Cách tính lũy thừa trên máy tính casio fx-570vn

Máy tính bỏ túi Casio FX-570VN Pluslà phiên bản được kỳ vọng cho việc giải toán và thực hành trên máy tính nhờ 453 tính năng vượt trội, trong đó có 36 tính năng mới bổ sungnâng cấp từ máy FX-570ES Plus do hãng Casio nghiên cứu, sản xuất và phân phối độc quyền tại thị trường Việt Nam. Những điều chỉnh, cải tiến ở thế hệ này nhằm cho phù hợp với chương trình dạy và học ở Việt Nam hiện nay.Casio FX-570VN Plus tính toán THÔNG MINH, kiểm tra CHÍNH XÁC, giải toán NHANH HƠN và được cho phép mang vào phòng thi. Với những tính năng nổi bật phải kể đến:

Nội dung chính

Lưu nghiệm khi giải phương trìnhPhân tích thừa số nguyên tốTính lũy thừa bậc 4 trở lên cho số phứcTìm thương và số dư cho phép chiaTìm ƯSCLN - BSCNNTính tích 1 dãy sốGiải bất phương trình bậc 2, bậc 3

Máy tính bỏ túi Casio FX-570VN Plus có 36 tính năng mới nổi trội

Và để hiểu rõ được sự thông minh và chính xác từ máy Casio FX-570VN Plus, hãy cùng META.vn tìm hiểu các cách giải toán bằng máy tính bỏ túi FX-570VN Plus sau đây

Tổng hợp cách giải toán nhanh với máy tính Casio FX-570VN Plus

Bằng cách cài đặt sẵn các chương trình tính toán của một số bài toán số học nên việc giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus chỉ gói gọn trong một và hai thao tác đơn giản

1. Tìm thương và dư của một phép chia các số tự nhiên

Trong trường hợp một số tự nhiên a không chia hết cho số tự nhiên b, máy tính Casio FX-570VN Plus cho phép tìm được thương và dư của phép chia đó. Để thực hiện phép tính này, bạn làm như sau:

Nhập số bị chia aNhấn vào nút

Nhập số chia b và ấn phím

Màn hình sẽ thông báo thương (của phép chia) và dư R của phép chia đó

Ví dụ 1: Tìm thương và số dư khi chia 18901969 cho 2382001

189019692382001

Ta nhận được kết quả: thương là 7 và dư R = 2227962

Ví dụ 2: Tìm a, b, c biết số

chia hết cho 504

Bài giải:

Ta phân tích số 504 thành thừa số nguyên tố:

504

23 x 32 x 7 = 8 x 9 x 7

Để số A đã cho chia hết cho 8 thì ba số tận cùng phải chia hết cho 8. Vì 87c = 800 +nên để A chia hết cho 8 thì c = 2. Số cần tìm có dạng

. Muốn A chia hết cho 9 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 9. Nghĩa là: 1 + 1 + a + 8 + b + 1 + 9 + 8 + 7 + 2 = 36 + 1 + a + b chia hết cho 9. Muốn vậy 1 + a + b chia hết cho 9.

Bạn đang xem: Cách tính số mũ bằng máy tính

Vậy 1 + a + b = 9 hay 1 + a + b = 18. Do đó a + b = 8 hay a + b = 17.

Ta lập bản xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra

Đáp số: Số cần tìm là 1138519872 và 1188919872

2. Tìm ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của hai số

Tính năng này được lặp trình sẵn trên máy tính nên chỉ cần 2 thao tác giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus sẽ cho ra kết quả nhanh chóng và chính xác bằng cách:

Khai báo lệnh tìm ƯSCLN bấm: <"alpha">Khai báo số cách nhau bằng dấu "," bằng cách bấm phím <"shift">Bấm "=" xem kết quả

Ví dụ: Tìm ƯSCLN của 1754298000 và 75125232

Bài giải: Bấm 1754298000 <,>75125232 <=> 825552

3. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số

Tương tự như thao tác tìm ƯSCLN, giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus cho bài toán tìm BCNN cũng sử dụng lệnh tìm LCM và nhập các số cách nhau bằng dấu ","

Khai báo lệnh LCM bấm: <"alpha">Khai báo số cách nhau bằng dấu "," bằng cách bấm phím <"shift">Bấm "=" xem kết quả

