Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d

lý thuyết
trắc nghiệm
hỏi đáp
bài tập sgk

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với trục hoành :

Các câu hỏi tương tự

Xem chi tiết

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;-2;3) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}.$ Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là

A.
$2x-2y+3z-17=0.$

B.
$3x+2y-z-1=0.$

C.
$2x-2y+3z+17=0.$

D.
$3x+2y-z+1=0.$

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;-2;3) và đường thẳng (d:frac{x-1}{3}=frac{y+2}{2}=frac{z-3}{-1}.) Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Ta có: ${\vec n_P} = {\vec u_d} = \left( {3\,;\,2\,;\, – 1} \right)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: $3\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) – 1\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y – z + 1 = 0$.

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Câu hỏi Trắc nghiệm

Tag: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;-2;3) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}.$ Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1,0,0} \right),B\left( {0,1,0} \right)$ và $C\left( {0,0,1} \right)$ . Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ là:

Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1,0,0} \right),\;B\left( {0,b,0} \right),\;C\left( {0,0,c} \right)$, biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết $(ABC) \bot (P)$, $d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0.

Tìm vecto pháp tuyến của (P): $\vec{n_{p}}=\left [ \vec{MN},\vec{n_{Q}} \right ]$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M có vecto pháp tuyến là $\vec{n_{p}}$ như dạng 1.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (m) đi qua OA và vuông góc với (P) với O là gốc toạ độ.

Bài giải:

Ta có: $A(0;2;0)\Rightarrow \vec{OA}=(0;2;0)$

Hai vecto có giá song song được chứa trong (m) là :$\vec{OA}=(0;2;0)$ và $\vec{n_{p}}(2;3;-4)$.

Suy ra mặt phẳng (m) có vecto pháp tuyến là: $\vec{n_{m}}=\left [ \vec{OA},\vec{n_{p}} \right ]=(-8;0;-4)$.

Do đó mặt phẳng (m) đi qua O và có vecto pháp tuyến $\vec{n_{m}}=(-8;0;-4)$ có phương trình:

-8x - 4z = 0 $\Leftrightarrow $ 2x + z = 0.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-2).

Bài giải:

Ta áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình (P) có dạng:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{-3}+\frac{c}{-2}=1\Leftrightarrow 6x - 2y - 3z-6=0$.

