Phương trình \(\sin 2x + 3\sin 4x = 0\) có nghiệm là: Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là: Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là: Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là: Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là: Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là: Giải phương trình \(\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\). Giải phương trình \(\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right).\sin 3x = 2\). Giải phương trình \(\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x\). Giải phương trình \(1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\). Giải phương trình \(\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\). Giải phương trình \(\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\).
1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Phương pháp chung: - Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,… - Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có). 2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)). Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\). - Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\). - Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)). 3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Phương pháp chung: Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình) - Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\). - Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng: \(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). - Bước 3: Đặt \(\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). - Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\). Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận): - Bước 1: Xét \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không. - Bước 2: Xét \(x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\). - Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm. 4. Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\). Phương pháp chung: - Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không. - Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\). - Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\). - Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm. 6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\). Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\). - Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\). - Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).
I. Kiến thức cơ bản Với phương trình chỉ có $\sin x$ hoặc $\cos x,\tan x,\cot x$, ta có thể đặt $\sin x=t$(tương tự với $\cos x,\tan x,\cot x$) rồi đưa về dạng phương trình đại số.
Ví dụ: Giải phương trình $\cos 2x+3\sin x-4=0$
Ta đưa về phương trình ẩn $t$.)
Thông thường, những bài phương trình lượng giác có hệ số trong $\sin x$ hoặc $\cos x,\tan x,\cot x$ lớn, ta thường hạ hệ số hoặc phân tách hệ số thích hợp để có thể đưa về sử dụng phương pháp đại số. Ví dụ: Giải phương trình $sin^23x-sin^22x-sin^2x=0$ Giải: $sin^22x=sin^23x-sin^2x=\frac{1-\cos 6x}{2}-\frac{1-\cos2x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}=\sin 2x.\sin 4x \Rightarrow \sin 2x(\sin 4x-\sin 2x)=0 \Rightarrow \sin 2x. \cos 3x. \sin x=0$ Đặt ẩn phụ là phương pháp giúp ta có thể đưa về phương trình dạng đại số dễ nhất. Thông thường, ta có thể đặt ẩn phụ luôn, chỉ có một số bài hiếm gặp mới phải biến đổi công thức lượng giác mới có thể đặt ẩn phụ. Sau đây là các cách đặt ẩn thông thường:
Có một số ít dạng bài tập rơi vào dạng này, nhưng phương pháp này cũng là 1 phương pháp đáng chú ý. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển ( bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky ) hoặc là miền giá trị hàm số lượng giác. II. Các bài tập vận dụng
Reactions: Đình Hải, Timeless time, Xuan Pham and 2 others |
