Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi. Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 2. Phương trình mặt phẳng Show
Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; – 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; – 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\); b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; – 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.  a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP} = \left( { – 2;1;3} \right)\). Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { – 10; – 5; – 5} \right) = – 5\left( {2;1;1} \right)\). Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; – 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x – 2} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0\) b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1; – 4;0} \right)\) (P) qua \(A\left( {1;1; – 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; – 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình: \(1\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y – 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 4y + 3 = 0\) Quảng cáoc) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x – 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; – 5;1} \right)\). \(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; – 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến . Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x – 3} \right) – 5\left( {y – 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0\) d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 1;1} \right)\) \(Mp\left( \alpha \right)\): \(x – y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; – 1;1} \right)\). \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\) Vậy (P): \(2\left( {y – 1} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z – 2 = 0\) e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z – c} \right) = 0 \Leftrightarrow z – c = 0\) Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0. g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,\,B\left( {0,b,0} \right)\,\,C\left( {0,0,c} \right)\). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\) Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\). h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\). Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình : \(2\left( {x – 2} \right) + \left( {y – 1} \right) + \left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 6 = 0\)
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ trục Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox. A. x + y - z = 0 B. 2y - z + 1 = 0 C. y - 2z + 2 = 0 D. x + 2z - 3 = 0
Ta có \(A\left( {1;0;1} \right),{\bf{B}}\left( { - 1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{ox}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{ox}}} } \right] = \left( {0;1; - 2} \right).\) Vì (P) chứa AB và song song với Ox nên (P) có VTPT \(\overrightarrow {n{ _{\left( P \right)}}} = \left( {0;1; - 2} \right).\)
Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình: y-2z+2=0
– Vecto là một vecto pháp tuyến ( ) của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với . Đang xem: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và tạo với mặt phẳng (p một góc 60) – Hai vecto không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng . – Nếu là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng thì ” />là một của . Chú ý:Nếu là một của thì cũng là của . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳngMặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình tổng quát: . Nếu mặt phẳng có phương trình thì là một của . 3. Một số mặt phẳng thường gặpPhương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm với là . 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngMặt phẳng được xác định bởi phương trình tổng quát . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được xác định bởi công thức: . Chú ý:Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 5. Góc giữa hai mặt phẳngGóc giữa hai mặt phẳng và được xác định bởi công thức trong đó . Chú ý: . 6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng và . Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng xảy ra các trường hợp sau: – Trường hợp 1: . – Trường hợp 2: . – Trường hợp 3: . Đặc biệt . B. Bài tậpDạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cóA. Phương pháp Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình tổng quát: . Chú ý: // ( và có cùng ). ( của là một của ). là mặt phẳng trung trực của đoạn và đi qua trung điểm của . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1:Mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: . Phương trình mặt phẳng qua và có là: . Chọn đáp án A. Cách 2: song song với mặt phẳng nên có dạng: Vì qua nên . Vậy có phương trình là . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2:Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng với là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Giả sử là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . của là . Mặt phẳng đi qua trung điểm của và có nên có phương trình là . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: của là . Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng là . Chọn đáp án A. Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có cặpA. Phương pháp Tìm 2 vecto có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Khi đó của là ” />. Chú ý: + đi qua 3 điểm không thẳng hàng ” />. + vuông góc hai mặt phẳng ” />. + ” />. + đi qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng ” />. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1:Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là =(1;2;2)” />. Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình là . Chọn đáp án B. Cách 2: Giả sử mặt phẳng có , khi đó có dạng . Vì đi qua 3 điểm nên ta có hệ phương trình . Chọn . Khi đó có dạng . Mà nên . Vậy phương trình mặt phẳng là . Cách 3 (Trắc nghiệm): Thay tọa độ vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn. Vậy chọn B. Ví dụ 2.2:Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là . A. . B. . C. . D. . Xem thêm: Vở Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Tập 2 Có Đáp Án ), Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án Lời giải: Vecto pháp tuyến của là =(2;1;-2)” />. Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình là: . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.3:Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . Lời giải: đi qua và vuông góc với có =(0;-8;-12)” />. Phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án B. Ví dụ 2.4:Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng đi qua hai điểm và chứa trục . Phương trình nào là phương trình tổng quát của ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Ta có . Trục có vecto chỉ phương là . =(0;-2;-2)” />. Mặt phẳng đi qua điểm và có =(0;-2;-2)” />nên có phương trình là: . Cách 2: Mặt phẳng đi qua điểm nên có dạng (Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C). Vì thuộc nên . Chọn . Chọn đáp án C. Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnA. Phương pháp Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm với là . Để viết phương trình mặt phẳng thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt phẳng đi qua 3 điểm có phương trình đoạn chắn là . Chọn đáp án C. Ví dụ 3.2:Cho điểm . Lập phương trình mặt phẳng , biết rằng cắt ba trục lần lượt tại sao cho là trọng tâm của tam giác . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Do lần lượt thuộc nên giả sử . Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có . Mặt phẳng đi qua có phương trình là: . Ví dụ 3.3:Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua , cắt các trục tọa độ lần lượt tại mà là trực tâm của . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Giả sử . . Ta có . . Cách 2: Ta chứng minh được , suy ra vecto pháp tuyến của là . Mặt phẳng qua và có có phương trình là . Chọn đáp án A. Ví dụ 3.4:Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các trục tại tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Ba điểm nằm trên các trục tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho , suy ra với 0″ />. Phương trình . Mặt phẳng qua nên . Vậy phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.5:Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và cắt các trục lần lượt tại các điểm và sao cho thể tích khối tứ diện bằng 3 ( là gốc tọa độ). A. . B. . C. . D. . Xem thêm: Cách Tính Chu Vi Hình Vuông Khi Biết Diện Tích Hình Vuông Đầy Đủ Nhất Lời giải: Giả sử . Do là hình tứ diện nên . Vì Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình |
