Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hayVới Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show  A. Phương pháp giải1. Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu. 2. Cách đặt Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx * Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” B. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tính ∫x.lnx dx. Lời giải Chọn A. Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)exdx. A. (x - 1)ex + ex + C. B. xex - ex + C. C. xex + C. D. (x - 2)ex + C. Lời giải Chọn D. Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số: Lời giải Chọn C. Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x2 - x + 1)exdx. A. I = (3x2 - 7x + 8)ex + C. B. I = (3x2 - 7x)ex + C. C. I = (3x2 - 7x + 8) + ex + C. D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C. Lời giải Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có: Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ⇒ du = (6x - 1)dx và v = ex. Do đó: I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx Đặt u1 = 6x - 1 và dv1 = exdx ta có du1 = 6dx và v1 = ex. Do đó: ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C. Từ đó suy ra: I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C. Chọn A. Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số bằng: Lời giải Ta có: Chọn C. Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số: Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng: Lời giải Ta có: Chọn B. Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.ex có các nguyên hàm là: Lời giải Ta có: ∫x.exdx = ∫xd(ex) = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C. Chọn D. Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x2(3.lnx + 1). Lời giải
Chọn C. Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số qua phép đặt t = √x là: A. F(t) = 2tln2t - 4t + C. B. F(t) = 2tln2t + 4t + C. C. 2tlnt2 + 4t + C. D. 2tlnt2 - 4t + C. Lời giải Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt2 - 4t + C = 4tlnt - 4t + C. Chọn D. Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số là: Lời giải Chọn C. Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)exdx A. ex(2 - 3x) + C. B. ex(3 - 3x) + C. C. ex(3 - 2x) + C. D. ex(2 + 3x) + C. Lời giải Chọn C. Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx Lời giải
Chọn D. Ví dụ 13. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e2x. A. ∫f'(x)e2xdx = -x2 + 2x + C. B. ∫f'(x)e2xdx = -x2 + x + C. C. ∫f'(x)e2xdx = 2x2 - 2x + C. D. ∫f'(x)e2xdx = -2x2 + 2x + C. Lời giải Từ giả thiết ⇒ F'(x) = f(x).e2x ⇔ (x2)' = f(x).e2x ⇔ 2x = f(x).e2x (1) Đặt A = ∫f'(x).e2xdx. Đặt u = e2x ⇒ du = 2.e2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x) ⇒ A = e2x.f(x) - 2∫f(x).e2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x2 + 2x + C. Chọn D. Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).ex là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x).e2x. Lời giải
Chọn C. Ví dụ 15. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx. Lời giải Chọn C. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e-xdx A. -e-x(2x - 1) + C. B. -e-x(2x + 1) + C. C. -e-x(2x + 5) + C. D. Đáp án khác. Lời giải: Chọn C. Câu 2: Tính ∫x.2xdx bằng: Lời giải:
Chọn A. Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng: Lời giải: Chọn D. Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng: Lời giải: Chọn C. Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng: Lời giải:
Chọn A. Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng: Lời giải: Chọn A. Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 - 1)ex Lời giải: Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng: ∫f(x).exdx = f(x).ex - f'(x).ex + f''(x).ex - ... + f(k).ex + C. ∫(x2 - 1)exdx = (x2 - 1)ex - 2xex + 2ex + C = (x2 - 2x + 1).ex + C. Chọn A. Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x2 + 1)lnx Lời giải:
Chọn A. Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx Lời giải: Chọn C. Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx Lời giải: Chọn B. Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x3.ex2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng: Lời giải:
Chọn A. Câu 12: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx. Lời giải: Chọn A. |
