amiralmomenin.net giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Bạn đang xem: Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(p) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2:Phương pháp giải. Trường hợp trong hai đường thẳng d1, d2 có đường thẳng song song với (P) thì không tồn tại đường thẳng d. Trường hợp d1 và d2 đều không nằm trên (P) và cắt (P): Gọi giao điểm của d1, d2 với (P) lần lượt là A và B. Từ đó tìm được tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Trường hợp có đường thẳng nằm trên (P), giả sử (P): • Nếu d2C (P) thì Với mỗi điểm M nằm trên (P) ta sẽ lập được VÔ SỐ đường thẳng d qua M đồng thời cắt d1 và d2. • Nếu d2 ¢ (P), d2 cắt (P) thì ta tìm giao điểm M của d2 và (P). Như vậy, cũng có vô số đường thẳng d qua M và cắt d1.Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho (P): y + 2z = 0, d: x = 2 – t d2: g = 4 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Ta có m(P) = (0; 1; 2), vì d1 = (-1; 1; 4), vì d2 = (-1; 2; 0). Vậy đường thẳng d có phương trình x = -7 + 3t. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho (P) : 2x – 3y + 32 – 4 = 0, d1 : k = 4 – 2t và d2: z = 4 + 3t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho (P): 23 – g + 3 = 0, dt: y = 4 – 2t và d2: 12 = 4 + 3t x = 2 + ť g = 4 – t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Đường thẳng d có phương trình dạng d: g + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x + 1 = 0, d1: y = 3 – 2t và d2: 4 = 2 + t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x + y + z + 3 = 0, d1: y = 4 – 3t và d2: y = -2 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Kiểm tra được d1 cắt d2 và cùng nằm trên mặt phẳng (P). Do đó, có vô số đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2. Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho (P): 30 – Z + 2 = 0, d1: y = 4 – 5t và d2: Y = -2 + 2. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d và d2. Kiểm tra được d1 || (P) nên không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Danh mục Toán 12 Điều hướng bài viết amiralmomenin.net là website chia sẻ kiến thức học tập miễn phí các môn học: Toán, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tiếng Anh, Ngữ Văn, Lịch sử, Địa lý, GDCD từ lớp 1 đến lớp 12.Các bài viết trên amiralmomenin.net được chúng tôi sưu tầm từ mạng xã hội Facebook và Internet.
Xem thêm: Cách Tìm Hình Chiếu Của Điểm Lên Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz
amiralmomenin.net không chịu trách nhiệm về các nội dung có trong bài viết.
Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}$theo ẩn t và u.
Do $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow t;u\Rightarrow $tọa độ các điểm A,B.
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Chú ý:
R Trường hợp: $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow $t và u.
R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.
Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): $(P):x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M(1+2t;-1-t;t);N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N(-1+u;-1;-u)$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( u-2t-2;t;-u-t \right)$
Do $d\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow \frac{u-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-u-t}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=\frac{4}{5} \\ {} t=-\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right)$
Phương trình đường thẳng d là: ${{d}_{1}}:\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$
| Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A(1;-1;1)$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=2-t \\ {} y=t \\ {} z=3t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $B(1+2u;-3-u;-1+2u)\in {{d}_{1}}$và $C(2-t;t;3t)\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2u;u-2;2u-2 \right);\overrightarrow{AC}=(1-t;t+1;3t-1)$
Do A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u=k(1-t) \\ {} u-2=k(t+1) \\ {} 2u-2=k(3t-1) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u-k+kt=0 \\ {} u-k-kt=2 \\ {} 2u+k-3kt=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=0 \\ {} k=-1 \\ {} kt=-1 \\ \end{array} \right.$
Suy ra $u=0;t=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;1;1)\Rightarrow d:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-1+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$ C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
$M,N\Rightarrow M(1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),N(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}})$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 \right)$và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;3 \right)$
Mà d vuông góc với (P) nên $\overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \\ {} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \\ {} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}=2 \\ {} {{t}_{2}}=1 \\ {} k=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M(1;-1;0) \\ {} N(2;1;3) \\ \end{array} \right.$
$\overrightarrow{MN}=(1;2;3)\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$ A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(-1+2t;-1+t;2-t)\in {{d}_{1}};B(1-u;2+u;3+3u)\in {{d}_{2}}$
Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left( 2-u-2t;3+u-t;1+3u+t \right)$
Do $AB//d\Rightarrow d:\frac{2-u-2t}{1}=\frac{3+u-t}{1}=\frac{1+3u+t}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=1 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(1;0;1)\Rightarrow (\Delta ):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$và $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là A. $\frac{x}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$ B. $\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$ C. $\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-4}$ D. $\frac{x+\frac{1}{2}}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-4}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử $d\cap {{d}_{1}}=A\Rightarrow A\in {{d}_{1}}$nên $A(2u;1-u;u-2)$
$d\cap {{d}_{2}}=B\Rightarrow B\in {{d}_{2}}$nên $B(2t-1;t+1;3)$
Vì thế $\overrightarrow{AB}=\left( 2t-2u-1;t+u;5-u \right)$là vecto chỉ phương của d.
Do $d\bot (P)$nên $\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}=(7;1;-4)$ở đây $\overrightarrow{n}$là vecto pháp tuyến của mp (P)
Từ đó có hệ phương trình $\frac{2t-2u-1}{7}=\frac{t+u}{1}=\frac{5-u}{-4}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2t-2u-1=7t+7u \\ {} 4(t+u)=u-5 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=-2 \\ {} u=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)$và đường thẳng d đi qua điểm $A(2;0;-1)$nên
$(d):\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆? A. $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$ B. $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ C. $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$ D. $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}=\left( 1;2;-2 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=\left( 2;4;-4 \right)$suy ra $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=2\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}\Rightarrow ({{d}_{1}})//({{d}_{2}})$
Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1), d(2) là $y+z-2=0$
Gọi $A=({{d}_{3}})\cap (P)\Rightarrow A\left( 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)$và $B=({{d}_{4}})\cap (P)\Rightarrow B\left( 4;2;0 \right)\to \overrightarrow{AB}=\left( 3;\frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và ${{u}_{({{d}_{1}})}}$không cùng phương $\Rightarrow AB$cắt đường thẳng (d1), (d2)
Vậy $\overrightarrow{{{u}_{(\Delta )}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-1 \right)$là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt (d1), (d2), (d3), (d4).
Chọn B.
| Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M(3;3;-2)$và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng A.3 B. 2 C. $\sqrt{6}$ D. $\sqrt{5}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1+t;2+3t;t)\in {{d}_{1}};B(-1-u;1+2u;2+4u)\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t-2=k(-u-4) \\ {} 3t-1=k(2u-2) \\ {} t+2=k(4u+4) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t+4k+ku=2 \\ {} 3t+2k-2ku=1 \\ {} t-4k-4ku=-2 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ với ẩn t; k và ku $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t=0 \\ {} k=\frac{1}{2} \\ {} ku=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow t=0;u=0\Rightarrow A(1;2;0);B(-1;1;2)\Rightarrow AB=3$. Chọn A.