Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng

Mệnh đề. Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Khi đó khoảng cách từ một điểm \(A\) tuỳ ý trên \(a\) đến \((\alpha)\) không đổi.

Chứng minh. Lấy thêm điểm \(B\) khác \(A\) trên \(a\). Gọi \(H, K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A, B\) lên mặt phẳng \((\alpha),\) đường thẳng \(a'\) qua 2 điểm \(H, K\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên \((\alpha).\) Ta có \(AH \parallel BK\) (vì cùng vuông góc với \((\alpha)\)). Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng qua 4 điểm \(A, B, K, H\). Vì \(a\parallel(\alpha)\) nên giao tuyến \(a'\) của \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với \(a\) (theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Như vậy tứ giác \(ABKH\) là hình bình hành và có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật. Từ đó \(AH=BK.\) Vậy khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên \(a\) đến \((\alpha)\) không đổi.

Định nghĩa. Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((\alpha)\) song song. Khoảng cách giữa \(a\) và \((\alpha)\) là khoảng cách từ một điểm \(A\) tuỳ ý thuộc \(a\) đến \((\alpha)\). Nghĩa là \(\mathrm{d}\big(a,(\alpha)\big)=\mathrm{d}\big(A,(\alpha)\big).\)

Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

+ Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn vềđường thẳng và mặt phẳng song song cùng các dạng bài tập nhé:

1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.

Định lí 1:

Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì d song song với (P).

Định lí 2:

(Định lí giao tuyến 2). Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3:

Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b.

Định lí 4:

Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b.

3. Các dạng toánđường thẳng song song với một mặt phẳng.

Dạng 1:

Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng. Phương pháp: Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với một đường thẳng a chứa trong (P) Chú ý: Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong (P) và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với (P) rồi chứng minh d // a.

Dạng 2:

Thiết diện song song đường thẳng cho trước Sử dụng định lí giao tuyến 2: “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d” để tìm các đoạn giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Ví dụ 2:Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Ví dụ 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO⊥ (ABCD) .

+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a

Đáp án D

5. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là

Bài giải:

+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .

mà (SAB) ∩ (SAD) = SA

⇒ SA⊥ (ABCD) .

+ Do E là trung điểm của AD khi đó

Tam giác ABD có EO là đường trung bình

⇒ EO // AB⇒ AB // (SOE)

⇒ d(AB, (SOE)) = d(A; (SOE)) = AH

với H là hình chiếu của A lên SE.

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Kẻ: OI⊥ AB; OH⊥ SI

+ Do CD // AB nên CD // (SAB)

⇒ d(CD, (SAB)) = d(C; (SAB)) = 2d( O; (SAB))

Ta có: AB⊥ SO , AB⊥ OI⇒ AB⊥ (SOI)⇒ AB⊥ OH

Nên OH⊥ (SAB)⇒ d(O, (SAB)) = OH

Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều

⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2 .

+ xét tam giác OAB có:

Chọn đáp án B.

Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?

Bài giải:

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC

⇒ BC // (SMN) nên :

d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.

+ Ta chứng minh: MN⊥ (SAM):

Chọn đáp án A