CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 1 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn ≤ ≤ và + − = . A. 2020. B. 1010. C. 6. D. 7. - Tự luận: Ta có: + − = ⇔ + = + (1). Xét hàm = + , > . Ta có: ′ = + > , ∀ > ⇒ là hàm đồng biến trên ; +∞. Vì vậy, (1) ⇔ = ⇔ = . Theo giả thiết, ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ ; ; ; ; ; ; ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ; . Vậy có 7 cặp ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có: + − = ⇔ + = + ⇔ = . Theo giả thiết, ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Vì nguyên nên ∈ ; ; ; ; ; ; ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ; . Vậy có 7 cặp ; thỏa mãn. Chọn D Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn , ∈ ! ; " và √ = + − + + $ + + . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: √ = + − + + $ + + ⇔ + √ = + + + $ + + (2) Xét hàm số = + √ trên khoảng ; +∞ ta có: ′ = + √ > , ∀ > ⇒ đồng biến trên ; +∞. ⇔ = + + ⇔ = + + . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 2 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Do , ∈ ! ; " nên ≤ + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ và ∈ ! ; " nên = , với mỗi giá trị cho ta 1 giá trị = ∈ ! ; " thoả đề bài. Vậy có 1 cặp số nguyên ; thoả bài toán. Chọn C - Tư duy + Casio: + Áp dụng kĩ thuật CALC = . → = . = + + . + Do , ∈ ! ; " nên ≤ + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ và ∈ ! ; " nên = , với mỗi giá trị cho ta 1 giá trị = ∈ ! ; " thoả đề bài. Vậy có 1 cặp số nguyên ; thoả bài toán. Chọn C Câu 3. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn . + + ()* = +( . A. 4. B. 3. C. 1. D. 0. - Tự luận: Ta có: . + + ()* = +( ⇔ , + + = +( + +( (3). Đặt = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ > ⇒ Hàm số = đồng biến trên ; +∞. Vì vậy phương trình (3)⇔ + = +( ⇔ + = +( ⇔ = − ()* ⇒ ≤ . Mà là số nguyên dương. Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn. Chọn D - Casio: Ta có: . + + ()* = +( ⇔ . + + ′ = -′ (vì ()* + +( = ) + Áp dụng kĩ thuật CALC . = . → = − . = − . = − ()* ⇒ ≤ . + Mà là số nguyên dương. Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn. Chọn D Câu 4. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện ≤ ≤ và , + + = + A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 3 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có: , + + = + ⇔ + = Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ ∈ / Do đó + = ⇔ + = ⇒ = − Vì ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Mà ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; . . . ; Vậy có 2021 cặp số nguyên ; thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: , + + = + ⇔ + = ⇒ = − (tư duy nhanh) + Vì ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Mà ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; . . . ; . Vậy có 2021 cặp số nguyên ; thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số 0 nhỏ hơn để phương trình 10 + √0 + 2 = có nghiệm thực? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 0 + √0 + = ⇔ 0 + + √0 + = + Ta có √0 + ≥ , > . Xét hàm đặc trưng = + trên ; +∞. ′ = + ≥ , ∀ ∈ ; +∞ ⇒ đồng biến trên khoảng ; +∞ do đó ⇔ 1√0 + 2 = ⇔ √0 + = ⇔ 0 = − . Đặt 5 = , 5 > . Ta có ⇔ 0 = 5 = 5 − 5. Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 0 ≥ − , mà 0 nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên 0 ∈ ; ; ; . . . ; .Vậy có 2017 giá trị 0 thỏa mãn bài toán. Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 4 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: 10 + √0 + 2 = ⇔ 0 + √0 + = + Áp dụng kĩ thuật CALC: Đặt = = → 0 = = − = − + Đặt 5 = , 5 > . Ta có ⇔ 0 = 5 = 5 − 5. Như vậy: 0 ≥ − , mà 0 nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên 0 ∈ ; ; ; . . . ; . Vậy có 2017 giá trị 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A Câu 6. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện sau ≤ ≤ và + + − + − = . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: + + − + − = ⇔ + + + − + − = ⇔ + + + + + = + ⇔ + + + = + . (2). Xét hàm = + . Ta có . = + > , ∀ ∈ ℝ ⇒ là hàm đồng biến trên ℝ. Vì vậy, (2) ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = . Theo giả thiết: ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ − ; − ; − ; . . . . . . ; ; , với mỗi xác định duy nhất giá trị = . Vậy có 21 cặp ; thỏa mãn bài toán. Chọn D - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: + + − + − = + Áp dụng kĩ thuật – CALC: 89 = . → = . = √ ⇔ = + Theo giả thiết: ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ − ; − ; − ; . . . . . . ; ; , với mỗi xác định duy nhất giá trị = . Vậy có 21 cặp ; thỏa mãn bài toán. Chọn D CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 5 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện lẫn , ∈ !; " và − $ + = $ + √ − + (1). A. . B. . C. . D. . - Tự luận: ⇔ − $ + + = $ + $ − + ⇔ $,, $, = $- , - ⇔ : ,, , = : - , - (2). Xét hàm số = : , trên khoảng ; +∞ ta có: ′ = − : , < , ∀ > ⇒ nghịch biến trên ; +∞. ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − − Mà , ∈ !; " nên ≤ − − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; ; ; , với mỗi giá trị cho 1 giá trị y thoả mãn đề bài. Vậy có 6 cặp số nguyên ; thoả đề bài. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: − $ + = $ + √ − + + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → = = − + . + Mà , ∈ !; " nên ≤ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ Do ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; ; ; , với mỗi giá trị cho 1 giá trị y thoả mãn đề bài. Vậy có 6 cặp số nguyên ; thoả đề bài. Chọn B Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn =>? @ , A + = BCD ,E>B − BCD . A. Vô số. B. . C. . D. . - Tự luận: =>? F + G + = BCD ,E>B − BCD ⇔ =>? + + − = BCD ,E>B − BCD ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B − BCD . E>B + ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B − BCD . E>B + BCD +E>B ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B + BCD +E>B (2). Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ > . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 6 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⇒ hàm số = đồng biến ; +∞. Vì vậy (2)⇔ + = ()* + +( ⇔ + = ()* ,+( . Ta có: ()* + +( = − ()* ∈ H ; Inên ≤ ()* + +( ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Mà là số nguyên dương⇒ ∈ , , . Vậy có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn B - Tư duy + Casio: {kĩ thuật độc quyền} + Ta có: @ , A + = ()* ,+( − ()* hay VT = VP (Vế trái = Vế phải) + Đối với dạng hàm lượng giác thì hãy khảo sát: + Ta nhận xét: Hàm lượng giác chỉ dao động từ 1 -> 4. Suy ra: ≤ @ , A + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Mà là số nguyên dương⇒ ∈ , , . Vậy có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn B Câu 9. Cho số thực , thỏa mãn − = − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức J = − . A. J = . B. J = . C. J = . D. J = . - Tự luận: Ta có: − = − ⇔ + = + ⇔ = , với = + . Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ ∈ ℝ. Do đó = ⇔ = . J = − = − ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức J = đạt được khi = , = . Chọn D - Tư duy + Casio: + Nhận thấy = ⇒ J 05 = − CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 7 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Phương trình bậc 2, bậc 3 thì giải tìm min – max cho nhanh nhé! ~ Thậm chí các bạn vẫn có thể dò bảng câu này! Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức J = đạt được khi = , = . Chọn D Câu 10. Cho hai số thực , thỏa mãn ≤ , ≤ trong đó , không đồng thời bằng hoặc và @ , - A + + + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của J với J = + . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Từ điều kiện đề bài và , - > ; − ≠ ⇒ + > ; − > . Khi đó: @ , - A + + . + − = ⇔ + + + = − + − . Xét hàm số = + , > có ′ = .* + > , ∀ > . Suy ra là hàm số đồng biến trên khoảng ; +∞. Vậy phương trình ⇔ + = − ⇒ = - , ⇒ J = + - , . Xét hàm số = + - , với ∈ ! ; " Ta có ′ = + - , . ′ = ⇒ H = = − . = ; = ⇒ 0)* ! ;" = .Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: {3 cách – nhưng giới thiệu 2 cách chính} + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = = - , . ~ Cách 1: Ta có: J = + - , (dò bảng – tìm min) ~ Cách 2: Hướng dẫn bên dưới + Từ đó ta có: L , M N -. M N O + + @ - , + A − = + Đạo hàm hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất tại y bằng bao nhiêu? + Như vậy, = → = → J 05 = + = . Chọn B - Tư duy + Mẹo: + Theo đề ta có: ≤ , ≤ ---- chọn tại các giá trị đặc biệt là các dấu bằng “=”. + Như vậy: = , = → J 05 = + = . Chọn B ~ Hãy ghi nhớ giá trị min hay max đều liên quan tới dấu bằng “=”. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 8 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 11. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện đề bài ≤ ≤ và + = + + − ? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: + = + + − ⇔ . + = + + − ⇔ , + + = + + + . Xét hàm số = + . Ta có: ′ = . * + > , ∀. Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên ℝ. Do đó ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = , − . Vì ≤ ≤ nên ≤ , − ≤ ⇔ − ≤ ≤ - Do nguyên nên ∈ ; ; . ⇒ ; ∈ ; ; ; ; ; do đó có cặp số nguyên ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → =? {nhưng hiện số xấu} ~ Tư duy độc quyền xuất hiện: Đặt: Q . = + ′ = + + ⇒ . . = . − ~ Áp dụng kĩ thuật CALC:Cho . = . → . = . = . + = + + ~ Vì ≤ ≤ nên ≤ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ - ~ Do nguyên nên ∈ ; ; . ⇒ ; ∈ ; ; ; ; ; do đó có cặp số nguyên ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Mẹo: ~ Ta thấy đề cho đáp số 2-4-5-3, khá ít cặp thỏa mãn thì các bạn chỉ cần thử lần lượt = → =? , = → =? , = → =? , … khi giải ra không được nữa nè giới hạn chỉ có nhiêu đó cặp số nguyên. Eazy Câu 12. Cho = − - . Gọi 0 là số lớn nhất trong số nguyên 0 thỏa 0 + + @ 0 − A < . A. 0 = . B. 0 = . C. 0 = . D. 0 = . - Tự luận: Ta có − = - − ; − = − − - . ⇔ − = − nên là hàm số lẻ vậy nên 0 + + @ 0 − A < . * *CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 9 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⇔ 0 + < @− 0 + A. (*) Lại có = − - là hàm số đồng biến trên ℝ. Nên ∗ ⇔ 0 + < -0 + ⇔ 0 < . . Vậy 0 = . Chọn A - Tư duy + Casio: !!! Cách kiểm tra tính chẵn lẻ: Ta có: = − - Suy ra: − = −. Vậy hàm số trên có tính chất chẵn – lẻ. ~ Ta có: 0 + + @ 0 − A < ⇔ 0 + < @ 0 − A ~ Ta lại có: = − - là hàm số đồng biến trên ℝ (dò bảng). ⇔ 0 + < -0 + ⇔ 0 < . . Vậy 0 = . Chọn A Câu 13. Cho hai số thực , thỏa mãn: + 1 − $ − 2 + $ − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của J = + + + + + − . A. √ , . B. 36 296 15 9 . C. - √ . D. -√ , . - Tự luận: Ta có: + 1 − $ − 2 + $ − = ⇔ + − $ − + $ − = ⇔ + = 1$ − 2 + $ − ∗. Xét hàm số = + có . = + > ∀ ∈ ℝ nên hàm đồng biến trên ℝ. Do đó ∗ ⇔ = 1$ − 2 ⇔ = $ − ⇒ ≥ và = − . Với = không thỏa mãn. Với > thì J = + + + + + − = + + + + + − = + + + − + − = + + + − + + = + − + + . Mà + = + , = + ≥ √ √ . Đặt = + thì ≥ √ √ . Xét hàm số = − + với ≥ √ √ . Khi đó ′ = − > , ∀ ≥ √ √ . Do đó ≥ @ √ √ A = , √ . Vậy 0)* J = , √ . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: {kĩ năng xử lý số liệu – tư duy đa chiều} CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 10 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Bước 1: Phân tích đáp án và dữ kiện đề bài A. √ , ≈ . B. 36 296 15 9 ≈ . C. - √ ≈ −. D. -√ , ≈ . . ~ Bước 2: Phân tích đối thủ đang cần gì và làm gì + Ta có: + 1 − $ − 2 + $ − = . Kĩ thuật cho x giải tìm y = → = ∅ = . → = = . → = = . → = = → = J = + + + + + − .Thay lần lượt x, y vào P kiểm tra kết quả ∅ ≈ . ≈ . ≈ . ≈ . + Như vây khoanh đáp án B – hiểu kĩ hơn thì xem video Câu 14. Cho , là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây , , ≤ + − − . Biết ≤ , hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương ; thỏa mãn bất đẳng thức . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có phương trình: , , ≤ + − − ⇔ , , ≤ + + − + . + ⇔ + − + ≤ + − + ⇔ + + + ≤ + + + ∗ Xét hàm = + với ∈ ; +∞ ′ = * + > ∀ ∈ ; +∞. Suy ra là hàm đồng biến trên ∈ ; +∞. ∗ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ . Vì ≤ nên ta có các trường hợp sau = ⇒ ∈ ; ; = ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ............................................... = ⇒ ∈ ; ; . . . . . . . ; Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: + + +. . . + = . Chọn D - Tư duy + Casio: - Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . = CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 11 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Đừng quan tâm dấu hãy luôn xử lý tại dấu bằng “=” , suy ra ≤ - Nhiều bạn thắc mắc làm sao biết x, y mà khẳng định ≤ , cách xác định dấu đó là hãy quay trở lại phương trình ban đầu cho x,y bất kì thì sẽ xét được ≤ V ≤ . - Vì 1≤ ≤ 95 ≤ ≤ . Sử dụng MCTC – tính tổng. Chọn D Câu 15. Cho 2 số thực , không âm thỏa mãn : , = W − − $ + X. Giá trị của biểu thức J = | − + | bằng A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : , ≥ : . = , ∀ > Mặt khác ta có: − − $ + = − + $ + + $ + . Đặt = $ + ≥ . Xét hàm : = − + + , ≥ . ′ = − + ; ′ = ⇔ = . Bảng biến thiên như sau : ⇒ ≤ ⇒ W − − $ + X ≤ = Từ , ta có dấu bằng xảy ra khi: Z = = $ + = ⇔ Q = = Vậy: J = | − + | = . Chọn C - Tư duy + Casio: ~ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : , ≥ : . = , ∀ > ⇔ = . ~ Ta lại có: W − − $ + X = ⇔ = . Vậy: J = | − + | = . Chọn C Câu 16. Cho , là các số thực thỏa mãn biểu thức sau + + − = ∗. Biết ≤ ≤ , số cặp , nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) là A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 12 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có + + − = ⇔ , + + = + (1) Xét hàm số = + có . = * + > , ∀ ∈ ℝ. Khi đó ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Với ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≈ . . Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ ; ; ; . Rõ ràng với nguyên thì nguyên. Vậy có 4 cặp số , nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C - Tư duy + Casio: + Đặt: = [ → = =>? [ ⇒ + + − =>? [ − [ + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho [ = → = = [ − = − + Với ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≈ . . + Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ ; ; ; . Rõ ràng với nguyên thì nguyên. Vậy có 4 cặp số , nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C Câu 17. Cho 5, \, + là các số thực thỏa mãn biểu thức sau đây 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ . Đặt J = 5,\,+ 5,\,+ và gọi ] là tập hợp gồm những giá trị nguyên của J. Số phần tử của tập hợp ] là A. Vô số. B. 5. C. 4. D. 3. - Tự luận: Ta có: 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ ⇔ 5 ,\ ,+ , + 5 + \ + + + = 5,\,+ + 5 + \ + + Xét hàm = + trên ℝ Ta lại có, . = * + > , ∀ ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ. Khi đó, phương trình đã cho có dạng 5 + \ + + + = 5 + \ + + . Suy ra: 5 + \ + + = 5 + \ + + + ⇔ 5 − + \ − + + − = (*) Ta lại có, J = 5,\,+ 5,\,+ ⇔ J − 5 + J − \ + J − + = (**) Trong hệ trục tọa độ ^_ lấy [5; \; + . Theo (*) ta có [ thuộc mặt cầu tâm `; ; ,bán kính / = √. Theo (**) thì [ thuộc mặt phẳng a có: Phương trình J − + J − + J − _ = . Tồn tại bộ 5; \; + khi và chỉ khi tồn tại [ ( mặt cầu và mặt phẳng có điểm chung). Suy ra b1`; a 2 ≤ / hay CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 13 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha |J − | $J − + J − + J − ≤ √ ⇔ J − ≤ . !J − + J − + J − " ⇔ J − J + ≤ ⇔ − √ ≤ J ≤ + √ Vậy ] = ; ; . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: + Nhận thấy: Quy đổi 5, \, + về dạng chung -> biến thành 1 ẩn chung là 5. + Ta có: 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ ⇒ 1 5 − 2 + 5 − = 5 , dò bảng tìm giá trị nguyên của P. + Vậy chỉ có 3 giá trị 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn D ~ Đối với tại = 5 = (vô lí), còn đối với tại = 5 = , … (số quá lớn và không nguyên nên loại) {ghi chú} Câu 18. Phương trình + = có nghiệm là. A. 11. B. 9. C. 101. D. 99. - Tự luận: Điều kiện + > ⇔ > −. Ta có + = ⇔ + = ⇔ = . Vậy tập nghiệm của phương trình là ] = . Chọn D - Tư duy + Casio: + Gặp dạng này thì chỉ cần dùng lệnh CALC {thử từng đáp án} Chọn D Câu 19. Cho 5 = , 3 \ = , 4 + = , 5 b = . Tính 5\+b . A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 14 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có 5 = ⇒ 5 = . Tương tự \ = , + = , b = ⇒ 5\+b = . . . = ⇒ J = = . Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có 5 = ⇒ 5 = . Tương tự \ = , + = , b = , trong quá trình giải hãy gán lần lượt cho A,B,C,D hoặc thay thẳng vào yêu cầu. ⇒ J = = . Chọn D. Câu 20. Cho , , _ là ba số thực khác thỏa mãn = = -_ . Tính J = + + _ . A. −. B. . C. . D. . - Tự luận: Đặt = = -_ = > ⇒ f = = = M _ ⇒ , = - _ ⇒ + + _ = . Chọn C - Tư duy + Casio: Đặt = = -_ = ⇒ g = =>? = =>? _ = − =>? ⇒ J = + + _ = =>? + =>? + - =>? SHIFT CALC, giải tìm t - trong đó P là các đáp án, t hiển thị giá trị đẹp thì khoanh. Chọn C Câu 21. Cho hai số thực dương , thỏa mãn biểu thức = = + . Giá trị của tỉ số bằng A. -, √ . B. ±√ . C. , √ . D. -, √ . - Tự luận: Đặt = = + = ⇒ g = = + = . Mà . = ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ i = --√ = -, √ /0 . x yCHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 15 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio: Đặt = = + = ⇒ g = = + = ⇔ + = ⇒ ≈ . Gán t -> A, tính ngược lại tỉ số x/y. Chọn A Câu 22. Cho , , 5, \ là các số dương thỏa mãn 5 > \ > và 5 , = \ = 5 \ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + + là A. −. B. - . C. . D. . - Tự luận: Ta có: Z 5 , = 5 \ \ = 5 \ ⇒ k = − 5 \ = − + \ 5 ⇒ = -- ⇒ = − − . Khi đó J = + + = + − + = @ + + A + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k + = − = − − ⇒ g = √ = -√- . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Gặp dạng này thì các bạn cứ cho a,b gần điều kiền và thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có: l > m > . Cho l = , m = . suy ra n, = . o = , giải tìm x,y. g n, = ⇔ ≈ − . . o = ⇔ ≈ . ⇒ J = + + ≈ . ≈ . . Chọn D Câu 23. Cho biết 5, \, + là các số thực dương thỏa mãn biểu thức 5 = \ = + . Hãy tính giá trị của biểu thức J = 5 \ + \ + . A. . B. + . C. . D. . . - Tự luận: Đặt 5 = \ = + = p ⇒ g 5 = p \ = p + = p Từ đó suy ra J = p p + p p = + . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Tối giản hóa 2020 -> 20, 2019 -> 19, 2018 -> 18, sau đó xử lý như câu 21. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 16 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 24. Cho , dương thỏa mãn: + = + . Giá trị lớn nhất của J = $ thuộc khoảng nào A. −; . B. @ ; A. C. ; . D. −; - Tự luận: Ta có: + = + = + = ⇒ + = Ta lại có: = + + ≥ √ . + ≥ + ≥ $. = √ $ ⇒ J = $ ≤ √ . Dấu bằng xảy ra khi Q = , > , > = ⇔ Q = = Vậy [5 J = √ . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Thật sự gặp câu này thì giải tay vẫn nhanh hơn. Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . ⇔ = . ⇔ = − ⇔ = − ⟹ J = $ = r . − Đạo hàm tại P tìm cực trị, sau đó thay ngược vào P nhận đáp số. Vậy [5 J = √ . Chọn B Câu 25. Cho 5, \, + > và các số thực dương , , _ thỏa mãn 5 = \ = + _ = √5\+ . Tìm giá trị lớn nhất của J = + − _ . A. −. B. . C. −. D. . - Tự luận: Đặt 5 = \ = + _ = √5\+= > ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 5 = \ = + = _ 5\+ = + + _ = ⇒ + = − _ . J = + − _ = − _ − _ = − @ _ + _ + _ A. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương _ ; _ ; _ ta có: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 17 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha _ + _ + _ ≥ ⇒ J ≤ −. Dấu " = " xảy ra ⇔ _ = _ = _ ⇔ _ = . Vậy J 05 = −. Chọn C - Tư duy + Casio: Đặt 5 = \ = + _ = √5\+= > ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 5 = \ = + = _ 5\+ = ⟹ + + _ = ⇒ + = − _ . ~ Bài này không thể dùng Casio nhưng vẫn có thể dùng tư duy như sau: Ta có: + = − _ , để cho J 05 ⇔ + = V _ = {kĩ thuật suy luận tìm max} Vậy J 05 = −. Chọn C Câu 26. Cho > ; > và -, = , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = − ? A. 0)* J = . B. 0)* J = . C. 0)* J = . D. 0)* J = . - Tự luận: Ta có phương trình: 1 -,2 = , , ⇔ W, -,X = , , ⇔ N N = , , ⇔ , + = , + . Xét hàm số = với > . Ta có ′ = + * > ∀ > . Khi đó ⇔ + = + ⇔ = + . Nên J = − = + − = − + ≥ . [)* J = khi Q = = . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Vào thi mà ngồi biến đổi tự luận như trên sẽ tốn rất nhiều thời gian!!! Áp dụng kĩ thuật CALC: 89 = . → = . = + ~ Mẹo nhỏ để bấm nhanh ở đây là tối giản: 2020->20; 2019->19. J 0)* = + − . Bấm giải phương trình bậc 2 để tìm kết quả nhanh nhất! CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 18 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 27. Cho > ≥ thỏa mãn ,,- = - , . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + là A. . B. . C. . D. - √ √ , . - Tự luận: Điều kiện: − > . Ta có: ,,- = - , ⇔ + + − = - , . ⇔ ! − " + − = + + + (*). Xét hàm = + với > ⇒ ′ = + * > . ∗ ⇔ 1 − 2 = + ⇔ − = + ⇔ = - , . Khi đó − > ⇔ , , > (luôn đúng). Ta có J = + = + - , . Đặt = + - , ⇒ ′ = − , . ′ = ⇒ = . Vậy J [)* = đạt được khi Q = = . Chọn A - Tư duy + Casio + Mẹo: Đề cho > ≥ , chọn = {khắc cốt ghi tâm cái mẹo này} Ta có: ,,- = - , ⇔ - = ⇔ = ⟹ J 05 = + = . Chọn A ~ Câu này áp dụng kĩ thuật CALC nhưng số xấu, hên vẫn còn tư duy đỉnh cao. Câu 28. Xét các số thực 5, \ thỏa mãn điều kiện < \ < 5 < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = =>? 5 @ \- A + =>? \ 5 5 − . A. 0)* J = . B. 0)* J = √ . C. 0)* J = √ . D. 0)* J = . - Tự luận: Ta có \ − \ + ≥ ⇒ \ − ≤ \ và từ điều kiện suy ra =>? 5 \ > . Từ đó suy ra: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 19 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha J ≥ =>? 5 \ + =>? 5 \- − = =>? 5 \.=>? 5 \- =>? 5 \- + ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \ = , 5 = √ . Vậy 0)* J = . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện < \ < 5 < . Nhập cả biểu thức: J = =>? 5 @ \- A + =>? \ 5 5 − vào máy tính. Dùng lệnh CALC đồng thời cả 5, \ với < \ < 5 < --- thử nhanh liên tục. Vậy 0)* J = . Chọn D Câu 29. Xét các số thực dương 5, \, +, , , _ thỏa mãn 5 > , \ > , + > và 5 = \ = + _ = √5\+ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + + _ thuộc tập hợp nào dưới đây ? A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . - Tự luận: Ta có: 5, \, + > và , , _ > nên 5 ; \ ; + _ ; √5\+ > Do đó: 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = + 5 \ + 5 + = \ 5 + + \ + _ = + 5 + + \ + . Khi đó, ta có: J = + + _ = + 5 \ + 5 + + \ 5 + + \ + + + 5 + + \ + = . + 5 \ + 5 + + \ 5 + \ + + + 5 + + \ = . + 5 \ + \ + + + 5 + 5 + + + \ + \ 5 Mặt khác 5, \, + > nên 5 \ , \ + , + 5 , 5 + , + \ , \ 5 > Suy ra: J ≥ 1 + $ 5 \ . \ + . + 5 + $ 5 + . + \ . \ 5 2 = . Dấu “ = ” xảy ra khi: g 5 \ = \ + = + 5 5 + = + \ = \ 5 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ f 5 \ = \ + = + 5 + 5 = \ + = 5 \ 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ Q 5 = \ = + = = _ = . Vậy 0)* J = ∈ ; . Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 20 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Nhận thấy 5, \, + có vai trò như nhau suy ra 5 = \ = + suy ra , , _ cũng có vai trò như nhau suy ra J = + + _ = . Mà để J 0)* ⇔ = ⟹ J 0)* = . ~ Ngoài ra, nếu đề bảo tìm J 05 thì hãy cho a,b,c >1 thỏa mãn điều kiện rồi giải tương tự các câu trên tìm J 05 . Câu 30. Xét các số thực dương 5, \, , thỏa mãn 5 > , \ > và 5 = \ = √5\ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + là J 0)* = 0 * với 0 * là phân số tối giản và 0, * ∈ ℕ, khi đó giá trị của biểu thức { = 0 + * có giá trị bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Theo bài ra ta có: 5 = \ = √5\ ⇔ k 5 = 5 . \ \ = 5 . \ ⇔ k 5 - = \ \ - = 5 ⇔ g − = 5 \ − = . \ 5 . Do đó: J = + = + 5 \ + + \ 5 = + 5 \ + \ 5. Đặt = 5 \. Vì 5, \ > nên 5 \ > 5 = . Suy ra: = 5 \ > . Khi đó J = + + ≥ + : . = + = . Vậy J đạt giá trị nhỏ nhất là khi + ⇔ = hay 5 \ = ⇔ \ = 5 . Suy ra: 5 = 5 = √5 ⇔ g = = . Khi đó: 0 = , * = ⇒ { = . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: {tư duy ngược} A. = 0 + * B. 25= 0 + * C. 34= 0 + * D. 85= 0 + * 0 = * = 0 = * = 0 = * = 0 = * = ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . + Cho 5 = \ = . > ⇒ 5 = √5\ ⇔ . = . = √. ⇔ = = . . + Suy ra J = + = . + ∗ . = . -> Chọn D ~ Bảng giá trị ở trên là rút ra m,n - tư duy ngược từ dữ kiện đề. Câu 31. Cho các số thực , thỏa mãn điều kiện sau đây > −, > − và + + + ,,, , = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây J = + + thuộc tập nào dưới đây: A. !; . B. !; . C. !; . D. ! ; . - Tự luận: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 21 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Với điều kiện: > −, > − ⇒ + > , + > . Ta có: + + + ,,, , = ⇔ + + + + + − , = . ⇔ + + + = , + , . Xét hàm số: = + > , ′ = * + > , ∀ > . Suy ra đồng biến trên khoảng ; +∞. Do đó: ⇔ + = , . Khi đó: J = + + = + , − + = + + , ≥ √. Dấu ′′ = ′′ xảy ra ⇔ J = + + , ⇔ = + ⇔ = √ − , (vì > −). Vậy: 0)* J = √. Chọn B - Tư duy + Casio: + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = - = -- , . + Ta lại có: J = + + = + ∗ -- , + . Vậy: 0)* J = √. Chọn B Câu 32. Cho hai số thực dương 5, \ thỏa mãn > 5 > \ > . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = 5 @\ − A − 5 \ √\ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. ; . B. @; A. C. @ ; A. D. @; A. - Tự luận: Đặt \ 5 = . Với điều kiện: > 5 > \ > . Khi đó = \ < \ 5 < \ \ = ⇒ ∈ ; Ta có: \ − \ + ≥ ⇔ \ − ≤ \ ⇒ 5 @\ − A ≥ 5 \ ⇒ 5 @\ − A ≥ . 5 \ √\ = \ 5- = - . Do đó J = 5 @\ − A − 5 \ √\ ≥ + - . Xét hàm = + - với ∈ ; . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 22 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ′ = − + - . Với ∈ ; ta có: ′ = ⇔ = . Do: )0 → N = )0 → N @ + - A = +∞; )0 → M = )0 → M @ + - A = +∞. Lập BBT của hàm số = + - với ∈ ; ta có: Dựa vào BBT ta tìm được [)* = tại = . Vậy 0)* J = . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện > 5 > \ > . Nhập cả biểu thức: J = 5 @\ − A − 5 \ √\ vào máy tính. Dùng lệnh CALC đồng thời cả 5, \ với > 5 > \ > --- thử nhanh liên tục. Vậy 0)* J = . Chọn B Câu 33. Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤ − . Giá trị nhỏ nhất của J = , + * , là 5 + * \. Giá trị của tích 5. \ là A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: ≤ − ⇔ ≥ + ≥ $ ⇒ ≥ $ nên: : ≤ ⇔ ≤ . Xét J = , + * , = + . + * @ + A. Đặt = , < ≤ . Suy ra : J = = + + * + . Ta có: . = − + , = - - ., = - - ., . Với < ≤ thì − < − ≤ ⇒ ≤ − < nên − − < , ∀ ∈ ; ". Do đó: . < . Hàm số nghịch biến trên ; ". Suy ra: ≥ , ∀ ∈ ; ". Hay J ≥ = + + * ⇔ J ≥ + * . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 23 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy J 0)* = +* . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = = ⇔ k = = Khi đó : 5 = ; \ = nên 5\ = . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: Ta có: ≤ − ⇔ ≤ - {x,y thực dương -> không đổi dấu bất phương trình}. Ta lại có: J = , + * , = @∗ M ,A M + * M , . {xem y là x trong Casio} Như vậy, ta có: g | = 5 + * \ = [ \ + * \ [ = 5. \ ⇒ 5 = [ \ , trong đó M là các đáp án. Key | . [ = . Key B. [ = . Key C. [ = . Key D. [ = . Qua đó, nhận thấy tại Key B có = \ = (đẹp). Chọn B Câu 34. Xét các số thực dương 5, \, , thỏa mãn < 5 ≤ \ ≤ 5 và 5 = \ = √5\ . Giá trị lớn nhất của biều thức J = + thuộc tập hợp nào dưới đây? A. !; . B. !; . C. !; . D. !; . - Tự luận: Ta có 5 = √5\ ⇔ = + 5 \, \ = √5\ ⇔ = + \ 5. J = + = + 5 \ + + \ 5 = + 5 \ + 5 \ . Đặt 5 \ = , do < 5 ≤ \ ≤ 5 ⇒ ≤ 5 \ ≤ ⇒ ∈ !; " ⇒ J = + + . Xét hàm số = + + ; với ∈ !; ". ′ = − ; ′ = ⇔ ~ = √ = −√ . Do ∈ !; " ⇒ = √. = = ; 1√2 = , √ ⇒ 05 !;" = . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 24 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Như đã nói ở các bài trên thì luôn chọn tại các giá trị đặc biệt. Ta có: < 5 ≤ \ ≤ 5 . Chọn 5 = \ = ⇒ = = √ ⇒ = = Như vậy, J = + = + . = . Chọn B Câu 35. Cho hai số thực 5, \ thỏa mãn 5 + \ = . Giá trị lớn nhất của biểu thức J = $ 5 + $ \ bằng. A. $ + $ . B. $ + . C. + . D. $ , . - Tự luận: Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được: J = $ 5 + $ \ = r 5 + r \ = r 5 + r − 5 Xét hàm số = √ $ + $ . √ − ⇒ ′ = √$ − $ √- . Ta có ′ = ⇔ √ − = √ ⇔ − = . ⇔ = , . ⇒ ≥ @ , A = $ + ⇒ 0)* J = $ + . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Quy đổi các đáp án thành số liệu cụ thể Key | . J ≈ . . Key B. J ≈ . . Key C. J ≈ . . Key D. J ≈ . . Ta có: 5 + \ = , cho 5 tìm b { 5, \ > -điều kiện của biểu thức P. 5 = → \ = 5 = . → \ ≈ . 5 = . → \ ≈ . 5 = . → \ ≈ . Chọn B ~ Nhiều bạn thắc mắc tại sao không chọn 5 < V 5 > đơn giản vì khi chọn như thế thì \ < dẫn đến điều kiện sai. Câu 36. Cho các số thực dương , thỏa mãn = = - . Tính giá trị của biểu thức { = . A. { = . B. { = . C. { = − . D. { = − . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 25 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Đặt = = - = > ⇒ g = = - = ⇒ . - = ⇔ . − = . ⇔ . @ A + @ A − = ⇔ @ A = € @ A = − . Vậy = @ A = @ A = . Chọn A - Tư duy + Casio: Đặt = = - = ⇒ f = = - = = ∗ - ⇒ ≈ −. → | ⇒ Q = = | = = | ⇒ = | | = . Chọn A Câu 37. Cho ‚ và ƒ là các số thực dương sao cho: ‚ = ƒ = ‚ + ƒ. Tìm giá trị của ƒ ‚ A. B. C. D. - Tự luận: Đặt: = ‚ = ƒ = ‚ + ƒ > ta có g ‚ = ƒ = ‚ + ƒ = . Từ đó suy ra + = ⇔ + @ A = @ A . Đặt = @ A = ƒ ‚ > phương trình trở thành: − − = ⇔ = , √ = -√ . Do > nên suy ra = , √ . Vậy ƒ ‚ = , √ . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Tương tự câu 36 nhé --- tập làm lại cho quen tay nào!!! 4 3 8 5 1 1 3 2 1 1 5 2 CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 26 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Nhớ bấm máy luôn cho nhanh, khỏi phải ghi vào giấy nhé ^.^ Câu 38. Cho , là hai số nguyên không âm thỏa mãn + = − . Hỏi tổng + là bao nhiêu? A.. B.. C.. D. . - Tự luận: Điều kiện: > ≥ . Đặt: + = − = ⇒ Q + = − = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = − Ta có ≥ ⇒ - ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ Do đó Q < ≤ < ≤ ⇔ < + ≤ ⇔ < , ≤ ⇔ < ≤ ; ∈ ℤ ⇒ = Với = ⇒ = ⇒ = Vậy + = . Chọn A - Tư duy + Casio: Ta có: + = − . Mà + = [ → = [ − Suy ra: [ − + = [ − − ⇔ [ = [ − . Key A. [ = Key B. [ = Key C. [ = Key D. [ = Khoanh A Loại -> y < 0 Loại -> y < 0 Loại -> y < 0 Vậy + = . Chọn A Câu 39. Cho số thực ≤ ≤ . Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức J = , − √ lần lượt là 5, \. Tính 5\ . A. 5\ = . B. 5\ = . C. 5\ = − . D. 5\ = . - Tự luận: J = , − √ = - , − = - , − . Đặt = ≤ ≤ . Ta có: J = - , − trên ! ; ". J′ = , − , J′ = ⇔ H = = − . Bảng biến thiên: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 27 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Giá trị lớn nhất của biểu thức là \ = − , giá trị lớn nhất của biểu thức là 5 = − . Như vậy 5\ = . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Dạng này siêu đơn giản nè – dò bảng là xong nhé. Ta có: J = , − √ , ≤ ≤ Như vậy 5\ = . Chọn B Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; , ≤ và thỏa mãn phương trình sau đây + − = + A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Điều kiện: Z > > − > . Ta có: + − = + ⇔ − = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ ~ = = − . Xét = , mà ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ , kết hợp điều kiện ta có ∈ ; ; . . . . . Vậy có giá trị của , tương ứng với có cặp số ; thỏa mãn bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → = = Mà ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ Kết hợp điều kiện ta có ∈ ; ; . . . . . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 28 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy có giá trị của , tương ứng với có cặp số ; thỏa mãn bài toán. Chọn B Câu 41. Biết , < là hai nghiệm của phương trình @ -, A = − và − = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ. Tính giá trị của biểu thức J = 5 + \ A. J = −. B. J = . C. J = − . D. J = . - Tự luận: Điều kiện k > ≠ . Ta có @ -, A = − ⇔ − + − = − ⇔ − + + − + = + + ⇔ − + − = + ∗ Xét hàm số = + trên khoảng ; +∞. Ta có ′ = * + > , ∀ ∈ ; +∞ ⇒ đồng biến trên khoảng ; +∞. ∗ ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = , √ = -√ . Do < ⇒ = -√ , = , √ ⇒ − = @ -√ A − @ , √ A = -√ = 1 − √ 2. Vậy 5 = , \ = ⇒ J = 5 + \ = . Chọn B - Tư duy + Casio: Ta có: @ -, A = − , giải phương trình trên lưu lần lượt vào A,B. Ta lại có: − = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ ⇔ „ − | = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ Như vậy, ta có hpt sau: k „ − | = 15 − √\2 J = 5 + \ ⇔ k [ = 15 − √\2 5 = J − \ ⇔ [ = 1J − \ − √\2, [ = „ − | ~ SHIFT SOLVE giá trị \ được kết quả đẹp thì khoanh. Chọn B CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 29 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 42. Cho phương trình + = +( . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ; A. 2020 B. 2019 C. 1009 D. 1010 - Tự luận: Điều kiện ()* > , +( > . Đặt † = + = +( ta có Q + = † +( = † Vì + = +( -+( nên suy ra † - † = † ⇔ † = † . − † ⇔ @ A † + † − = (1) Xét hàm số † = @ A † + † − ta có: ′† = @ A † * @ A + † * > , ∀† ∈ ℝ. Suy ra hàm số † đồng biến trên ℝ nên phương trình † = có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy − = suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất † = − † = − +( = ⇔ = ± + p p ∈ ℤ. Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm là = + p p ∈ ℤ. Mà ∈ ; nên − < p < ta chọn p ∈ ; ; . . . ; . Khi đó số nghiệm của phương trình thuộc khoảng ; là 1010. Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Gặp dạng lượng giác như thế này thì dò bảng nhé các chiến binh!!! ~ Xử lý trên một vòng tròn lượng giác, rồi nhân số vòng tròn sẽ tìm được đáp số. Như vậy, 1 vòng tròn (360 độ = 2pi) thì chỉ có một nghiệm ⇒ 2020pi = 1010 vòng nghĩa là có 1010 nghiệm. Chọn D Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thỏa mãn = + + . Biết rằng || ≤ . A.. B.. C.. D. . - Tự luận: Điều kiện + > . Đặt + = ⇔ + = Khi đó: Q = + = + ⇔ + = + CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 30 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Xét hàm số † = † + † ⇒ . † = † . * + > ⇒ hàm số đồng biến với ∀† ∈ ℝ Ta có: = ⇒ = Khi đó: = + ⇔ = − Đặt = − ⇒ ′ = . * − = ⇔ = − * Để phương trình có nghiệm thì ≥ * + * ≈ , Mà || ≤ nên có đúng giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A - Tư duy + Casio: Đặt + = ⇔ + = ⟹ Q = + = + ⇔ + = + Áp dụng kĩ thuật CALC: 89 = . → = . = ⇔ + = ⇔ = − . Ta lại có: || ≤ ⇔ | − | ≤ . Bấm đạo hàm tìm cực trị. Để phương trình có nghiệm thì ≥ * + * ≈ , Mà || ≤ nên có đúng giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A Câu 44. Cho bất phương trình + + ≥ 0. với 0 là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của 0 nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc !; +∞. A. . B. . C. vô số. D. . - Tự luận: Tập xác định: ‡ = !; +∞. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 31 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Ta có: + + ≥ 0 ⇔ 0 ≤ , , = , , , Đặt = ≥ ⇒ ≥ , bất phương trình trở thành:0 ≤ ,, , . Để bất phương trình ban đầu có nghiệm trên !; +∞ thì bất phương trình có nghiệm ! ; +∞. Xét = ,, , trên ! ; +∞. Trên ! ; +∞ ta có: ′ = ,- , , ′ = ⇔ ˆ = − + √ 0 = − − √ . Bảng biến thiên: Bất phương trình có nghiệm ! ; +∞ ⇔ 0 ≤ 0ax ! ;, ∞ ⇔ 0 ≤ − + √ Mà m nguyên nên 0 = . Vậy có giá trị nguyên dương thõa mãn. Chọn A - Tư duy + Casio: Cô lập 0 nhanh nè: 0 ≤ , , . Dò bảng hoặc đạo hàm tại x. Vậy ‹ ≤ ‹ax ! ;, ∞ Œ ⇔ ‹ ≤ . . Mà 0 ℤ suy ra 0 = . Chọn A ~ Bạn nào cảm thấy chưa chắc ăn thì dò lại bảng nhé! Câu 45. Cho , là các số thực thỏa mãn + = + . Tập giá trị của biểu thức J = + có chứa bao nhiêu giá trị nguyên. A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: + Điều kiện + > ; + ≠ . Ta đặt: + = + = . Ta có Q + = + = Vì + ≤ + ⇒ ≤ . ⇒ ≤ ≈ , . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 32 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha + Ta có + = + − ⇒ = - . + Khi đó, J = + = + − + = − . . - = − . + . = . + Xét = − . + . với ≤ , có ′ = − . . * + . . * . = ⇔ . . * = . . * ⇔ F G = . * * ⇔ = F. * * G ≈ . BBT: + Gọi { là tập giá trị của J . Từ BBT ta có Ž { = ; " J ∈ ℤ ⇒ ; ; ; ∈ { nên suy ra tập giá trị của J có chứa 4 giá trị nguyên. Chọn A - Tư duy + Casio: + Ta đặt: + = + = . Suy ra Q + = + = + Lượng giác hóa: Đặt k = √ . +( a = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ A ⟹ = +( a + ()*a . Ta có: ⎩ ⎨ ⎧ = √ . +( a = : +( a ,()* a . +( a = √ . ()*a = : +( a ,()* a . ()*a ⇒ J = + + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ 1 đến 4.18. Vì theo đề x nguyên nên ; ; ; . Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 33 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực dương thỏa mãn biểu thức , = . - ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. - Tự luận: Ta có: , = . - ⇔ , = -, ⇔ + = − + ⇔ − = − − + ∗ Cách 1: Yêu câu bài toán ⇔ tìm ∈ ℤ để phương trình (*) có nghiệm dương Xét hàm số = − trên , +∞. ′ = − , ′ = ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình (*) có nghiệm dương ⇔ − − + ≥ − ⇔ --√ ≤ ≤ -, √ Vì ∈ ℤ nên ∈ −; . Vậy có 2 số nguyên để phương trình ∗ có nghiệm thực dương. Chọn B Cách 2: Yêu cầu của bài toán được thỏa ⇔ g ∈ ℤ; > F + G + F − G = ⇔ f ∈ ℤ; > = + r − F + G ∨ f ∈ ℤ; > = − r − F + G TH1: g ∈ ℤ; > = + : − @ + A ⇔ f ∈ ℤ; --√ ≤ ≤ -, √ = + : − @ + A ta chọn ∈ −; . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 34 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha TH2: g ∈ ℤ; > = − : − @ + A ⇔ f ∈ ℤ; --√ ≤ ≤ -, √ = − : − @ + A ; > , ∄ ∈ ℤ để > . Vậy có 2 số nguyên để phương trình ∗ có nghiệm thực dương. Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn như kĩ thuật ở trên - xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x và y. Ta có: , = . - ⇔ , = -, ⇔ + = − + ⇔ − = − − + . Dò bảng đồng thời x,y. Vậy chỉ có hai số nguyên tồn tại số thực dương . Chọn B Câu 47. Tìm 0 để phương trình 0 − − + 0 − @ - A + 0 − = có nghiệm trên H ; I. A. − < 0 ≤ . B. 0 ∈ ℝ. C. 0 ∈ . D. − ≤ 0 ≤ . - Tự luận: Đặt = − . Do ∈ H ; I nên ∈ !−; " Ta có phương trình: 0 − − 0 − + 0 − = ⇔ 0 − − 0 − + 0 − = ⇔ 0 − + = − + ⇔ 0 = - , -, ⇔ 0 = . Xét hàm số = - , -, với ∈ !−; " . = − − + = − − − + ≤ ∀ ∈ !−; " ⇒ Hàm số nghịch biến trên đoạn !−; " Phương trình có nghiệm khi đường thẳng = 0 có điểm chung với đồ thị hàm số = trên đoạn !−; " ⇔ ≤ 0 ≤ − ⇔ − ≤ 0 ≤ . Chọn D - Tư duy + Casio: Đặt = − ⇒ 0 − − 0 − + 0 − = Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → 0 = = - , -, = - - -, - - -, . Nhập cả biểu thức vào bảng giá trị, trên đoạn H ; I kiểm tra kết quả đúng nhất. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 35 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy: − ≤ 0 ≤ . Chọn D Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn biểu thức sau =>? + + = =>? + + + + ? A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: Cách 1: Ta có: =>? + + = =>? + + + + ⇔ =>? ! + + + " = =>? ! + + + " Đặt ‘ = + ; ’ = + . Khi đó ta có =>? ‘ + ’ = =>? ‘ + ’ Đặt = =>? ‘ + ’ = =>? ‘ + ’ . Suy ra ta có hệ phương trình Q ‘ + ’ = ‘ + ’ = Theo bất đẳng thức „. 