Dạng toán này xuất hiện trong chương trình học lớp 7. Dạng toán yêu cầu chuyển đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số. Đây là một trong số 36 tính năng mới được Casio cải tiến trong phiên bản FX-570VN Plus cho phù hợp với giáo trình toán học Việt Nam. Bằng cách cài đặt sẵn lệnh trên máy, giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus dạng toán này chỉ cần thao tác 3 bước:

Nhập phần phía trước phần tuần hoànChọn lệnh <"alpha"> và nhập phần tuần hoàn vào con trỏBấm "=" và nhận kết quả

Đây là dạng toán dùng trong chương trình toán học lớp 8. Đây cũng là một trong 36 tính năng được cải tiến trong phương pháp giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus. Để tính tìm giá trị đa thức trên Casio Fx 570VN Plus sử dụng lệnh "CALC"

Ví dụ: Cho đa thức P(x)= x5+ax4 +bx3 +cx2 +dx +e

Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25

Tính P(6), P(7)?

Lời giải:

Theo giả thiết ta có P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x2

Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570VN Plus

B1: Nhập biểu thức vào màn hình tính

B2: Thực hiện lệnh tính giá trị đa thức

<"calc"> = 156

<"calc"> = 6496

6.Tính ma trận với phương pháp giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus

Tính ma trận là dạng toán nằm trong chương trình giáo dục bậc phổ thông và Cao đẳng, Đại học ở Việt Nam. Ngoài các chương trình tính toán với ma trận như các máy tính thế hệ trước đó như FX-500MS, FX-570MS,... thì FX-570 VN Plus còn cài đặt chương trình tính toán với ma trận cấp bốn. Đây là một trong những tính năng vượt trội được cải tiến trên máy tính bỏ túi này. Là một dáng kiến thức toán học rất cần thiết trong giải hệ phương trình bậc nhất 1 - 4 ẩn của chương trình học phổ thông và không thể thiếu cho mỗi sinh viên và kĩ sư liên quan đến toán học, hóa học và vật lý.

Cách thực hiện:

B1: Khai báo ma trận trên Casio Fx 570VN Plus:<"mode">

B2: Lựa chọn ma trận cần tính toán và loại kích thước của ma trận. Cần khai báo ma trận với kích thước nào thì bấm vào số tương ứng hiện thị trên màn hình.Chọn kích thước ma trận tương ứng

B3: Khai báo các hệ số của ma trận.Khai báo các hệ số từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, mỗi số cách nhau bằng phím "=". Ví dụ:Để khai báo ma trận A = ta bấm như sau: <1>

B4: Bấm phím <"shift"> để tiếp tục khai báo ma trận B

B5: Giống như khai báo ma trận A, chọn loại ma trận và kích thước tương ứng theo số thứ tự trên màn hình hiển thị.

B6: Khai báo hệ số ma trận B

B7: Cho lệnh quay về màn hình tính toán ma trận <"ac">

B8: Tính toán theo yêu cầu đề bài

Ví dụ: Tính tích AB: <3> ta nhận được kết quả

Trong đó:

3 là ma trận A (MatA)SHIFT 4: trở về bản tính toán với ma trận,4 là ma trận B (MatB)

B9: Thao tác <"ac"> để trở về bảng tính toán ma trận và tiếp tục thực hiện tính toán

7. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn theo phương pháp giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus

Trước khi giải dạng toán này trên máy tính Casio FX-570VN Plus, cần phải đưa hệ phương trình về dạng chính tắc. Thao tác giải bất phương trình như sau:

B1: Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn <"mode">.Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn, màn hình hiển thị

B2: Khai báo các hệ số của phương trình, các hệ số cách nhau bằng dấu "="

B3: bấm tiếp "=" để xem kết quả. Có 4 trường hợp:

Phương trình 1 nghiệm (x)Phương trình 2 nghiệm (x và y)Phương trình vô nghiệm (No-Solution)Phương trình vô số nghiệm (infinite Solution).

Xem thêm: Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết, Giải Toán 10 Bài 3: Công Thức Lượng Giác

Trên đây là giới thiệu một vài tính năng nổi trội được cải tiến ở phương pháp giải toán bằng máy tính Casio FX-570VN Plus. Ngoài ra, còn một số tính năng phải kể đến như tính dãy truy hồi, tính giới hạn, giải phương trình bậc 2 cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức, tính toán phân phối DIST, 10, tính tỉ số RATIO, giải bất phương trình bậc hai có tính thêm điểm Parabol, chuyển đổi độ đo,... Để đặt mua máy tính bỏ túi Casio FX-570VN Plus, các bạn có thể liên hệ ngay tới số hotline dưới đâyhoặc truy cập websiteMETA.vn để đặt hàng online.Các BVSP phần kết: META cam kết Hàng chính hãng, Uy tín lâu năm, Dịch vụ Giao hàng & Bảo hành trên toàn quốc.

1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Hôm nay tôi lại nhận được 3 bài toán của thầy BìnhKami, 3 bài toán này liên quan đến so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số.

• Bài toán 1 : So sánh 2 lũy thừa ${32^{10}}$ và ${16^{15}}$
• Bài toán 2 : So sánh 2 lũy thừa ${2^{100}}$ và ${3^{70}}$
• Bài toán 3 : So sánh 2 lũy thừa ${2^{2017}} – {5^{999}}$

Đối với bài toán số 1 thì tôi đã biết cách làm rồi, cơ số 32 và cơ số 16 đều có thể đưa về cơ số 2, vậy ${32^{10}} = {\left( {{2^5}} \right)^{10}} = {2^{5.10}} = {2^{50}}$ và ${16^{15}} = {\left( {{2^4}} \right)^{15}} = {2^{4.5}} = {2^{60}}$ . Vậy ${32^{10}} < {16^{15}}$ Đối với bài số 2 không thể đưa về cùng cơ số 2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy tính Casio, tôi sẽ thiết lập hiệu ${2^{100}} – {3^{70}}$ nếu kết quả ra một giá trị dương thì ${2^{100}} > {3^{70}}$ , thật đơn giản phải không !!

Hay quá ra một giá trị âm, vậy có nghĩa là ${2^{100}} < {3^{70}}$ Tương tự như vậy tôi sẽ làm bài toán số 3 bằng cách nhập hiệu ${2^{2017}} – {5^{999}}$ vào máy tính Casio

Và tôi bấm nút =

Các bạn thấy đấy, máy tính không tính được. Tôi chịu rồi !!

Để so sánh 2 lũy thừa có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì chúng ta phải sử dụng một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một nguyên tắc so sánh như sau: Nếu số A có n+1 chữ số thì luôn lớn hơn số B có n chữ số . Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 có 3 chữ số. Vậy tôi sẽ xem ${2^{2107}}$ và ${5^{999}}$ thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong. Để làm được việc này tôi sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với tính năng cao cấp hơn, các bạn quan sát nhé: Đầu tiên là với ${2^{2017}}$

Vậy tôi biết ${2^{2017}}$ có 608 chữ số Tiếp theo là với ${5^{999}}$

Vậy ${5^{999}}$ có 699 chữ số

Rõ ràng 608> 699 hay ${2^{2017}} < {5^{999}}$ . Thật tuyệt vời phải không !!

Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio Ta thấy quy luật ${10^1}$ có 2 chữ số, ${10^2}$ có 3 chữ số … ${10^k}$ sẽ có k+1 chữ số Vậy muốn biết 1 lũy thừa A có bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt $A = {10^k}$ . Để tìm k ta sẽ logarit cơ số 10 cả 2 vế khi đó k=logA . Vậy số chữ số sẽ là $k + 1 = \left[ {\log A} \right] + 1$

Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên của 1 số.

2)VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Bài toán số nguyên tố Mersenne] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nghuyên tố này là một số có giá trị bằng $M = {2^{74207281}} – 1$ . Hỏi số M có bao nhiêu chữ số. A. 2233862 B. 22338618 C. 22338617

D. 2233863

GIẢI

Ta có $M = {2^{742007281}} – 1 \Leftrightarrow M + 1 = {2^{742007281}}$ Đặt $M + 1 = {10^k}$ $ \Leftrightarrow {2^{742007281}} = {10^k}$ $ \Leftrightarrow k = \log {2^{74207281}}$ và số chữ số là $\left[ k \right] + 1$

Vậy M+1 có số chữ số là 22338618 Ta nhận thấy M+1 có 22338618 chữ số, vậy M có bao nhiêu chữ số ? Liệu vẫn là 22338618 chữ số hay suy biến còn 22338617 chữ số. Câu trả lời là không suy biến vì M là lũy thừa bậc của 2 nên tận cùng chỉ có thể là 2, 4, 8, 6 nên khi trừ đi 1 đơn vị vẫn không bị suy biến Vậy ta chọn B là đáp án chính xác.

Đọc thêm :

$M = {2^{74207281}} – 1$ là số nguyên tố lớn nhất thế giới được phát hiện, gồm 22 triệu chữ số, mất 127 ngày để đọc hết Giả sử 1 giây bạn có thể đọc được 2 chữ số, bạn không cần ăn uống, ngủ nghỉ…thì 4 tháng liên tục là quãng thời gian mà bạn cần phải bỏ ra để đọc hết con số nguyên tố lớn nhất thế giới do các nhà toán học phát hiện mới đây. Với tên gọi M74207281 con số nguyên tố Merssenne được phát hiện bởi các nhà toán học thuộc GIMPS-tổ chức thành lập năm 1996 chuyên đi tìm những con số nguyên tố. Câu chuyện đi tìm số nguyên tố bắt đầu từ một nhà toán học, thần học, triết học tự nhiên, Marin Mersenne (1588-1648). Ông là người đã nghiên cứu các số nguyên tố nhằm cố tìm ra một công thức chung đại diện cho các số nguyên tố. Dựa trên các nghiên cứu của ông, các nhà toán học thế hệ sau đã đưa ra một công thức chung cho các số nguyên tố là ${M_p} = {2^p} – 1$ Năm 1750 nhà toán học Ơ-le phát hiện ra số nguyên tố ${M_{31}}$ Năm 1876 số ${M_{127}}$ được nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát hiện ra

Năm 1996 số nguyê tố lớn nhất thời đó được phát hiện là ${M_{1398268}}$

VD2-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số ${2^{30}}$ trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số ${30^2}$ trong hệ nhị phân. Ta có tổng m+n là : A. 18 B. 20 C. 19

D. 21

GIẢI

Đặt ${2^{30}} = {10^k} \Leftrightarrow k = \log {2^{30}}$ . Số chữ số của ${2^{30}}$ trong hệ thập phân là $\left[ k \right] + 1$

Vậy số chữ số của ${2^{30}}$ trong hệ thập phân là 10 Đặt ${30^2} = 900 = {2^h} \Leftrightarrow h = {\log _2}900$ . Số chữ số của ${30^2}$ trong hệ nhị phân là $\left[ h \right] + 1$

Vậy số chữ số của ${30^2}$ trong hệ nhị phân là 10 $ \Rightarrow m + n = 10 + 10 = 20$

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

VD3: Cho tổng $M = C_{2020}^0 + C_{2020}^1 + C_{2020}^2 + … + C_{2020}^{2020}$ Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 609 C. 610

D. 611

GIẢI

Theo khai triển nhị thức Newtơn thì ${\left( {1 + 1} \right)^{2020}} = C_{2020}^0 + C_{2020}^1 + C_{2020}^2 + … + C_{2020}^{2020}$ Vậy $M = {2^{2020}}$ Đặt ${2^{2020}} = {10^k} \Leftrightarrow k = \log {2^{2020}}$ . Số chữ số của M là $\left[ k \right] + 1$

Vậy số chữ số của M là 609. Ta chọn đáp án B

Bình luận

• Bài toán này là sự kết hợp hay giữa kiến thức lũy thừa và kiến thức về nhị thức Newtơn. Để làm được bài toán này bằng Casio thì cần có một số kiến thức cơ bản về tổng Nhị thức Newtơn

• Dạng toán tổng nhị thức Newtơn được tác giả tóm tắt như sau

• Cho khai triển tổng ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n – 1}}{b^1} + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^n{a^0}{b^n}$ và khai triển tổng ${\left( {a – b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} – C_n^1{a^{n – 1}}{b^1} + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} – C_n^3{a^{n – 3}}{b^3}… + C_n^n{a^0}{b^n}$
• Để quan sát xem tổng nhị thức Newton có dạng là gì ta quan sát 3 thông số : Thông số mũ n thì quan sát tổ hợp $C_n^1$ ví dụ như xuất hiện $C_{2020}^1$ thì rõ ràng n= 2020 . Thông số a sẽ có số mũ giảm dần, thông số b sẽ có số mũ tăng dần
• Áp dụng $C_{1999}^0{5^{1999}} – C_{1999}^1{5^{1998}}2 + C_{1999}^2{5^{1997}}{2^2} – C_{1999}^3{5^{1996}}{2^3} + …. – C_{1999}^{1999}{2^{1999}}$ thì rõ ràng n=1999 , số mũ của a giảm dần vậy a=5 , số mũ của b tăng dần vậy b=2 . Ta thu gọn khai triển thành ${\left( {5 – 2} \right)^{1999}} = {3^{1999}}$

