I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
• Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó.
Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.
• Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
• Trong một đường tròn :
– Các góc nội tiếp cùng chắn một
cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
– Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông.
– Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D (DE AC) sao cho COD = 90°. Các tia AD và BC cắt nhau ở P, AC và BD cắt nhau ở H. Chứng minh :
a) Tam giác ACP và tam giác BDP là các tam giác vuông cân ;
b) PH vuông góc với AB.
Giải:
a) Góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên ACB =90°, suy ra ACP = 90° (hai góc kề bù).
Do đó tam giác ACP vuông ở C. Ta có CAD=COD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung CD).
Mà PK : COD=90° nên CAD = 45°. Tam giác vuông ACP có góc CAP = 45° A 0
B nên là tam giác vuông cân.
Chứng minh tương tự tam giác BDP vuông cân ở D.
b) Theo chứng minh trên
ACB=90°, suy ra AC LBP, BDA = 90° suy ra BDI AP. T
rong tam giác APB, hai đường cao AC và BD cắt nhau ở H nên H là trực tâm của tam giác, do đó PHI AB.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp trong đường tròn (O). D là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC, tia AD cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh :
a) AEC = ACB ;
b) AAEC A AACD;
c) Tính AE.AD không đổi khi điểm D thay đổi trên cạnh BC.
Giải
:
a) Ta có AEC = ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Tam giác ABC cân ở A (giả thiết) nên ABC = ACB. Suy ra AEC = ACB.
b) ΔAEC vs ΔΑCD cό :
AEC = ACD (theo câu a); Góc A chung. Do đó AAEC / AACD(g-g). c) Theo câu b): AAEC v AACD, ta có :
AE AC
A hay AE.AD= AC?.
AC AD” Vì tam giác cân ABC cho trước nên AC không đổi, do đó tính AE.AD không đổi.
Hình
134
II. BÀI TẬP
12. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) ở M, đường cao BK cắt đường tròn (O) ở N. Chứng minh :
a) CM = CN ;
b) AC là tia phân giác của góc MAN.
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc B cắt đường tròn ở M. Đường thẳng kẻ qua M song song với AB cắt đường tròn ở N và cắt cạnh BC ở I.
a) So sánh hai góc MCN và
BNC;
b) Chứng minh IM = IB và IN = IC.
14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H nằm trong tam giác. Tia AH cắt BC ở I, cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh :
a) BC là tia phân giác của góc HBE ;
b) H và E đối xứng với nhau qua BC.
15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, đường phân giác của góc A cắt
đường tròn ở P, đường cao AH cắt cạnh BC ở H. Chứng minh :
a)
OP song song với AH ;
b) AP là tia phân giác của góc OAH.
16. Cho đường tròn (O) hai dây AB và CD cắt nhau ở I. Chứng minh
IA.IB = IC.ID. (Xét hai trường hợp : điểm I nằm trong đường tròn (O) và điểm I nằm bên ngoài đường tròn (O).
17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH (He BC ), tia AO cắt đường tròn ở D. Chứng minh :
AB.AC a) AABH AADC ;
b) R =
18. Cho
tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH (He BC), AH cắt đường tròn ở D, AO cắt đường tròn ở E. a) So sánh hai góc BAH và CẠC ; b) Tứ giác BCED là hình gì ? Vì sao ? 19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm I nằm trong tam giác. Tia AO cắt đường tròn ở D. a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ? b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, 1, D thẳng hàng ; c) Chứng minh OI= AH. 20. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (0 và 0 thuộc hại nửa
mặt phẳng bờ AB. Qua A kẻ hai cát tuyến CD và EF (C và Ec (0) ), D và Fe (0)). Từ B kẻ BHLCD, kẻ BK LEF. Biết CAB = BAF. a) Chứng minh ABHC = ABKE ; b) So sánh CD và EF. 21. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC. Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. a) Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC; b) Tam giác BMD là tam giác gì ? Vì sao ? c) So sánh hai tam giác ADB và CMB ; d) Chứng minh rằng MA = MB+MC. 22. Dựng tam giác vuông ABC vuông ở A trong các
trường hợp sau : | a) Biết BC = 4cm, đường cao AH =1,2cm ; b) Biết BC = 4cm, ACB = 40°. III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ – 12. a) Tam giác AHC và tam giác vuông BKC có chung góc nhọn C nên CAH = CBK hay MAC = NBC. N / Mà MAC => sđ MC
HLAB
NBC ==
sđ NC
M
Suy ra MC = NC.
b) Ta có :
NAC = NBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC ). Ma NBC = MAC (theo câu a), suy ra NAC = MAC. Do đó
AC là tia phân
giác của góc MAN. 13. a) BM là tia phân giác của góc B nên B = B.
n Bi = B2. MG—–
M. MN // AB nên B = M. Suy ra B = B = M. Mà B = 1 sa AM, B2 = 4-sd MC,
M=-sd NB, do đó AM = MC = NB.
IIuth 136
2
Vậy MA+AB + BN = CM + MA + AB, vì thế hai góc nội tiếp : MCN = BNC. b) Tam giác MIB cân ở I vì có B = M , do đó IM = IB.
CNM = Fsd MC , BCN = -sd NB. Mà
MC = NB nên MNC = BCN hay INC = ICN.
Do đó AICN cân ở I, ta có IN =IC. 14. a) Ta có :
2
АК
HAC = HBC (cùng phụ với góc ACB) EAC = EBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung X EC).
H Suy ra HBC = EBC. Vậy BC là tia phân giác của góc HBC.
Hình 137
b) Tam giác HBE có BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân, do đó BỊ là đường trung tuyến thuộc cạnh HE, do đó H và E
đối xứng với nhau qua BC.
15. a) AP là tia phân giác của góc BAC nên
BAP= PAC suyra PB=PC, do đó OP I BC. Mặt khác AHLBC nên OP || AH. b) AAOP cân ở 0 vì có OA = OP nên OAP = OPA.
1 B2 OP // AH (theo câu a), ta có OPA = OAH (hai góc so le trong). Suy ra OAP = HAP.
Vậy AP là tia phân giác của góc OAH. 16. a) Trường hợp điểm I nằm bên trong đường tròn tâm O (h. 139).
Ta có: IAC = IDB (hai góc nội tiếp cùng chắn
cung BC ) ICA = IBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD). Do đó AIAC AIDB (g-g), ta có :
Hình 138
A
IA_IC hay IA.IB = IC.ID.
ID IB” b) Trường hợp điểm 1 nằm bên ngoài đường tròn (O), học sinh tự
chứng minh. 17. a) AH I BNC (giả thiết) nên AHB=90°.
ACD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD). BAH = ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Do đó AAHB V AACD (g-g). b) AAHB – AACD
(theo câu a), ta có: AH AB
-= – suy ra AH.AD = AB.AC AC AD
Hình 140
Hay AH = 2R = AB.AC, do đó AH =
AB.AC
2R
18. a) Hai tam giác AHB và ACE có AHB = ACE = 90° và ABH = AEC
nên BAH = AC.
A
Tol
VA
b) ADE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AE) nên DE LAD.
Mặt khác BCI AD do đó DE //
BC.
Tứ giác BCED là hình thang. Ta có BCE = BAE (hai góc nội tiếp cùng chắn
DE
gS cung BDE ).
Hình 141
CBD=CAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DEC ).
Mà BAE = CAD, do đó BC = CBD.
Hình thang BCED có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Chú ý : Học sinh có thể chứng minh cung BDE = cung DEC để suy ra hai góc BCE = CBD hoặc suy ra hai đường chéo BE
=CD rồi kết luận BCED là hình thang cân.
19. a) ACD=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
A_ đường kính AD), suy ra CDI AC. H là trực tâm của AABC nên BHL AC.
Suy ra BH // CD. Tương tự CH || BD.
Tứ giác BHCD có các cạnh đối song song nên là Bé – hình bình hành.
b) I là trung điểm của đường chéo BC trong hình bình hành BHCD nên I là trung điểm của đường
Hình 142 chéo HD, do đó ba điểm H, I, D
thẳng hàng.
c) OI là đường trung bình của tam giác AHD, ta có OI= AH.
20. a) AEBF (cạnh huyền – góc nhọn) nên AH = BK..
ACB = AEC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O)).
ABHC = ABKE (cạnh góc vuông – góc nhọn).
b) Theo câu a ABHC=ABKE, ta có :
CH = EK.
Tương tự ABHD = ABKF, ta có
HD = KF. Suy ra CH + HD = EK +KF Hay CD = EF.
Chú
ý : Có thể chứng minh ACBD V AEBF (g-g) theo tỉ số
BH đồng dạng B =1, từ đó suy ra
BK CD = EF. 21. a) AMC = ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
AMB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Mà ACB = ABC do đó AMB = AMC. Vậy MA là tia phân giác của góc BMC.
b) Tam giác BMD có MB = MD, lại có 1 / BMD = ACB = 60° nên là tam giác đều.
c) AADB và ACMB có AB=BC, BD = BM và Bế – góc ABD=CBM (vì
cùng cộng với góc DBC để được ABC = DBM = 60°).
ình 144
Do đó AABD=ACBM (c.g.c). d) AABD = ACBM (theo câu c), ta có AD = MC.
Vậy MA = MD+DA = MB+ MC.
22. a) Cách dựng :
– Dựng đoạn thẳng BC = 4cm.
– Dựng nửa đường tròn đường kính BC.
– Dựng đường thẳng xy // BC cách BC một B H khoảng 1,2cm.
Hình 145
Đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính
BC tại hai điểm A và A”. Ta được hai tam giác ABC và ABC thoả mãn đề bài (h.145). Chứng minh : Học sinh tự chứng minh.
b) Cách dựng :
– Dựng đoạn thẳng BC = 4cm.
– Dựng nửa đường tròn đường kính BC.
– Dựng tia Cx sao cho BCx = 40°. Tia Cx cắt nửa đường tròn đường kính BC tại điểm A. Ta được AABC thoả mãn đề bài (h. 146). Chứng minh: Học sinh tự chứng minh.
n409
В.
4cm
Bài 3: Góc nội tiếp
Đánh giá bài viết
