Bài tập về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Ngày soạn :………………………. Tên bài dạy: BẤT ĐẲNG THỨC (TT)Tiết : 4310 - Nâng cao 3- BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂNI- Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần nắm được: * Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân các số không âm* Biết được ý nghĩa hình học và ứng dụng* Biết cách chứng minh bất đẳng thức* Nâng cao tư duy lôgíchII- Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: - Giáo án- Làm bài tập ở nhàIII- Phương pháp: Vấn đáp - Gợi mởIV- Tiến hành bài họcHoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảngHọc sinh lên bảng trả lời - Viết 1- Hỏi bài cũ HĐ 1: Định nghĩa bất đẳng thứcHĐ 2: Chứng minh: baba110 <⇒>>)0(;0 ≥−⇔≥>−⇔> babababaQuan sát 2- Bài mới:a) Đối với 2 số không âmHĐ 3: + Thế nào là trung bình cộng 2 số, 3 số + Thế nào là trung bình nhân của 2 số, 3 số không âm2ba + ; 3cba ++ab ; 3abcTổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng1Học sinh biến đổi - rút ra kết luận* Đẳng thức xảy ra khi a = bHĐ 4: 0,0 ≥≥ ba ( )2ba −Khai triển rút ra kết luận* Đẳng thức xảy ra khi nào?Bất đẳng thức bên gọi là bất đẳng thức Côsi( )abbaabbaba≥+⇔≥−+=−2022Định lý: 0,0 ≥≥∀ bata cóbaabbaabba=⇔=+≥+22Học sinh ghi và chứng minh ví dụ- Yêu cầu xung phong- Chỉ định trả lờiHọc sinh phải ghi nhớ 2 cách chứng minh bất đẳng thức trên HĐ 5: Ví dụ 1: 0,0 ≥≥ ba chứng minhabba 222≥+Ví dụ 2: a>0, b>0 chứng minh: 2≥+abbaYêu cầu học sinh cho nhận xét các cách chứng minh của hai ví dụ 1 và 2 có gì khác nhauVí dụ 1: 0,0 ≥≥ bachứng minh abba 222≥+Ta đã biết: ( )02≥− ba là bất đẳng thức đúng0222≥−+⇔ abbaabba 222≥+⇔ (đpcm)Ví dụ 2: a>0, b>0 chứng minh: 2≥+abbaabba 222≥+⇔( )02≥−⇔ bađúng nên bài toán được chứng minh+ Nhận xét: Ở ví dụ 1 đi từ điều đã biết đến điều cần chứng minh - suy luận này chỉ cần dấu "⇒" là được.Ở ví dụ 2: Đi từ điều cần chứng minh đến điều đã biết đúng - từ đó suy ngược lại điều cần chứng minh nên phải có dấu "⇔"Học sinh phải nhớ lại hệ thức lượng trong tam giác vuôngHĐ6: Giải quyết câu hỏi 1 (H1)- ABC∆là ∆gì? abHBHAHC == .Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng2- ?=⇒⊥CHABCH- ADB∆là ∆gì? - ?O =⇒⊥ DABDO2. aOBOAODHC ==≤ RR ==2Học sinh tự tìm ra lời giảiHọc sinh trả lờiHĐ 7: Ví dụ 3: a>0, b>0, c>0, chứng minh6≥+++++acbbcacbaYêu cầu học sinh trả lời:?≥+abba…..….VT: =+++++acbbcacbaacabbcbacbca+++++=+++++=cbbcaccaabbaTa có: 2≥+abba (CCM trên)2≥+acca2≥+cbbc 6≥+++++bccbaccaabba (đpcm)Học sinh quan sát HĐ 8: Hệ quả: * Hai số dương thay đổi - có tổng không Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng3abbaba≥+≥≥20,0đổi - tích lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.* Hai số dương thay đổi - có tích không đổi có tổng bé nhất khi 2 số đó bằng nhau.Học sinh trả lời HĐ 9: Ý nghĩa hình học* Hình chữ nhật có chu vi 2p không đổi, diện tích lớn nhất khi nào?* Hình chữ nhật có diện tích không đổi, chu vi bé nhất khi nào?* Hai kích thước bằng nhau (Đó là hình vuông)* Đó là 2 kích thước bằng nhauVới 3 số 0,0,0 ≥≥≥ cba, ta có bất đẳng thức khi nào?HĐ 10: b) Đối với 3 số không âm330,0,0abccbacba≥++≥≥≥b) Đối với 3 số không âm330,0,0abccbacba≥++≥≥≥Đẳng thức xảy ra khi a = b = cĐẳng thức xảy ra khi a = b = c HĐ11: Ví dụ 4: a>0, b>0, c>0, chứng minh:( )9111≥++++cbacbaĐẳng thức xảy ra khi nào?( )9111≥++++cbacbaTa có: ( )( )911191111.1.131113≥++++≥++++≥++≥++cbacbaabcabccbacbacbacbaabccbađẳng thức xảy ra khi a = b = c (đpcm)Bài tập về nhà và luyên tập làm hếtTổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng4

Nội dung chính Show

Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Vì có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b {\displaystyle a=b}$

Với n số:

x 1 + x 2 + . . . + x n n ≥ x 1 . x 2 . . . . . x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}.x_{2}.....x_{n}}}}

, với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x 1 = x 2 = . . . = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=...=x_{n}\,}

Trung bình có hệ số:Sửa đổi

Cho n số x1, x2,..., xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2,..., αn > 0

Đặt $α = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ .

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

Với các loại trung bình khác:Sửa đổi

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n ≤ x 1 x 2 . . . x n n ≤ x 1 + x 2 + . . . + x n n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}

Đẳng thức khi và chỉ khi $x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

Ví dụ ứng dụngSửa đổi

Cho hàm số sau:

f ( x , y , z ) = x y + y z + z x 3 {\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}

Với x, y và z là các số thực dương. Giả sử rằng ta phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)\,\;}$	$= 6 ⋅ x y + 1 2 y z + 1 2 y z + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 6 {\displaystyle =6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}}$

	$≥ 6 ⋅ x y ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 6 {\displaystyle \geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}}$

	$= 6 ⋅ 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 x y y z z x 6 {\displaystyle =6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}}$

	$= 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 {\displaystyle =2^{2/3}\cdot 3^{1/2}}$

Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của:

f ( x , y , z ) là 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 khi x y = 1 2 y z = 1 3 z x 3 . {\displaystyle f(x,y,z){\mbox{là}}2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{khi}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}

Chứng minh bằng quy nạpSửa đổi

Đặt:

μ = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle \mu ={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}

bất đẳng thức tương đương với
x1,...,xn là các số thực không âm, ta có:

μ n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle \mu ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\,}

dấu bằng xảy ra nếu μ = xi với mọi i = 1,...,n.

Chứng minh dưới đây áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + 1 một số thực không âm. Ta có:

( n + 1 ) μ = x 1 + ⋯ + x n + x n + 1 . {\displaystyle (n+1)\mu =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.\,}

Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: xn > μ và xn+1 < μ. Ta có:

( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 . ( ∗ ) {\displaystyle (x_{n}-\mu )(\mu -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}

Xét n số sau:

x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}'}

với

x n ′ = x n + x n + 1 − μ ≥ x n − μ > 0 , {\displaystyle x_{n}'=x_{n}+x_{n+1}-\mu \geq x_{n}-\mu >0\,,}

cũng là số không âm. Từ đó:

n μ = x 1 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ , {\displaystyle n\mu =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\mu } _{=\,x_{n}'},}

μ cũng là trung bình cộng của $x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}'}$ và theo giả thuyết quy nạp ta có

μ n + 1 = μ n ⋅ μ ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ′ μ . ( ∗ ∗ ) {\displaystyle \mu ^{n+1}=\mu ^{n}\cdot \mu \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}'\mu .\qquad (**)}

