Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Chào bạn Giải SGK Toán 10 trang 65 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 sách Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 65.

Giải SGK Toán 10 Bài 1 trang 65 Chân trời sáng tạo tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Nội dung chi tiết bài Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 mời các bạn cùng đón đọc tại đây.

Cho biết

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của

Gợi ý đáp án

Ta có:

Bài 2 trang 65

Chứng minh các hệ thức sau:

Gợi ý đáp án

a)

b)

Bài 3 trang 65

Tìm góc

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
 trong mỗi trường hợp sau:

d)

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
không xác định.

Gợi ý đáp án

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
ta có:

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
ta có:

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
ta có:

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng ta có:

không xác định với

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 65

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Gợi ý đáp án

a)

Vậy

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

b)

Vậy

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 65

Chứng minh rằng với mọi góc

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
 ta đều có:

Gợi ý đáp án

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Do đó:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

b)

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Ta có:

Với

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
 ta có:

Ta có:

Bài 6 trang 65

Cho góc

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
với
Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
. Tính giá trị của biểu thức
Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Gợi ý đáp án

Ta có:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 65

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yên cầu dưới đây:

a) Tính

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

b) Tìm

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo
,trong các trường hợp sau:

Gợi ý đáp án

a)

b)

Cập nhật: 25/06/2022

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Tính chất

sin α = sin(180o – α)

cos α = –cos(180o – α)

tan α = –tan(180o – α)

cot α = –cot(180o – α)

2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

3. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}\,\,va\,\,\overrightarrow{OB}=\vec{b} \] Góc \[ \widehat{AOB} \] với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là \[ (\vec{a},\vec{b}) \] .

Nếu \[ (\vec{a},\vec{b}) \] = 90o thì ta nói rằng \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[ \vec{a}\bot \vec{b} \] hoặc \[ \vec{b}\bot \vec{a} \] 

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có \[ (\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a}) \] .

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Độ dài vecto

- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \[ \overrightarrow{a} \] được ký hiệu là \[ |\overrightarrow{a}| \] 

Do đó đối với các vectơ \[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{PQ}},\ldots  \] ta có:

\[ |\overrightarrow{\text{AB}}|=\text{AB}=\text{BA};|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\text{PQ}=\text{QP} \] 

- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Trong hệ tọa độ: Cho \[ \overrightarrow{\text{a}}=\left( {{\text{a}}_{1}};{{\text{a}}_{2}} \right) \] 

Độ dài vectơ \[ \overrightarrow{a} \] là \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] .

Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Áp dụng công thức sau

Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM;yM) và N(xN;yN) là

\[ \text{MN}=|\overrightarrow{\text{MN}}|=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}} \] 

Dạng 2. Tính góc giữa hai vecto

Phương pháp giải

Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Cách 2. (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] 

Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Xác định vecto (nếu chưa có) theo tham số m.

Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m.

Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] 

Bước 4. Đưa r phương trình chưa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos (\vec{a};\vec{b})=\cos \alpha  \] 

Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º

a) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C)

b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C)

Bài 2 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác

\[ \Rightarrow \widehat{\text{AOB}}=2\widehat{\text{AOH}}=2\cdot \alpha  \] 

Xét ΔOAK vuông tại K có:

\[ \text{sin}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{AK}}{\text{OA}} \] 

\[ \Rightarrow \text{AK}=\text{OA}\cdot \text{sin}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{sin}2\alpha  \] 

\[ \text{cos}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{OK}}{\text{OA}} \] 

\[ \Rightarrow \text{OK}=\text{OA}\cdot \text{cos}\widehat{\text{AOK}} \] 

\[ =\text{a}\cdot \text{cos}2\alpha  \] 

Bài 3 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

a) sin 105º = sin (180º – 105º) = sin 75º ;

b) cos 170º = –cos (180º – 170º) = –cos 10º;

c) cos 122º = –cos (180º – 122º) = –cos 58º.

Bài 4 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1).

Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \[ \overrightarrow{\text{MOx}}=\alpha  \] 

Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.

Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên x02 + y02 = OM2 = 1⇒ sin2 α + cos2 α = 1.

Bài 5 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Ta có : sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 – cos2 x.

⇒ P = 3.sin2 x + cos2 x

= 3.(1 – cos2x) + cos2 x

= 3 – 3.cos2x + cos2x

= 3 – 2.cos2x

= 3 – 2.(1/3)2

= 3 – 2/9

= 25/9.

Bài 6 (trang 40 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ chân trời sáng tạo

Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BA}} \] 

Khi đó \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AE}} \right) \] 

\[ =\widehat{\text{CAE}}={{180}^{\circ }}-\overline{\text{CAB}} \] 

\[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \] 

Do đó:

\[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\text{cos}{{135}^{\circ }}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \] 

Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BD}} \] như hình vẽ

Khi đó:

\[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AF}} \right)=\widehat{\text{FAC}}={{90}^{\circ }} \] 

Vậy \[ \text{sin}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\text{sin}{{90}^{\circ }}=1 \] 

\[ \overrightarrow{\text{AB}} \] và \[ \overrightarrow{\text{CD}} \] là hai vector ngược hướng \[ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)={{180}^{\circ }} \] 

Vậy \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)=\text{cos}{{180}^{\circ }}=-1 \] 

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giá trị lượng giác của một góc bất kì toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất