Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(a \in \left( { – 10; + \infty } \right)\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} + \left( {a + 2} \right)x + 9 – {a^2}} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) ? A. 12. B. 11. C. 6. D. 5. Lời giải: Chọn B Xét \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {a + 2} \right)x + 9 – {a^2}\) \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + a + 2\) adsense Để \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\f\left( 0 \right) \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + a + 2 \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\9 – {a^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le \mathop {Min}\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( { – 3{x^2} – 2} \right)\\9 – {a^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le – 5\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 3\\a \le – 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a \le – 5\) - Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne - 1} \right)\). - Giải bất phương trình tìm \(a\) và suy ra các giá trị của \(a\) thỏa mãn. Lời giải chi tiết: Ta có \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 3a.\) Theo bài ra ta có: \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} \le 4\)\( \Rightarrow {a^2} - 3a \le 4 \Leftrightarrow - 1 \le a \le 4.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \({b>1}\) để với mỗi giá trị của \({b}\) có đúng 5 số nguyên \(a\in \left( -10;10 \right)\) thỏa mãn \({\log _{3} \frac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b}\).
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: B Ta có \({\log _{3} \frac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b \Leftrightarrow \log _{3} \frac{2 a^{2}+3 a+b}{3 a^{2}-3 a+6}+2 a^{2}+3 a+b \leq 3 a^{2}-3 a+6}\) \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{a}^{2}}+3a+b \right)+2{{a}^{2}}+3a+b\le {{\log }_{3}}\left( 3{{a}^{2}}-3a+6 \right)+3{{a}^{2}}-3a+6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) Xét hàm số \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t,t>0\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t\ln 3}>0,\forall t>0\) nên hàm số \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\). Suy ra\(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2{{a}^{2}}+3a+b \right)\le f\left( 3{{a}^{2}}-3a+6 \right)\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+3a+b\le 3{{a}^{2}}-3a+6\Leftrightarrow b\le {{a}^{2}}-6a+6\) Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên ${b>1}$ để với mỗi giá trị của ${b}$ có đúng 5 số nguyên $a\in \left( -10;10 \right)$ thỏa mãn ${\log _{3} \dfrac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b}$. Lời giải Ta có ${\log _{3} \dfrac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b \Leftrightarrow \log _{3} \dfrac{2 a^{2}+3 a+b}{3 a^{2}-3 a+6}+2 a^{2}+3 a+b \leq 3 a^{2}-3 a+6}$ Từ BBT, ta có: ${\mathrm{YCBT} \Leftrightarrow 46<b \leq 61}$. Vậy có 15 giá trị thoả mãn. Đáp án B.
|
