Đáp án:
a) \(\dfrac{\pi }{{2700}}rad/s\) và \(8144,87m/s\)
b) \(9,47m/{s^2}\)
Giải thích các bước giải:
a) Tốc độ góc là:
\(\omega = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{5400}} = \dfrac{\pi }{{2700}}rad/s\)
Tốc độ dài là:
\(v = \omega R = \dfrac{\pi }{{2700}}.\left( {6400 + 600} \right).1000 = 8144,87m/s\)
b) Gia tốc hướng tâm là:
\(a = {\omega ^2}R = {\left( {\dfrac{\pi }{{2700}}} \right)^2}.\left( {6400 + 600} \right).1000 = 9,47m/{s^2}\)
Quỹ đạo địa tĩnh là quỹ đạo tròn ngay phía trên xích đạo Trái Đất (vĩ độ 0º). Bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng xích đạo đều quay tròn xung quanh Trái Đất theo cùng một hướng và với cùng một chu kỳ (vận tốc góc) giống như sự tự quay của Trái Đất. Nó là trường hợp đặc biệt của quỹ đạo địa đồng bộ, và là quỹ đạo được những người khai thác hoạt động của vệ tinh nhân tạo ưa thích (bao gồm các vệ tinh viễn thông và truyền hình). Các vị trí vệ tinh chỉ có thể khác nhau theo kinh độ.
Theo định luật 2 Newton về chuyển động, ta có thể thay thế các lực F {\displaystyle F} bằng khối lượng của vật thể nhân với gia tốc mà vật thể có được do các lực này:
m v t ⋅ a g = m v t ⋅ a c {\displaystyle m_{vt}\cdot a_{g}=m_{vt}\cdot a_{c}}
Thấy rằng khối lượng của vệ tinh, m v t {\displaystyle m_{vt}} , xuất hiện trên cả hai vế—ta có thể chia cả hai vế cho m v t {\displaystyle m_{vt}} (do nó ≠0) và có thể rút ra kết luận là quỹ đạo địa tĩnh là độc lập với khối lượng của vệ tinh. Vì vậy, tính toán độ cao được đơn giản thành tính toán điểm mà cường độ của gia tốc ly tâm có được từ chuyển động trên quỹ đạo và gia tốc hướng tâm tạo ra bởi trường hấp dẫn của Trái Đất phải bằng nhau.
Cường độ gia tốc ly tâm là:
| a c | = ω 2 ⋅ r {\displaystyle |a_{c}|=\omega ^{2}\cdot r}
...trong đó ω {\displaystyle \omega } là vận tốc góc tính bằng radian trên giây, và r {\displaystyle r} là bán kính quỹ đạo tính theo đơn vị mét từ tâm Trái Đất.
Cường độ của tương tác hấp dẫn là:
| a g | = M e ⋅ G r 2 {\displaystyle |a_{g}|={\frac {M_{e}\cdot G}{r^{2}}}}
...trong đó M e {\displaystyle M_{e}} là khối lượng của Trái Đất tính theo kilôgam, và G {\displaystyle G} là hằng số hấp dẫn.
Cân bằng cả hai gia tốc ta thu được:
r 3 = M e ⋅ G ω 2 {\displaystyle r^{3}={\frac {M_{e}\cdot G}{\omega ^{2}}}}
r = M e ⋅ G ω 2 3 {\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {M_{e}\cdot G}{\omega ^{2}}}}}
Chúng ta có thể biểu diễn điều này trong dạng khác một chút bằng cách thay thế M e ⋅ G {\displaystyle M_{e}\cdot G} bằng μ {\displaystyle \mu } , hằng số hấp dẫn địa tâm:
r = μ ω 2 3 {\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{\omega ^{2}}}}}
Vận tốc góc ω {\displaystyle \omega } được tìm bằng cách chia góc mà vệ tinh đi qua trong một vòng quay ( 360 ∘ = 2 ⋅ π r a d {\displaystyle 360^{\circ }=2\cdot \pi \ rad} ) trong chu kỳ quỹ đạo (thời gian nó cần để thực hiện đủ một vòng quay: nó bằng một ngày thiên văn, hay 86,164 giây). Điều này cho ta:
ω = 2 ⋅ π 86164 = 7.29 ⋅ 10 − 5 r a d ⋅ s − 1 {\displaystyle \omega ={\frac {2\cdot \pi }{86164}}=7.29\cdot 10^{-5}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}}
Bán kính quỹ đạo sẽ là 42.164 km. Trừ đi bán kính Trái Đất tại xích đạo, bằng 6.378km, cho ta kết quả cuối cùng của độ cao là 35.786km.
Vận tốc quỹ đạo (cho biết vệ tinh quay trong không gian nhanh đến mức nào) được tính bằng cách nhân vận tốc góc với bán kính quỹ đạo:
v = ω ⋅ r {\displaystyle v=\omega \cdot r} = 3,07km/s = 11.052km/h
- Tiêu chuẩn liên bang 1037C (Hoa Kỳ)
- MIL-STD-188
- Thang máy vũ trụ
- Vệ tinh địa đồng bộ
- Quỹ đạo địa đồng bộ
- Tính quỹ đạo địa đồng bộ
- Cơ học quỹ đạo (Công nghệ tên lửa và vũ trụ)
- Danh sách các vệ tinh trên quỹ đạo địa tĩnh.