8. ] ta có: ‘ + ’ ≤ ‘ + ’ ⇔ ≤ . ⇔ ≤ . Mặt khác ‘ = − ’ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ‘ ≤ vì ‘ ∈ ℤ ⇒ ‘ ∈ −, , Tương tự ta có − ≤ ’ ≤ . TH1: ‘ = ta có =>? ’ = =>? ’ nghiệm là ’ = . Do đó = = − . TH2: ‘ = − ta có =>? ’ − = =>? + ’ Xét hàm số ’ = =>? ’ − = =>? + ’ với − ≤ ’ ≤ , ta lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên chứng minh được như sau 05 “- ”’” • ’ ≈ − , < nên không tồn tại ’ . TH3: ‘ = ta có =>? ’ + = =>? + ’ ta lập bảng biến thiên và chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm ’ = và một nghiệm còn lại thỏa − ≤ ’ ≤ . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 36 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy có giá trị ‘ ∈ ℤ thỏa mãn là H ‘ = ‘ = ⇔ H = − = . Chọn B Cách 2: (Dùng đồ thị) Ta có: =>? + + = =>? + + + + ⇔ =>? ! + + + " = =>? ! + + + " Đặt ‘ = + ; ’ = + . Khi đó ta có =>? ‘ + ’ = =>? ‘ + ’ Đặt = =>? ‘ + ’ = =>? ‘ + ’ . Suy ra ta có hệ phương trình Q ‘ + ’ = ‘ + ’ = Theo bất đẳng thức „. 8. ]: ‘ + ’ ≤ ‘ + ’ ⇔ ≤ . ⇔ ≤ . Khi đó ta có Z < ‘ + ’ = ≤ < ‘ + ’ = ≤ Minh họa bằng hình vẽ: Vậy có giá trị ‘ ∈ ℤ thỏa mãn là H ‘ = ‘ = ⇔ H = − = . Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: + + = + + + + ⇔ ! + + + " = ! + + + " + Đặt ‘ = + ; ’ = + . Khi đó ta có ‘ + ’ = ‘ + ’ + Ta đặt: = ‘ + ’ = ‘ + ’ . Suy ra Q ‘ + ’ = ‘ + ’ = CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 37 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha + Lượng giác hóa: Đặt k ‘ = √ . +( a ’ = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ √ A ⟹ = √ +( a + ()*a . + Ta có: = ‘ − = √ . +( a = : √ +( a ,()* a . +( a − . + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ -1.16 đến 0. Vì theo đề x nguyên nên −; . Chọn B Câu 49. Cho , thỏa mãn -, + -, − -, = -,, − -,, − -,, (*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức J = − − + + . A. . B. −. C. . D. . - Tự luận: Phương trình (*)⇔ -, + -,, + -, + -,, = -, + -,, Đặt − = 5, phương trình trở thành 5 + -5 + 5 + -5 = 5 + -5 Nhận thấy nếu a là nghiệm thì −5 cũng là nghiệm nên chỉ cần xét 5 ≥ . Xét hàm số = + - , > với số thực t dương tùy ý. Ta có: . = - − - , do > nên − - > ⟹ hàm số này đồng biến trên ; +∞. Do đó, ta được bất đẳng thức sau: 5 + -5 ≤ 5 + -5 ≤ 5 + -5 , ∀5 ≥ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 5 = . Suy ra 5 + -5 + 5 + -5 ≤ 5 + -5 Đẳng thức phải xảy ra nên 5 = hay − = ⇔ = . Khi đó J = − − + + = − + + = − − + ≤ Dấu " = " xảy ra khi = .Vậy giá trị lớn nhất của J bằng khi = . Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có: -, + -, − -, = -,, − -,, − -,, Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . ⇔ = . Khi đó J 05 = − − + + = − + + CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 38 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy giá trị lớn nhất của J bằng khi = . Chọn D Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn biểu thức 1 + √2 = + . A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: Điều kiện + √ > ; + ≠ . Đặt 1 + √2 = + = Khi đó k + √ = + = Vì 1 + √2 ≤ + ⇒ ≤ . ⇔ @ A ≤ ⇔ ≤ . Như vậy + = ⇒ ≤ ≤ ≈ , . Vì nguyên nên ∈ ; . Với = ta có hệ Z = √ = . Suy ra = ⇔ @ A = ⇔ = ⇒ = √ ≈ , . Với = ta có phương trình 1 + √2 = + ⇔ ~ = ≈ , Với = − ta có phương trình 1√ − 2 − + = . Xét hàm số = 1√ − 2 − + . Lập bảng biến thiên, ta chứng minh được 05 ≈ , ≈ −, < nên phương trình vô nghiệm. Do đó ta chọn được ∈ ; . Vậy có 2 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: 1 + √2 = + + Ta đặt: = 1 + √2 = + . Suy ra k + √ = + = + Lượng giác hóa: Đặt k = √ . +( a = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ √ A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 39 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⟹ = √ +( a + ()*a . + Ta có: = √ . +( a = : √ +( a ,()* a . +( a + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ -0.178 đến 1.209. + Vì theo đề x nguyên nên ; . Chọn B Câu 51. Có bao nhiêu cặp số ; thuộc đoạn !; " thỏa mãn là số nguyên và + * = + — ? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Xét hàm số = + — ⇒ . = + — > , ∀ ∈ ℝ ⇒ đồng biến trên ℝ (1). Ta lại có: + * = + — ⇔ * = (2). Từ (1) và (2) suy ra * = ⇔ = — Để ≤ ≤ thì ≤ — ≤ ⇔ ≤ ≤ * . Mà nguyên và ∈ !; " nên ∈ ; ; ; ; ; ; . Với mỗi giá trị ∈ ; ; ; ; ; ; ta có 1 giá trị tương ứng thuộc đoạn !; ". Vậy có cặp số ; thỏa mãn. Chọn C - Tư duy + Casio: ~ Thật ra, nhận diện giỏi thì khẳng định = — , nếu không thì xem dưới đây! + Ta có: + * = + — . Đặt [ = = D → = — [ ⇒ — [ + [ = + — ⇒ = — . + Để ≤ ≤ thì ≤ — ≤ ⇔ ≤ ≤ * . + Mà nguyên và ∈ !; " nên ∈ ; ; ; ; ; ; . + Với mỗi giá trị ∈ ; ; ; ; ; ; ta có 1 giá trị tương ứng thuộc !; ". Vậy có cặp số ; thỏa mãn. Chọn C Câu 52. Cho hai số thực dương , thỏa mãn > và + + ≥ + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ] = + thuộc tập hợp nào dưới đây? A.H ; A. B. H ; I. C.H ; A. D. H ; I. - Tự luận: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 40 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Điều kiện Q > > Với điều kiện trên ta có: ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ − ≥ > ⇒ ≥ - @b > A Do đó ] = + ≥ = + - ⇒ ′ = − - . ′ = ⇔ − = ⇔ − = √ ⇔ = √, @b > A. Lập bảng biến thiên ta có 0)* @ ;, ∞A = @ , √ A = , √ . ] = + ≥ = + - ≥ 0)* @ ;,˜A = @ , √ A = , √ ∈ H ; I. Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Nhận thấy có dấu “=”, xét tại chính nó – hãy luôn nhớ mẹo nhỏ này nhé!!! Ta có: + + ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ ≥ - @b > A Ta lại có: ] = + = + . - . Bấm đạo hàm tìm điểm cực trị. Kết quả đó! Chọn B <3 class> |