Mặt khác từ (*) ta có

( x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ ) μ − x n x n + 1 = ( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 , {\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\mu } _{=\,x_{n}'})\mu -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\mu )(\mu -x_{n+1})>0,}

hay là

x n ′ μ > x n x n + 1 , ( ∗ ∗ ∗ ) {\displaystyle x_{n}'\mu >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}

hiển nhiên μ > 0. Nếu có ít nhất một trong x1,...,xn−1 bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:

μ n + 1 > x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 , {\displaystyle \mu ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}

bất đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh cho trường hợp không hệ sốSửa đổi

Trường hợp n = 2Sửa đổi

Với mọi thực $x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2}\geq 0}$ , ta luôn có:

( x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ x 1 − 2 x 1 x 2 + x 2 ≥ 0 ⇔ x 1 + x 2 ≥ 2 x 1 x 2 ⇔ x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2 {\displaystyle ({\sqrt {x_{1}}}-{\sqrt {x_{2}}})^{2}\geq 0\Leftrightarrow x_{1}-2{\sqrt {x_{1}x_{2}}}+x_{2}\geq 0\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}\geq 2{\sqrt {x_{1}x_{2}}}\Leftrightarrow {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}}

Trường hợp n = 2kSửa đổi

Giả sử

x 1 + x 2 + . . . + x k k ≥ x 1 x 2 . . . x k k {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}\geq {\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}

Ta có:

x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + x k + 2 + . . . + x 2 k ≥ k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k k ( 1 ) {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{2k}\geq k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}(1)}

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp $n = 2 {\displaystyle n=2}$ , ta lại có:

k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k 2 k ( 2 ) {\displaystyle k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}(2)}

Từ $( 1 ) {\displaystyle (1)}$ và $( 2 ) {\displaystyle (2)}$ , ta có được bất đẳng thức

x 1 + x 2 + . . . + x 2 k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k 2 k {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{2k}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}}

(đpcm)

Trường hợp n = 2k - 1Sửa đổi

Giả sử

x 1 + x 2 + . . . + x k k ≥ x 1 x 2 . . . x k k {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}\geq {\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}

Ta có:

x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + x k + 2 . . . + x 2 k − 1 + x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 2 k − 1 x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 k ( 3 ) {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}...+x_{2k-1}+{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}\geq k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k-1}{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}(3)}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với trường hợp $n = 2 {\displaystyle n=2}$ , ta lại có:

k x 1 x 2 . . . x k k + k x k + 1 x k + 2 . . . x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 k ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 2 k = 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ( 4 ) {\displaystyle k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}=2k{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}(4)}

Từ $( 3 ) {\displaystyle (3)}$ và $( 4 ) {\displaystyle (4)}$ , ta có:

x 1 + x 2 + . . . + x k + x k + 1 + . . . + x 2 k − 1 + x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ 2 k x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+...+x_{2k-1}+{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}\geq 2k{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}

Cuối cùng, ta được bất đẳng thức:

x 1 + x 2 . . . + x 2 k − 1 ≥ ( 2 k − 1 ) x 1 x 2 . . . x 2 k − 1 2 k − 1 {\displaystyle x_{1}+x_{2}...+x_{2k-1}\geq (2k-1){\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}

(đpcm)

Chứng minh của PólyaSửa đổi

George Pólya đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau:[2]

Gọi f(x) = ex−1 − x, có đạo hàm f'(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và từ đó f có giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Từ đó x ≤ ex−1 đối với mọi số thực x.

Xét một dãy các số thực không âm $a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:

a 1 μ a 2 μ ⋯ a n μ ≤ e a 1 μ − 1 e a 2 μ − 1 ⋯ e a n μ − 1 = exp ⁡ ( a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 ) . ( 1 ) {\displaystyle {{\frac {a_{1}}{\mu }}{\frac {a_{2}}{\mu }}\cdots {\frac {a_{n}}{\mu }}}\leq {e^{{\frac {a_{1}}{\mu }}-1}e^{{\frac {a_{2}}{\mu }}-1}\cdots e^{{\frac {a_{n}}{\mu }}-1}}=\exp \left({\frac {a_{1}}{\mu }}-1+{\frac {a_{2}}{\mu }}-1+\cdots +{\frac {a_{n}}{\mu }}-1\right).\qquad (1)}

