1. Giá trị lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \) Show
 Bảng xét dấu giá trị lượng giác của một góc, cung lượng giác 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
1. Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\overparen{AM}\) có số đo \(sđ\overparen{AOM}= α\) thì: + Tung độ của \(M\) gọi là \(\sin\) của \(α\), kí hiệu \(\sin α\): \(\overline {OQ}= \sinα\) + Hoành độ của \(M\) gọi là cosin của \(α\), kí hiệu là \(\cosα\): \(\overline {OP}= \cosα\) + Nếu \(cosα \ne 0\), ta gọi là tang của \(α\), kí hiệu \(tanα\) là tỉ số: \({{\sin \alpha } \over {cos\alpha }} = \tan \alpha \) + Nếu \(\sinα \ne 0\), ta gọi là cotang của \(α\), kí hiệu là: \({{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }} = \cot \alpha \) Ghi chú: Vì \(sđ\overparen{AM} =sđ\overparen{(OA, OM)}\) nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác \(α\) cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác \(α\). 2. Hệ quả a) \(-1 ≤ sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1 ;\)\(∀α \in\mathbb R\) \(\sin(α + k2π) = \sinα ;∀k \in \mathbb R\) \(cos(α + k2π) = cosα ,∀k \in\mathbb R\) b) \(tanα\) xác định với mọi\(α \ne {\pi\over 2} + kπ, k \in\mathbb Z\) \(cotα\) xác định với mọi \(α \ne kπ, k \in\mathbb Z\) \(tan(α + kπ) = tanα ,∀k\in\mathbb R\) \( cot(α + kπ) = cotα ,∀k \in\mathbb R\) c) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác d) Các hệ thức lượng giác cơ bản: \(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}1\); \(tanα.cotα = 1\) \(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\) \(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\) 3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau: \(α\) và \((-α)\) \(sin(-α) = -sinα \) \( tan(-α) = -tanα\) \(cos(-α) = cosα\) \(cot(-α) = -cotα\) b) Cung bù nhau: \(α\) và \(π - α\) \(sin(π - α) = sinα\) \(tan(π - α) = -tanα\) \(cos(π - α) = -cosα\) \(cot(π - α) = -cotα\) c) Cung hơn nhau \(π\): \(α\) và \(π + α\) \(sin(π + α) = -sinα\) \(tan(π + α) = tanα\) \(cos(π + α) = -cosα\) \(cot(π + α) = cotα\) d) Cung phụ nhau: \(α\) và \({\pi \over 2} - \alpha \) \(sin\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = cosα\) \(tan\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right)= cosα\) \(cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = sinα \) \(cos=\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = tan α\) Loigiaihay.com
Lý thuyết Toán 10 giá trị lượng giác của một cung là một trong những kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Do đó, việc nắm vững những nội dung liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, hệ quả, công thức cơ bản,… và các dạng bài tập cơ bản là vô cùng quan trọng. Các em hãy cùng Team Marathon Education tìm hiểu chi tiết về kiến thức này Toán 10 giá trị lượng giác của một cung qua bài viết dưới đây. >>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Định nghĩa giá trị lượng giác của một cungTrên đường tròn lượng giác tâm O, cho điểm M(x; y) sao cho số đo cung AM = α thì: \begin{aligned} &\bullet sinα=\overline{OQ}=y_0\\ &\bullet cosα=\overline{OP}=x_0\\ &\bullet tanα = \frac{sinα}{cosα}\ (cosα ≠ 0)\\ &\bullet cotα = \frac{cosα}{sinα} (sinα ≠ 0) \end{aligned} Định nghĩa: Các giá trị sinα, cosα, tanα và cotα là các giá trị lượng giác của một cung. Các em có thể gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin. Ví dụ: Tính cos (-240o) Hướng dẫn: Để tính được giá trị lượng giác của cung AM có số đo α bất kỳ, các em tiến hành thực hiện theo các bước sau:
\begin{aligned} &\text{Ta có: } -240^\circ = 120^\circ - 360^\circ \\ &\text{Suy ra: }cos(-240^\circ)=cos120^\circ=-\frac{1}{2} \end{aligned} \begin{aligned} &\small \text{1. Với sinα và cosα luôn xác định với mọi giá trị α ∈ R, ta có:}\\ &\small\ \ \ \bull sin (α+ 2kπ) = sinα\ (⩝k ∈ Z)\\ &\small\ \ \ \bull cos (α+ 2kπ) = cosα (⩝k ∈ Z)\\ &\small2. \ -1 < sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1\\ &\small3. ⩝m ∈ R \text{ và }-1 ≤ m ≤ 1 \text{ đều tồn tại giá trị α và β sao cho }sinα = m\text{ và }cosα = m.