ax + b)^{n}xdx \Rightarrow u = ax + b$	$\int \sqrt[n]{f(x)}f'(x)dx \Rightarrow t = \sqrt[n]{f(x)}$
$\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx \Rightarrow u = \ln x$	$\int f(e^{x})e^{x}dx \Rightarrow t = e^{x}$
$\int f(sinx)cosxdx \Rightarrow u = sinx$	$\int f(cosx)sinxdx \Rightarrow t = cosx$
$\int f(tanx)\frac{1}{cos^{2}x}dx \Rightarrow u = tanx$	$\int f(sinx \pm cosx)(sinx \pm cosx)dx \Rightarrow t = sinx \pm cosx$
$\int f(\sqrt{a^{2} - x^{2}})x^{2n}dx \Rightarrow x = asint$	$\int f((\sqrt{x^{2} + a^{2}})^{m})x^{2n}dx \Rightarrow x = atant$
$\int f(\sqrt{\frac{a \pm x}{a \mp x }})dx \Rightarrow x = acos2t$	$\int \frac{dx}{\sqrt{(ax + b)(cx + d)}} \Rightarrow t = \sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d}$
$\int R[\sqrt[S_{1}]{ax + b},..,\sqrt[S_{2}]{ax + b}]dx \Rightarrow u^{n} = ax + b$	$\int \frac{dx}{(a + bx^{n})\sqrt[n]{a + bx^{n}}} \Rightarrow t = \frac{1}{t}$

Bảng I: Đổi biến với một số hàm thường gặp

là bài viết Phương pháp tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hay nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt

Bài viết khác liên quan đến Tổng hợp các kiến thức về nguyên hàm cực hay và chi tiết

Dưới đây là danh sách bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hot nhất hiện nay

Video bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

STT Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng 1

t = f(x) Biểu thức dưới mẫu 2

t = t(x) Biểu thức ở phần số mũ 3

t = t(x) Biểu thức trong dấu ngoặc 4

Căn thức 5

t = lnx dx/x đi kèm biểu thức theo lnx 6

t = sinx cosx dx đi kèm biểu thức theo sinx 7

t = cosx sinx dx đi kèm biểu thức theo cosx 8

t = tanx

đi kèm biểu thức theo tanx 9

t = cotx

đi kèm biểu thức theo cotx 10

t = eax eax dx đi kèm biểu thức theo eax Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x) + n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài 10: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số
Trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
Dạng 5: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
Trắc nghiệm tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại banmaynuocnong.com

Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
Kho trắc nghiệm các môn khác

Bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Bài viết khác liên quan đến Tổng hợp các kiến thức về nguyên hàm cực hay và chi tiết

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

B. Bài tập vận dụng

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại banmaynuocnong.com

Bài Viết Liên Quan

MỚI CẬP NHẬP

Xem Nhiều

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội