Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi. Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 2. Phương trình mặt phẳng
Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; – 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; – 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);
b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; – 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ;
c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP} = \left( { – 2;1;3} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { – 10; – 5; – 5} \right) = – 5\left( {2;1;1} \right)\).
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; – 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:
\(2\left( {x – 2} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0\)
b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1; – 4;0} \right)\)
(P) qua \(A\left( {1;1; – 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; – 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:
\(1\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y – 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 4y + 3 = 0\)
Quảng cáoc) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x – 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; – 5;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; – 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x – 3} \right) – 5\left( {y – 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0\)
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 1;1} \right)\)
\(Mp\left( \alpha \right)\): \(x – y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; – 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)
Vậy (P): \(2\left( {y – 1} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z – 2 = 0\)
e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z – c} \right) = 0 \Leftrightarrow z – c = 0\)
Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,\,B\left( {0,b,0} \right)\,\,C\left( {0,0,c} \right)\).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)
Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).
h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :
\(2\left( {x – 2} \right) + \left( {y – 1} \right) + \left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 6 = 0\)
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ trục Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox. A. x + y - z = 0 B. 2y - z + 1 = 0 C. y - 2z + 2 = 0 D. x + 2z - 3 = 0
Ta có \(A\left( {1;0;1} \right),{\bf{B}}\left( { - 1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{ox}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{ox}}} } \right] = \left( {0;1; - 2} \right).\) Vì (P) chứa AB và song song với Ox nên (P) có VTPT \(\overrightarrow {n{ _{\left( P \right)}}} = \left( {0;1; - 2} \right).\)
Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình: y-2z+2=0
– Vecto
là một vecto pháp tuyến (
) của mặt phẳng
nếu giá của
vuông góc với
.
Đang xem: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và tạo với mặt phẳng (p một góc 60)
– Hai vecto
không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng
.
– Nếu
là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
thì
” />là một
của
.
Chú ý:Nếu
là một
của
thì
cũng là
của
.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có
có phương trình tổng quát:
.
Nếu mặt phẳng
có phương trình
thì
là một
của
.
3. Một số mặt phẳng thường gặp
Phương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm
với
là
.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Mặt phẳng
được xác định bởi phương trình tổng quát
. Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
được xác định bởi công thức:
.
Chú ý:Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
và
được xác định bởi công thức
trong đó
.
Chú ý:
.
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
và
. Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng
xảy ra các trường hợp sau:
– Trường hợp 1:
.
– Trường hợp 2:
.
– Trường hợp 3:
.
Đặc biệt
.
B. Bài tập
Dạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có
A. Phương pháp
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có
có phương trình tổng quát:
.
Chú ý:
//
(
và
có cùng
).
(
của
là một
của
).
là mặt phẳng trung trực của đoạn
và
đi qua trung điểm của
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1:Mặt phẳng
qua
và song song với mặt phẳng
là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Cách 1:
.
Phương trình mặt phẳng
qua
và có
là:
.
Chọn đáp án A.
Cách 2:
song song với mặt phẳng
nên
có dạng:
Vì
qua
nên
.
Vậy
có phương trình là
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.2:Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
với
là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Giả sử
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
.
của
là
.
Mặt phẳng
đi qua trung điểm
của
và có
nên có phương trình là
.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
của
là
.
Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là
.
Chọn đáp án A.
Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có cặp
A. Phương pháp
Tìm 2 vecto
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng
. Khi đó
của
là
” />.
Chú ý:
+
đi qua 3 điểm
không thẳng hàng
” />.
+
vuông góc hai mặt phẳng
” />.
+
” />.
+
đi qua 2 điểm
và vuông góc với mặt phẳng
” />.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1:Phương trình mặt phẳng
đi qua 3 điểm
là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Cách 1:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
là
=(1;2;2)” />.
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có
có phương trình là
.
Chọn đáp án B.
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng
có
, khi đó
có dạng
.
Vì
đi qua 3 điểm
nên ta có hệ phương trình
.
Chọn
.
Khi đó
có dạng
.
Mà
nên
.
Vậy phương trình mặt phẳng
là
.
Cách 3 (Trắc nghiệm):
Thay tọa độ
vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn.
Vậy chọn B.
Ví dụ 2.2:Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
có phương trình lần lượt là
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Xem thêm: Vở Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Tập 2 Có Đáp Án ), Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án
Lời giải:
Vecto pháp tuyến của
là
=(2;1;-2)” />.
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có
có phương trình là:
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.3:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
đi qua
và vuông góc với
có
=(0;-8;-12)” />.
Phương trình mặt phẳng
là
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2.4:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua hai điểm
và chứa trục
. Phương trình nào là phương trình tổng quát của
?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Cách 1:
Ta có
.
Trục
có vecto chỉ phương là
.
=(0;-2;-2)” />.
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có
=(0;-2;-2)” />nên có phương trình là:
.
Cách 2:
Mặt phẳng
đi qua điểm
nên có dạng
(Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C).
Vì
thuộc
nên
.
Chọn
.
Chọn đáp án C.
Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
A. Phương pháp
Phương trình mặt phẳng
đi qua 3 điểm
với
là
.
Để viết phương trình mặt phẳng
thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng
?
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Mặt phẳng đi qua 3 điểm
có phương trình đoạn chắn là
.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3.2:Cho điểm
. Lập phương trình mặt phẳng
, biết rằng
cắt ba trục
lần lượt tại
sao cho
là trọng tâm của tam giác
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Do
lần lượt thuộc
nên giả sử
.
Vì
là trọng tâm của tam giác
nên ta có
.
Mặt phẳng
đi qua
có phương trình là:
.
Ví dụ 3.3:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
, cắt các trục tọa độ lần lượt tại
mà
là trực tâm của
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Cách 1:
Giả sử
.
.
Ta có
.
.
Cách 2:
Ta chứng minh được
, suy ra vecto pháp tuyến của
là
.
Mặt phẳng
qua
và có
có phương trình là
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.4:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và cắt các trục
tại
tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Ba điểm
nằm trên các trục
tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho
, suy ra
với
0″ />.
Phương trình
.
Mặt phẳng
qua
nên
.
Vậy phương trình mặt phẳng
là
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.5:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
và
sao cho thể tích khối tứ diện
bằng 3 (
là gốc tọa độ).
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Xem thêm: Cách Tính Chu Vi Hình Vuông Khi Biết Diện Tích Hình Vuông Đầy Đủ Nhất
Lời giải:
Giả sử
. Do
là hình tứ diện nên
.
Vì
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình