Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.
Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
1. Khái niệm về hình đa diện - Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
- Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
Ví dụ
- Các hình dưới đây là những khối đa diện:
Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác.
Phép dời hình trong không gian - Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $\mathrm{M}$ với điểm $\mathrm{M}^{\prime}$ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. - Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
- Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$, là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M$ ' sao cho $M \overrightarrow{M^{\prime}}=\vec{v}$. Kí hiệu là $T \vec{v}$.
- Phép đối xứng qua mặt phẳng $(\mathrm{P})$ là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm $\mathrm{M}$ không thuộc (P) thành điểm $\mathrm{M}^{\prime}$ sao cho $(\mathrm{P})$ là mặt phẳng trung trực của MM'. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình ( $H$ ) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứmg của (H).
- Phép đối xứng tâm $\mathrm{O}$ là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm $\mathrm{M}$ khác O thành điểm M' sao cho $\mathrm{O}$ là trung điểm của MM'. Nếu phép đối xứng tâm $\mathrm{O}$ biến hình $(\mathrm{H})$ thành chính nó thì $\mathrm{O}$ được gọi là tâm đối xứng của $(\mathrm{H})$.
- Phép đối xứng qua đường thẳng $\Delta$ là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $\Delta$ thành điểm $\mathrm{M}^{\prime}$ sao cho $\Delta$ là đường trung trực của $\mathrm{MM}$ '.
Nhận xét
- Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. - Phép dời hình biến đa diện $(H)$ thành đa diện $(H)$, biến đỉnh, cạnh, mặt của $(H)$ thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của $(H)$.Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nếu khối đa diện $(H)$ là hợp của hai khối đa diện $\left(H_{1}\right)$ và $\left(H_{2}\right)$ sao cho $\left(H_{1}\right)$ và $\left(H_{2}\right)$ không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện $\left(H_{1}\right)$ và $\left(H_{2}\right)$. Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khô̂i đa diện $\left(H_{1}\right)$ và $\left(H_{2}\right)$ để được khối đa diện $(H .$
Khối đa diện lồi Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm $A$ và $B$ nào của nó thì mọi điểm của đoạn $A B$ cũng thuộc khối đó.
Khối đa diện đều
- Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: - Các mặt là những đa giác đều $n$ cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $p$ cạnh. - Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại $\{n, p\}$. Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại $\{3,3\}$, loại $\{4,3\}$, loại $\{3,4\}$, loại $\{5,3\}$, loại $\{3,5\}$. Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 măt.
Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
Kết quả 6: Cho $(H)$ là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có $p$ cạnh. Nếu số mặt của $(H)$ là lẻ thì $p$ phải là số chẵn.
Chứng minh: Gọi $\mathrm{M}$ là số các mặt của khối đa diện $(H)$. Vî mỗi mặt của $(H)$ có $p$ cạnh nên $M$ mặt sẽ có $p . M$ cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của $(H)$ bằng $C=(p M) / 2 .$ Vì $M$ lẻ nên $p$ phải là số chẵn.
Kết quả 7: (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho (H) là đa diện có $M$ mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có $p$ cạnh. Khi đó số cạnh của $(H)$ là $C=(p M) / 2$
Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là $C$ và $M$
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là $\quad C=\frac{3 M}{2} \stackrel{c \in \mathbb{Z}}{\longrightarrow} M$ chẵn.
Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diên.
Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
(Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn)
Đáp án D
Hình chóp tam giác đều chỉ biết mặt đáy là tam giác đều nhưng các mặt bên chưa chắc là tam giác đều.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:
A.
Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều
B.
Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều
C.
Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều
D.
Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều
Định nghĩa: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.
II. Khối đa diện đều
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau đây:
+ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
+ Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}
Câu hỏi :
Nêu ví dụ về khối đa diện không đều. Ví dụ: hình chóp tam giác vuông, hình lăng trụ tam giác,….
Câu hỏi:
Khối chóp tứ giác đều, khối lăng trụ đứng tam giác đều có các cạnh bên bằng các cạnh đáy có phải là các đa diện đều không? Vì sao? Không. Vì: – Đối với khối chóp: đỉnh chóp là đỉnh chung của 4 mặt, còn các đỉnh ở đáy là đỉnh chung của 3 mặt.
– Đối với khối lăng trụ: 2 mặt đáy là 2 tam giác đều, còn 3 mặt bên là các hình vuông.
Nguồn tại liệu dưới đây:Hình học, Toán lớp 12 - Tags: đa diện đều, đa diện lồi, hình học 12