§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với X là biểu thức dạng f(x) = ax2 +bx + c trong đó a, b, c là những hệ số đã cho, a * 0. Dấu của tam thức bậc hai Cho f(x) = ax2 + bx + c (a * 0), A = b2 - 4ac. Nếu A < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi xe K . Nếu A = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi X = . c) Nếu A > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi X x2, trái dấu với hệ số a khi X, < X < x2 trong đó Xi, x2 (x, < x2) là hai nghiệm của f(x). X -co Xl x2 +00 af(x) + 0 0 + f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a Bất phương trình bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn X là bất phương trình dạng ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a * 0. Giải bất phương trình bậc hai Đưa bất phương trình về dạng: f(x) > 0 (hoặc f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) < 0) Xét dấu biểu thức f(x). Chọn tập nghiệm tương ứng với chiều bất đẳng thức. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Xét dấu các tam thức bậc hai a)5x2-3x+1; b) -2x2 + 3x + 5; c)x2+12x + 36; d) (2x - 3)(x + 5). tflai Ta có: a - 5 > 0 và A = 9 - 20 = -11 0, Vx 6 R Ta có: -2x2 + 3x + 5 = 0 d) (2x - 3)(x + 5) = 0 Bảng xét dấu: x -00 -1 5 2 +00 -2x2 + 3x + 5 - 0 + 0 - c) X2 + 12x + 36 = (x + 6)2 > 0 với mọi x X -õo -6 +00 X2 + 12x + 36 + 0 + Bảng xét dấu: X -00 -5 3 2 +00 (2x -3)(x + 5) + 0 - 0 + 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5); c) f(x) = (4x2 - 1 )(-8x2 + X - 3)(2x + 9); b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - X - 1); (3x2 - x)(3 - X2) d) f(x) = 4x + X - 3 a) 3x2 - lOx + 3 = 0 6jiải 4x-5 = 0x = — 4 b) 3x2 - 4x = 0 2x - X - 1 X = 0 4 X = — 3 X = -- -8x2 + X - 3 < 0, Vx e R vì (a = -8 < 0, A - -95 < 0) 2x + 9 = 0x = X -9 _ỉ 1 +00 2 2 2 4x2 - 1 + + 0 - 0 + -8x2 + X -3 — - — — 2x + 9 - 0 + 4- + f(x) + 0 - 0 + 0 - Bảng xét dấu: d) 3x2 - X = 0 x = 0 1 X = — 3 3-x2 = 0x = ±73 "x =-l 4x + X - 3 = 0 X -00 _1 0 ỉ £ 73 +00 3 4 3x2 - X + + + 0 - 0 + + + 3 - X2 - 0 + + + + + 0 - 4x2 + X - 3 + + 0 - - - 0 + + f(x) - 0 + - 0 + 0 - + 0 - Bảng xét dâ'u: 3. Giải các bất phương trinh sau a) 4x2 - X + 1 <0; . 1 3 c) ---—< . b) -3x2 + X + 4 > 0; d)x2-x-6<0. X -4 3x +X-4 Ta có: 4x2 - x+ l>0, VxeR vìa = 4>0vàA = -15 < 0 Vậy bâ't phương trình đã cho vô nghiệm: s = 0. ,'x = -1 -3x2 + X + 4 > 0 o X -00 -1 1 3 +00 -3x2 + X + 4 0 + 0 - Bảng xét dấu: -1; . 4 Vậy: s = c) X2 - 4 3x2 + X - 4 1. x2-4 3x2+x-4 3x2 + X-4-3X2 +12 n -7—: , , - (x2 - 4)(3x2 + X - 4) fx2 - 4)(3x2 + X - 4) Bảng xét dấu: -00 -8 -2 -- 1 X + 8 - 0 + + + + + X2 - 4 + + 0 - - 0 + 3x2 + X -4 + + + 0 - 0 + + X + 8 ) + - + - + (x2 -4)(3x2 +X-4) 4 3 Tập nghiệm bâ't phương trình là: s = (-00; -8) u ^-2;-^ Ư (1; 2). 4. Tìm các giá trị của tham sô' m đẽ’ các phương trinh sau vô nghiêm (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0; (1) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0. (2) ố^iảl a) Với m = 2 thì (1) trở thành 2x + 4 = 0x = -2 Phương trình có nghiệm. Với m * 2, (1) vô nghiệm khi và chỉ khi A' = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6) -m2 + 4m - 3 m2 - 4m + 3 > 0 m < 1 Ị 3 +x Vi+ỉttỉỉỉtỉÂ ► m > 3 b) Với m — 3: (2) thành -12x + 5 = 0 X = —- 12 Phương trình có nghiệm. Với m 3: (2) vô nghiệm khi và chỉ khi A' = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2) < 0 -3/2 2m + 5m + 3 < 0 — < m < -1 tHHHHHẠ -1 +3C + 0-0 2. d>r°? c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải các hệ bất phương trình: a) X -7x + 6 0 b) X2 + 4x + 3 > 0 2x2-x-10 0 c) -4 < X2 -2x-7 X2 +1 <1; iế: a) s = [1; 3] u [5; 6]; c) s = u [1; +co); .. . 10x2-3x-2 . d) -1 < —-5—7—< 1. -X +3x-2 b)S = [-1;l)U(|;| d)S=|-f;oK(A;j Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: X2 + (m - 2)x - 2m + 3 = 0 Dáp iô: m -2 + 2 73 . Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào: a) X2 - 2(m + 1 )x + 2m2 + m + 3 = 0; b) (m2 + 1 )x2 + 2(m + 2)x + 6 = 0. Show
Sử dụng kiến thức về dấu tam thức bậc hai, chúng ta có thể giải quyết được 2 dạng toán quan trọng sau: 1. Tam thức bậc hai là gì?
Tam thức bậc hai đối với biến $x$ là biểu thức có dạng $$f(x) = ax^2+ bx + c,$$ trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a \ne 0$. 2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai2.1. Định lí dấu tam thức bậc haiCho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $ với $ a\ne 0 $ có $ \Delta=b^2-4ac $. Khi đó, có ba trường hợp xảy ra:
2.2. Minh họa hình học của định lý dấu tam thức bậc haiĐịnh lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau 2.3. Ứng dụng định lí dấu của tam thức bậc haiNhận xét rằng trong cả hai trường hợp $ a>0 $ và $ a<0 $ thì
Do đó, chúng ta có các bài toán sau đây, với $ f(x)=ax^2+bx+c $ trong đó $ a\ne 0 $:
Chi tiết về vấn đề này, xin mời các em học sinh xem trong bài giảng Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm 2.4. Định lí đảo dấu tam thức bậc haiCho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $, với $ a\ne 0 $, có hai nghiệm phân biệt $ x_1<x_2 $ và một số $ \epsilon $. Khi đó, ta có các kết quả sau
Ứng dụng của định lí đảo là dùng để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai. Chi tiết vấn đề này, mời các em tham khảo bài So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai 3. Bài tập về dấu tam thức bậc haiBài 1. Xét dấu các tam thức sau
Hướng dẫn.
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
Hướng dẫn. Để giải các bất phương trình hữu tỉ, chúng ta biến đổi (rút gọn, quy đồng giữ lại mẫu) để được một bất phương trình tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó lập bảng xét dấu và căn cứ vào đó để kết luận.
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số $m$ để các phương trình sau có 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 4. Tìm $m$ để các bất phương trình sau vô nghiệm.
Bài 5. Tìm $m$ để các bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Tìm $m$ để các bất phương trình sau có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
Bài 7. Tìm $m$ để hàm số sau xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$.
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
Xem thêm: Phương trình chứa trị tuyệt đối Bài 9. Giải các phương trình sau.
Bài 10. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
|