VD4: So sánh nào sau đây là đúng A. ${5^{7123}} > {7^{5864}}$ B. ${5^{7123}} < {7^{5864}}$ C. ${3^{400}} < {2^{500}}$

D. ${4^{1700}} > {9^{1200}}$

GIẢI

Đặt ${5^{7123}} = {10^k}$ $ \Leftrightarrow k = \log {5^{7123}} = 7123\log 5 \approx 4978.76 > 4978$

Vậy ${5^{7123}} > {10^{4978}}$ Tương tự đặt ta đặt ${7^{5864}} = {10^h} \Leftrightarrow h = \log {7^{5864}} \approx 4955.65 < 4956$

Vậy ${7^{5864}} < {10^{4956}}$ Tóm lại ${5^{7123}} > {10^{4978}} > {10^{4566}} > {7^{5864}}$

Bình luận :

• Bài toán này nếu ta thực hiện 1 phép Casio ở đẳng cấp thấp là nhập hiệu ${5^{7123}} – {7^{5864}}$ rồi xét dấu thì máy tính không làm được vì vượt qua phạm vi ${10^{100}}$
  
• Vậy để so sánh ta 2 đại lượng lũy thừa bậc cao M và N ta sẽ đưa về dạng $M > {10^k} > {10^h} > N$
• Tuy nhiên việc so sánh 2 lũy thừa sử dụng Casio ở mức độ đơn giản cũng thường xuất hiện trong đề thi của các trường, vậy ta cũng cần tìm hiểu thêm một chút. Các e xem ở ví dụ số 4 dưới đây.

VD5-[THPT Ngọc Hồi – Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng : A. ${\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{17}} < {\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{18}}$ B. ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{18}}$ C. ${\left( {\frac{e}{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{3}} \right)^{18}}$

D. ${\left( {\frac{e}{2}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{18}}$

GIẢI

Để kiểm tra tính Đúng – Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu ${\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{17}} – {\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{18}}$. Vậy bài so sánh chuyển về bài bất phương trình ${\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{17}} – {\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{18}} < 0$ Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio

Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị âm thì đáp án A đúng còn ra giá trị dương thì đáp án A sai

Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị dương vậy rõ ràng đáp án A sai. Tương tự vậy đối với đáp án B

Vậy đáp số B cũng sai Ta lại tiếp tục với đáp án B

Đây là 1 đại lượng dương vậy ${\left( {\frac{e}{3}} \right)^{17}} – {\left( {\frac{e}{3}} \right)^{18}} > 0$ hay ${\left( {\frac{e}{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{3}} \right)^{18}}$ Tới đây ta thấy rõ ràng đáp số C là đáp số chính xác !!

Cách 2 : Tự luận

Ta có cơ số $\frac{\pi }{6} \approx 0.52 \in \left( {0;1} \right)$ và số mũ 17<18 vậy ${\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{18}}$ $ \Rightarrow $ Đáp án A sai Ta có cơ số $\frac{\pi }{3} \approx 1.04 > 1$ và số mũ 17<18 vậy ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{17}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{18}}$ $ \Rightarrow $ Đáp án B sai Ta có cơ số $\frac{e}{3} \approx 0.906 \in \left( {0;1} \right)$ và số mũ 17<18vậy ${\left( {\frac{e}{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{3}} \right)^{18}}$ $ \Rightarrow $ Đáp số C sai

Bình luận Để so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số ${a^u}$ và ${a^v}$ ta sử dụng tính chất sau

• Nếu cơ số a>1 và u>v thì ${a^u} > {a^v}$ (Điều này dẫn tới đáp án B sai)
• Nếu cơ số a thuộc khoảng (0;1) và u>v thì ${a^u} < {a^v}$ (Điều này dẫn tới đáp án A sai)