\\ &\small \text{4. tanα xác định }⩝α ≠ \frac{π}{2} + kπ\ (k ∈ Z)\\ &\small \text{5. cotα xác định }⩝α ≠ kπ (k ∈ Z) \end{aligned} Một số giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để thể hiện thông qua bảng sau: Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục hoành, nên ta có: \begin{aligned} &\bull sin (-α) = -sinα\\ &\bull cos (-α) = cosα\\ &\bull tan (-α) = -tanα\\ &\bull cot (-α) = -cotα \end{aligned} Cung bù nhauVì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có: \begin{aligned} &\bull sin (\pi-α) = sinα\\ &\bull cos (\pi-α) = -cosα\\ &\bull tan (\pi-α) = -tanα\\ &\bull cot (\pi-α) = -cotα \end{aligned} Cung phụ nhauCác điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có: \begin{aligned} &\bull sin \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cosα\\ &\bull cos \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = sinα\\ &\bull tan \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cotα\\ &\bull cot \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = tanα \end{aligned} Cung hơn kém nhau πCác điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O, nên ta có: \begin{aligned} &\bull sin (α+\pi) = -sinα\\ &\bull cos(α+\pi) = -cosα\\ &\bull tan(α+\pi)= tanα\\ &\bull cot (α+\pi) = cotα \end{aligned} Chú ý: Để có thể ghi nhớ các công thức trên một cách dễ dàng, các em có thể học thuộc bí kíp sau “cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi”. Tổng Hợp Công Thức Hình Học Toán 12 Đầy Đủ Và Chi Tiết Nhất Các công thức lượng giác cơ bảnMột số công thức lượng giác cơ bản mà các em có thể tham khảo như: \begin{aligned} &\bull sin^2α + cos^2α = 1\\ &\bull tanα.cotα = 1\\ &\bull 1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}\\ &\bull 1 + cot^2α = \frac{1}{sin^2α} \end{aligned} Ý nghĩa hình học của tan và cotanÝ nghĩa hình học của tanα\begin{aligned} &\small \text{Tanα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác bởi độ dài đại số của vectơ } \overrightarrow{AT} \text{ trên trục t’At. }\\ &\small\text{Trục t’At được gọi là trục tan.} \end{aligned} \begin{aligned} &\small \text{Cotα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác tâm O bởi độ dài đại số của vectơ }\overrightarrow{BS} \text{ trên trục s’Bs.}\\ &\small\text{Trục s’Bs được gọi là trục cot.}\\ \end{aligned} Ví dụ 1: \text{Cho }sinα = \frac{\sqrt3}{2}\ với\ 0 < α < \frac{π}{2}. \text{ Tính cosα} Hướng dẫn: \begin{aligned} &\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\ &cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\\ &\text{Vì } 0 < α < \frac{π}{2} \text{ nên }cosα > 0 ⟹ cosα = \frac12 \end{aligned} Ví dụ 2: \text{Cho }cosα = \frac{\sqrt{11}}{6} \text{ với } \frac{3π}{2} < α < 2π. \text{ Tính sinα.} Hướng dẫn: \begin{aligned} &\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\ &⟹ sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} &⟹ sinα = ± \frac56\\ &\text{Vì }\frac{3π}{2} < α < 2π \text{ nên } sinα < 0 ⟹ sinα = -\frac56 \end{aligned} Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức B sau đây: B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x) Hướng dẫn: Áp dụng công thức cung bù nhau và cung phụ nhau, ta có: B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x) Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 10 = sinx.sinx – cosx.(-cosx) = sin2x + cos2x = 1 Ví dụ 4: \text{Tính }cos \frac{-11π}{4} Hướng dẫn: \begin{aligned} &\text{Sử dụng cung đối, ta có: }\\ &cos \frac{-11π}{4} = cos\frac{11π}{4} = cos\left(2π + \frac{3π}{4}\right) = cos \frac{3π}{4} = cos (π - \frac{π}{4}) = - cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon EducationMarathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập. Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng. Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình. Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất. Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường. Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn. Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K. Các khóa học online tại Marathon EducationGiá trị lượng giác của một cung là một trong những dạng toán liên quan đến việc vận dụng nhiều công thức lượng giác với nhau. Muốn nắm vững lý thuyết và giải tốt dạng bài tập này đòi hỏi các em cần dành nhiều thời gian cho việc học thuộc các giá trị lượng giác của cung đặc biệt và công thức lượng giác cơ bản. |
