Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Tóm tắt lý thuyết phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y có dạng: ax + by =c (1) trong đó: a, b và c là các số đã cho, với ab ≠ 0
Nếu có cặp số $\displaystyle ({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ sao cho $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c$ thì $\displaystyle ({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1) đã cho.
2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (ab ≠ 0)
+ Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số (x, y), trong đó:
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\in R\\y=\frac{{c-ax}}{b}\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}y\in R\\x=\frac{{c-by}}{a}\end{array} \right.$
Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số $\displaystyle y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{a}$ . Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng ax + by = c .
+ Nếu a = 0, b ≠ 0 mỗi cặp số (x; y) trong đó $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\in R\\y=\frac{c}{b}\end{array} \right.$ là một nghiệm của phương trình.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm P$\displaystyle \left( {0;\frac{c}{b}} \right)$
+ Nếu a ≠ 0, b = 0, tập nghiệm của phương trình là các cặp số (x, y) trong đó $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\y\in R\end{array} \right.$
Đường thẳng $\displaystyle x=\frac{c}{a}$ song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm Q$\displaystyle \left( {\frac{c}{a};0} \right)$ biểu diễn tập nghiệm của phương trình.
3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
là hệ phương trình có dạng: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}\\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}\end{array} \right.$ (I)
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một cặp số $\displaystyle ({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ đồng thời đều là nghiệm của (1) và (2) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).
Chúng ta có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trên bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Để giải dạng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z={{d}_{1}}\\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z={{d}_{2}}\\{{a}_{3}}x+{{b}_{3}}y+{{c}_{3}}z={{d}_{3}}\end{array} \right.$
Ta dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc phương pháp cộng đại số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác.
Hàm số bậc nhất y=ax+b
Lý thuyết hàm số
Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 10
Lý thuyết hàm số bậc 2
Lý thuyết đường tiệm cận
Lý thuyết các phép toán tập hợp
Lý thuyết quy tắc điểm: quy tắc cộng, quy tắc nhân
Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn: Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng
Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn (\(x\) và \(y\)) có dạng: \(ax + by =c\) (1) trong đó \(a, b, c\), là các số đã cho, với \(ab ≠ 0\).
Nếu có cặp số c sao cho \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
2. Giải và biện luận phương trình \(ax + by = c\) (\(ab ≠ 0\))
+ Nếu \(a ≠ 0, b ≠ 0\) phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số \((x, y)\), trong đó
\(\left\{\begin{matrix} x\in\mathbb R & \\ y=\frac{c-ax}{b}& \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} y\in\mathbb R & \\ x=\frac{c-by}{a}& \end{matrix}\right.\) đều là nghiệm của phương trình.
Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số \(y = \frac{-a}{b}x+\frac{c}{a}\). Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng \(ax + by = c\).
+ Nếu \(a = 0, b ≠ 0\) mỗi cặp số \((x; y)\) trong đó
\(\left\{ \matrix{ x \text { là số tùy ý }\hfill \cr
y = {c \over b} \hfill \cr} \right.\)
là một nghiệm của phương trình.
Quảng cáoTập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \(P(0; \frac{c}{b})\).
+ Nếu \(a ≠ 0, b = 0\), tập nghiệm của phương trình là các cặp số \((x, y)\) trong đó \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{c}{a} & \\ y& \end{matrix}\right.\) là số tùy ý.
Đường thẳng \(x = \frac{c}{a}\) song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm \(Q(\frac{c}{a}; 0)\) biểu diễn tập nghiệm của phương trình.
3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
là hệ phương trình có dạng: (I) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} (1)& \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}(2)& \end{matrix}\right.\)
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một cặp số \(({x_0};{y_0})\) đồng thời là nghiệm của (1) và của (2) gọi là một nghiệm của hệ (I).
Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số.
4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài viết tổng hợp về cách giải hệ phương trình lớp 10, cách giải hệ phương trình tuyến tính, điều kiện để hệ phương trình có nghiệm hay là các dạng hệ phương trình và cách giải. Mau tìm hiểu Cunghocvui thôi nào!
I) Tổng quát
1) Phương trình bậc nhất 2 ẩn
- Dạng tổng quát: ax + by = c (a, b, c phải là các số đã cho và \(ab \neq 0\))
- Cặp \((x_0; y_0)\) được gọi là một nghiệm của phương trình nếu \(ax_0 + by_0 =c\)
2) Một vài các dạng hệ phương trình và cách giải
2.1) Hệ 2 phương trình
a) Dạng tổng quát: \(\left\{\begin{matrix}a_1x+b_1y=c_1 (*) & \\a_2x +b_2y=c_2 (**) & \end{matrix}\right.\)
\((*) \) và \( (**) \) là phương trình bậc nhất hai ẩn nên điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là a, b, c là các số đã cho, \(ab \neq 0\).
b) Các cách giải hệ phương trình:
- Phương pháp thế:
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình mới, mà trong đó có một phương trình 1 ẩn.
- Giải phương trình 1 ẩn rồi suy ra nghiệm
- Phương pháp cộng đại số
- Nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần), sao cho ẩn nào đó trong hai phương trình bằng hoặc đối nhau.
- Áp dụng quy tắc cộng đại số để suy ra hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
- Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm
2.2) Hệ 3 phương trình
Với hệ 3 phương trình, cách giải hệ phương trình thì ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương dạng tam giác. Hoặc ta cũng có thể sử dụng phương pháp thế, đưa về giải 1 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
II) Hệ phương trình tuyến tính
1) Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính là hệ mà có m phương trình và n ẩn số.
2) Dạng tổng quát
\(\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 & & & & \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a{2n}x_n=b_2 & & & & \\ ... & & & & \\ a_{m1}x_1+a_{m_2}x_2+...+a{mn}x_n=b_m & & & & \end{matrix}\right.\)
Hệ phương trình tuyến tính có dạng trên được gọi là hệ phương trình tuyến tính tuần nhất n ẩn.
3) Cách giải
Hệ tuyến tính thuần nhất bao giờ cũng có nghiệm nhưng chỉ có 2 trường hợp:
- Hệ có nghiệm duy nhất: Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình
- Hệ có vô số nghiệm: Hạng ma trận nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình
III) Bài tập: Giải các hệ phương trình sau
1) \(\left\{\begin{matrix}4x-2y=3 & \\6x-3y=5 & \end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{\begin{matrix}3x-4y+2=0 & \\5x+2y-14=0 & \end{matrix}\right.\)
3) \(\left\{\begin{matrix}2x+3y=5 & \\4x+6y=10 & \end{matrix}\right.\)
4) \(\left\{\begin{matrix}\dfrac {x}{y}=\dfrac {2}{3} & \\x+y=10 & \end{matrix}\right.\)
5) \(\left\{\begin{matrix}\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y} =\dfrac {1}{12} & \\\dfrac {8}{x}+\dfrac {15}{y} =1 & \end{matrix}\right.\)
6) \(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=13& \\3x^2-2y^2+6=0 & \end{matrix}\right.\)
Xem thêm: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trên đây là những kiến thức lý thuyết về các dạng hệ phương trình và cách giải hệ phương trình lớp 10. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc các bạn học tập tốt <3