VD6-[THPT-Hà Nội-Amsterdam 2017] (Bài toán xây dựng để chống lại Casio) Khẳng định nào sau đây sai ? A. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^3}$ B. ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} > {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2017}}$ C. ${\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2016}} < {\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2017}}$

D. ${\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{2017}} > {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{2016}}$

GIẢI

Để kiểm tra tính Đúng – Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu ${2^{\sqrt 2 + 1}} – {2^3}$. Vậy bài so sánh chuyển về bài bất phương trình ${2^{\sqrt 2 + 1}} – {2^3} > 0$ Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio

Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị dương thì đáp án A đúng còn ra giá trị âm thì đáp án A sai

Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị âm vậy rõ ràng đáp án A sai. Tương tự vậy đối với đáp án B

Đáp số máy tính báo là 0 điều này là vô lý vì cơ số khác 0 và số mũ khác nhau buộc ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}}$ và ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2017}}$ buộc phải khác nhau. Như vậy trong trường hợp này thì máy tính chịu !!!

Cách 2: Tự luận

Ngoài phương pháp so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số được tác giả trình bày ở Ví dụ 3 thì tại Ví dụ 4 này tác giả xin giới thiệu 1 phương pháp thứ 2 vô cùng hiệu quả có tên là Phương pháp đặt nhân tử chung. Đáp án B : ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} > {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2017}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} – {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2017}} > 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}}\left[ {1 – \left( {\sqrt 2 – 1} \right)} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {2 – \sqrt 2 } \right){\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} > 0$

Dễ thấy $2 – \sqrt 2 > 0$ và ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} > 0$ vậy $\left( {2 – \sqrt 2 } \right){\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2016}} > 0$ Đáp số B đúng

Bình luận Theo thuật toán của Casio thì những đại lượng dương mà nhỏ hơn ${10^{ – 100}}$ hoặc lớn hơn $ – {10^{ – 100}}$ thì sẽ được hiển thị là ố 0 .
Đây là kẽ hở để các trường ra bài toán so sánh lũy thừa chống lại Casio

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[ Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat ${F_n} = {2^{{2^n}}} + 1$ là một số nghuyên tố với n là số dương không âm. Hãy tìm số chữ số của ${F_{13}}$ A.1243 B. 1234 C. 2452 D. 2467

*Chú ý : Sự dự đoán của Fecmat là sai lầm vì nhà toán học Ơ le đã chứng minh được ${F_5}$ là hợp số.

Bài 2: Cho tổng $M = C_{1642}^0{3^{1642}} + C_{1642}^1{3^{1641}}2 + C_{1642}^3{3^{1640}}{2^3} + … + C_{1642}^{1642}{2^{1642}}$ Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 609 C. 610 D. 611

*Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton.

Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng A. ${11^{2003}} > {9^{2500}}$ B. ${23^{693}} < {25^{600}}$

C. ${29^{445}} < {31^{523}}$ D. ${29^{445}} > {31^{523}}$

Bài 4-[Thi thử THPT Ngọc Hồi – Hà Nội lần 1 năm 2017] Cho a,b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn a+b=10 và ${a^{12}}{b^{2016}}$ là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp a,b thỏa mãn bài toán là : A. (5;5) B. (6;4) C. (8;2)

D. (7;3)

Bài 5-[THPT Ngọc Hồi – Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng : A. ${\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{17}} < {\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^{18}}$ B. ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{18}}$ C. ${\left( {\frac{e}{3}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{3}} \right)^{18}}$

D. ${\left( {\frac{e}{2}} \right)^{17}} > {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{18}}$

Bài 6-[THPT Nguyễn Trãi – Hà Nội 2017] Mệnh đề nào sau đây đúng : A. ${\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^4} < {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^5}$ B. ${\left( {\sqrt {11} – \sqrt 2 } \right)^6} > {\left( {\sqrt {11} – \sqrt 2 } \right)^7}$ C. ${\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^4}$

D. ${\left( {4 – \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {4 – \sqrt 2 } \right)^4}$

Bài 7-[THPT Thăng Long – Hà Nội 2017] Khẳng định nào sau đây đúng : A. ${\left( {{3^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} > {\left( {{3^3}} \right)^{\frac{1}{3}}}$ B. ${\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{\sqrt 2 }} > 1$ C. ${\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{ – 3}} > {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{\sqrt 3 }}$

