Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d:(x)(2) = ((z - 3))(1) = ((y - 2))(1) ) và hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z = 0. (Q): x – 2y + 3z -5 =0. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
Câu 3670 Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1}\) và hai mặt phẳng $(P): x – 2y + 2z = 0. (Q): x – 2y + 3z -5 =0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I $ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Viết phương trình của mặt cầu $(S)$.
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
Sử dụng các dữ kiện của bài toán để tìm bán kính và tâm của mặt cầu
+Tâm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
+Bán kính là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng $(Q)$ (do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng)
Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng --- Xem chi tiết
...Có bao nhiêu mặt cầu (( S ) ) có tâm thuộc đường thẳng (Delta :(x-3)(2)=(y-1)(-1)=(z-1)(-2) ) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (( ((alpha _1)) ):2x + 2y + z - 6 = 0 ) và (( ((alpha )_(2)) ):x-2y+2z=0 )
Câu 54536 Thông hiểu
Có bao nhiêu mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-2}\) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x + 2y + z - 6 = 0\) và \(\left( {{\alpha }_{2}} \right):x-2y+2z=0\)
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
Tham số hóa tọa độ tâm mặt cầu và sử dụng điều kiện tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu
Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng --- Xem chi tiết
...Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng được viết theo công thức nào ? Hãy theo dõi ngay bài viết dưới đây của chúng tôi để xem chúng tôi hướng dẫn bạn cách viết thông qua phương pháp và bài tập chi tiết nhé ! Tham khảo bài viết khác: – Phương pháp 1: Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu +) Điều kiện tiếp xúc d ( I; (P) ) = R Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng
Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:
(S): ( x – a )^2 + ( y – b )^2 + ( z – c )^2 = R^2
+) Tâm I sao cho I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng (P).
– Phương pháp 2:
Gọi I (a; b; c) ⇒ vecto IM = (x0 – a ; y0 – b ; z0 – c)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = (A; B; C)
Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k
⇒ I; R
Bài tập viết Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.
– Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:
( x – 1 )^2 + ( y + 2 )^2 + z^2 = 64/9
Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1
– Hướng dẫn giải:
Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0)
Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5
⇒ M (1; -5;0)
Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu
⇒ vecto IM = (1-a; -5-b; -c)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n=(2;1;-1)
Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng (Q)
Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)
⇒ a – 2b + c – 1=0
⇔ 1-2k + 2(5+k) + k – 1=0
⇔ k = -10
Với k = -10 thì I (21; 5; -10)
Bán kính của mặt cầu là R=| vecto IM |=|k . vecto n |
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
( x – 21 )^2 + ( y-5 )^2 + ( z + 10 )^2 = 600
Cám ơn bạn đã theo dõi bài viết này của chúng tôi, hy vọng bài viết này sẽ đem đến cho bạn những giá trị nội dung hấp dẫn, hữu ích nhất cho các bạn nhé !