Nhưng số mũ có thể rút gọn thành:

a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) μ − n = n − n = 0. {\displaystyle {\frac {a_{1}}{\mu }}-1+{\frac {a_{2}}{\mu }}-1+\cdots +{\frac {a_{n}}{\mu }}-1={\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})}{\mu }}-n=n-n=0.}

Trở lại (1),

a 1 a 2 ⋯ a n μ n ≤ e 0 = 1 {\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{\mu ^{n}}}\leq e^{0}=1}

và tương đương với:

a 1 a 2 ⋯ a n ≤ μ n ⟹ a 1 a 2 ⋯ a n n ≤ μ . {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\leq \mu ^{n}\implies {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\leq \mu .}

Chứng minh của CauchySửa đổi

Các trường hợp tất cả các giá trị bằng nhauSửa đổi

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau:

x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}

tức tổng chúng là nx1, do đó giá trị trung bình cộng là x1; và tích các số dưới căn bậc hai là x1n, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là x1; vì vậy, vế một và vế hai bằng nhau, điều phải chứng minh.

Các trường hợp các giá trị không bằng nhauSửa đổi

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi n> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

Trường hợp n = 2Sửa đổi

Nếu n= 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:

x 1 ≠ x 2 x 1 − x 2 ≠ 0 ( x 1 − x 2 ) 2 > 0 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 0 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 2 ) 2 > x 1 x 2 x 1 + x 2 2 > x 1 x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\neq x_{2}\\[3pt]x_{1}-x_{2}&\neq 0\\[3pt]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}&>0\\[3pt]x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>0\\[3pt]x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>4x_{1}x_{2}\\[3pt]\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}&>4x_{1}x_{2}\\[3pt]{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}&>x_{1}x_{2}\\[3pt]{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}&>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}\end{aligned}}}

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp n = 2kSửa đổi

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k = x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 + x 2 k − 1 + 2 + ⋯ + x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 = x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}

với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:

x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k − 1 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}

x 2 k − 1 + 1 = x 2 k − 1 + 2 = ⋯ = x 2 k {\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}

(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằngx1, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k > x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}

(điều phải chứng minh).

Trường hợp n < 2kSửa đổi

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,..., 2k,... không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

x n + 1 = x n + 2 = ⋯ = x m = α . {\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .}

Chúng tôi sau đó có:

⨄ α = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = m n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + m − n n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + ( m − n ) α m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 + ⋯ + x m m > x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 ⋯ x m m = x 1 x 2 ⋯ x n α m − n m , {\displaystyle {\begin{aligned}\biguplus \alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}

như vậy:

α m > x 1 x 2 ⋯ x n α m − n α n > x 1 x 2 ⋯ x n α > x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ^{m}&>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}\\[5pt]\alpha ^{n}&>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\\[5pt]\alpha &>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\end{aligned}}}

điều phải chứng minh.

Ứng dụngSửa đổi

Các hệ quả của bất đẳng thức CauchySửa đổi

Tổng của một số thực dương và nghịch đảo của nó luôn đạt giá trị tối thiểu là 2.
Hai số thực dương có tổng không đổi thì tích 2 số đó đạt giá trị lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Hai số thực dương có tích không đổi thì tổng 2 số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học của các hệ quả nêu trênSửa đổi

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Trong các lĩnh vực khácSửa đổi

Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Ứng dụng trong Vật lý học để khảo sát công suất cực đại.

Xem thêmSửa đổi

Bất đẳng thức Ky Fan

Tham khảoSửa đổi

^ Hoffman, D. G. (1981), “Packing problems and inequalities”, trong Klarner, David A. (biên tập), The Mathematical Gardner, Springer, tr.212–225, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_19
^ D. Arnold, G. Arnold (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. tr.242. ISBN0340543353.

Liên kết ngoàiSửa đổi

Arthur Lohwater (1982). “Introduction to Inequalities”. Online e-book in PDF format.
Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821 (tiếng Pháp)