D. ${\left( {0,3} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {0,3} \right)^2}$

LỜI GIẢI

Bài 1-[Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat ${F_n} = {2^{{2^n}}} + 1$ là một số nghuyên tố với n là số dương không âm. Hãy tìm số chữ số của ${F_{13}}$ trong hệ nhị phân A.1243 B. 1234 C. 2452

D. 2467

GIẢI

Số ${F_{13}}$ có dạng ${2^{{2^{13}}}} + 1$ . Ta thấy số ${2^{{2^{13}}}} + 1$ không thể tận cùng là 9 nên số chữ số của ${2^{{2^{13}}}} + 1$ cũng chính là số chữ số của ${2^{{2^{13}}}}$ trong hệ thập phân. Đặt ${2^{{2^{13}}}} = {10^k} \Leftrightarrow k = {2^{13}}\log \left( 2 \right)$ . Số chữ số của ${2^{{2^{13}}}}$ trong hệ thập phân là $\left[ k \right] + 1$

→Đáp số chính xác là D

bài 2: Cho tổng $M = C_{1642}^0{3^{1642}} + C_{1642}^1{3^{1641}}2 + C_{1642}^3{3^{1640}}{2^2} + … + C_{1642}^{1642}{2^{1642}}$ Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 1148 C. 2610 D. 911

*Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton.

GIẢI

Rút gọn khai triển nhị thức Newton $M = {\left( {3 + 2} \right)^{1642}} = {5^{1642}}$ Đặt ${5^{1642}} = {10^k} \Leftrightarrow k = 1642\log \left( 5 \right)$ . Số chữ số của ${5^{1642}}$ trong hệ thập phân là $\left[ k \right] + 1$

→Đáp số chính xác là B

Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng A. ${11^{2003}} > {9^{2500}}$ B. ${23^{693}} < {25^{600}}$ C. ${29^{445}} < {31^{523}}$

D. ${29^{445}} > {31^{523}}$

GIẢI

Số chữ số của ${11^{2003}}$ và ${9^{2500}}$ trong hệ thập phân lần lượt là:

Số chữ số của ${9^{2500}}$ nhiều hơn số chữ số của ${11^{2003}}$ nên ${9^{2500}} > {11^{2003}}$ $ \Rightarrow $ A sai Số chữ số của ${23^{693}}$ và ${25^{600}}$ trong hệ thập phân lần lượt là:

Số chữ số của ${23^{693}}$ nhiều hơn số chữ số của ${25^{600}}$ nên ${23^{693}} > {25^{600}}$ $ \Rightarrow $ B sai Số chữ số của ${29^{445}}$ và ${31^{523}}$ trong hệ thập phân lần lượt là:

Số chữ số của ${29^{445}}$nhỏ hơn số chữ số của ${31^{523}}$ nên ${29^{445}} < {31^{523}}$ $ \Rightarrow $ B là đáp số chính xác

Bài 4: Cho a,b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn a+b=10 và ${a^{12}}{b^{2016}}$ là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp a,b thỏa mãn bài toán là : A. (5;5) B. (6;4) C. (8;2)

D. (7;3)

GIẢI

Ta có $a + b = 10 \Rightarrow a = 10 – b$ . Khi đó ${a^{12}}{b^{2016}} = {\left( {10 – b} \right)^{12}}{b^{2016}}$ Đặt ${\left( {10 – b} \right)^{12}}{b^{2016}} = {10^k}$ $ \Leftrightarrow k = \log \left[ {{{\left( {10 – b} \right)}^{12}}{b^{2016}}} \right] = 12\log \left( {10 – b} \right) + 2016\log b$ Số chữ số của ${\left( {10 – b} \right)^{12}}{b^{2016}}$ là $\left[ k \right] + 1$ Với đáp số A : a=b=5 . Số chữ số của ${5^{12}}{5^{2016}}$ là 1418 khác 973 $ \Rightarrow $ Đáp số A sai

Với đáp số B : a=6, b=4 . Số chữ số của ${6^{12}}{4^{2016}}$ là 1224 khác 973 $ \Rightarrow $ Đáp số B sai

Tương tự với a=7, b=3 . Số chữ số của ${7^{12}}{7^{2016}}$ là 973 $ \Rightarrow $ Đáp số C chính xác