Trắc nghiệm hình học 12 bài 2: Phương trình mặt phẳng

nhận vecto u→(a; b; c) làm vectoĐường thẳng :chỉ phương.+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vng góc với đường thẳng dta làm như sau:Tìm vecto chỉ phương của d là ud→Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến nα→2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Ovà vng góc với đường thẳng d:A. 2x – z = 0B. –y+ 2z= 0C. x- y+ 2z= 0D. x + z = 0Hướng dẫn giải:+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)+Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyếnlà:nP→ →= ud→(2; 0; -1)+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0 Chọn A.Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1)và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳngBC.A. 2x+ y – z - 3= 0C. -2x + y + z - 4 = 0B. x+ 2y - 2z + 2 = 0D. x + y + z + 2 = 0Hướng dẫn giải:Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vectopháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)Phương trình mặt phẳng cần tìm là:-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0Chọn C.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3;0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I vàvng góc với đường thẳng (d):A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0C. 2x+ y+ 3z - 8=0B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0Hướng dẫn giải:+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:? => I (2; 1; 1)+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPTlà n→(2;1;3)=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0Chọn C.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1);B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phươngtrình mặt phẳng ( P) đi qua G và vng góc với đường thẳng(d) :?A. 2x - 3y+ z- 10= 0B. 3x- 4y+ z - 1= 0C. 3x+ 4y - z + 3= 0D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0Hướng dẫn giải:+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là: => G( 2; 1; -1)+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1).+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vecto pháptuyến là : n→(3;-4;1)=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0Hay 3x – 4y + z- 1= 0Chọn B.Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vng gócvới mặt phẳng (β) .1. Phương pháp giải• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ→• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→• Lấy một điểm M trên Δ • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα→2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứađường thẳng=0A. x+ z = 0và vng góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10B. x+ y +1= 0C. y - z + 1= 0D. x – y + 2z= 0Hướng dẫn giải:Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→ = (1;2;-1)Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vng góc với (Q) nên (P) có một vectopháp tuyến làn→ =[u→ ,nQ→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là:1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0Chọn A.Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đườngthẳng98= 0 có phương trình làA. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0và vng góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z –B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0 C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0D.5x - 8y- 6z – 5 = 0Hướng dẫn giải:+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1;-3).+ Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ ( 2; -1; 3)+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) cómột vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0Chọn D.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2;-1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B vàvng góc với mặt phẳng α có phương trình làA. x – 3y – 5z + 5 = 0B. 3x - 4y – 5z = 0.C. 3x - 4y – 5z – 2= 0D. 3x+ 4y – 5z = 0Hướng dẫn giải:Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phươngMặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến nα→ (2 ; -1 ; 2)+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vng góc vớimặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n → = [AB→ , nα→ ] = (-3; 4; 5) và đi quaA(3; 1; 1)+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0 Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0Chọn B.Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song songvới Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).1. Phương pháp giảiTìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1→ ; u2→Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là nα→ = [u1→, u2→]Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháptuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứađường thẳngA.– 6x+ y+ 2z- 3= 0C. 6x+ y- 2z+ 1= 0B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0D. 6x- y- 2z+ 4= 0Hướng dẫn giải:Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u1→(0;-2;1)Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u2→(1;2;2)Ta có: [u1→,u2→] = ( - 6; 1; 2) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:phương với [u1→,u2→] . Chọn n→ ( -6; 1; 2)nên → cùngMặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n → (-6; 1; 2) có phươngtrình là:- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy khơng thỏa mãn.Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0Chọn B.Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đườngthẳng∆1 và song song với đường thẳng ∆2 có phương trình làA. x+ 4y + 2z + 2 = 0C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0Mặt phẳng α chứaB. 3x – 2y + 2z – 6 = 0D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0Hướng dẫn giải:Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; -2)Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u2→ (2; 2; -1)Ta có: [u1→, u2→] = (3; -2; 2) Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta cón→ cùng phương với [u1→, u2→] .Chọn n→ ( 3; -2; 2)nênMặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n → ( 3; -2; 2) có phươngtrình là:3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy khơng thỏa mãn.Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0Chọn C.Vídụ3: Trongkhơnggianhệthẳngchứa d và song song với d’A. x+ 3y - 2z - 24= 0B. x+ 3y+ 2z - 24=0C. x - 3y+ 2z + 12= 0D. x - 3y - 2z - 1= 0tọađộOxyz,chođường.Viết phương trình mặt phẳng (P)Hướng dẫn giải:Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 0; -1)Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u2→ (1; 1; -1)Ta có: [u1→, u2→] = (1; 3; 2) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta cóphương với [u1→, u2→]. Chọn n→(1;3;2) .nên n→ cùngMặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n →(1;3;2) cóphương trình là:1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy khơng thỏa mãn.Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0.Chọn B.Ví dụ 4: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đườngthẳng CD có phương trình là:A. 10x+ 9y + 5z - 74= 0B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0C. 10x - 9y + 5z + 56= 0D. Đáp án khácHướng dẫn giải:Ta có: AB→ (- 4; 5; -1); CD→( -1; 0; 2) =>[AB→, CD→] = ( 10; 9; 5)Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nênta cónên n→ cùng phương với [AB→, CD→] . Chọn n→ (10; 9; 5) Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n → (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3)là:10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy khơng thỏa mãn.Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0Chọn A.Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm Mkhông thuộc d1. Phương pháp giải• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u → . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độvecto MN→• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u→, MN→]• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháptuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳngd:đường thẳng d.A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0Hướng dẫn giải:. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A vàB. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0