Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán Tổ hợp THCS ôn thi vào chuyên Toán. Tài liệu gồm 94 trang tuyển chọn lý thuyết và bài tập về chủ đề này. Nội dung cụ thể bao gồm: CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP, SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC
Nguyên lí Dirichlet - còn gọi là nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hoặc nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hoặc nguyên lí sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp. II. Phương pháp ứng dụng. Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng như đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học. Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau: III. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông đơn vị. Điền v|o mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần. Ví dụ 2. Giả sử 1 bàn cờ hình chữ nhật có 3x7 ô vuông được sơn đen hoặc trắng. Chứng minh rằng với c{ch sơn màu bất kì thì trong bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các ô ở 4 góc là các ô cùng màu. Ví dụ 4. Cho bảng vuông gồm n.n ô vuông. Mỗi ô vuông ghi một trong các số 1; 0; 2. Chứng minh rằng không tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, trên hàng, trên đường chéo là các số khác nhau. Ví dụ 5. Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia. Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau một trận v| người n|o cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình. Chứng minh rằng trong mọi thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau. Ví dụ 7. Trong một cuộc tranh giải vô địch quốc gia về bóng đá có 20 đội tham gia. Số nhỏ nhất các trận đấu là bao nhiêu để trong 3 đội bất kỳ luôn tìm được 2 đội đã chơi với nhau. Ví dụ 8. Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Ví dụ 10. Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2014. Ví dụ 11. Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27. Ví dụ 12. Trong một giải bóng đà có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt(hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận).
Ví dụ 14. Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương. Ví dụ 21. Trong hình tròn đường kính bằng 5 có 10 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng 2. .... Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn! Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyn !" N ngNGUYÊN TẮC ĐIRICLÊ
Nội dung của nguyên tắc này được phát biểu dưới dạng bài toán sau: Nếu nhốt n th !ào " #$ng% !ới n & "% ngh'a #à số th nhi(u h)n số#$ng% th* +t nh,t c-ng c. "ột #$ng nhốt /h0ng +t h)n 1 th2 II. ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC ĐIRICLÊCHÚNG TA CẦN LƯU Ý ỘT !" ĐIỂ !AU Đ Y$32 4ác bài toán áp d5ng nguyên tắc 6i7ic#ê thư8ng #à các bài toán ch9ng"inh s t$n tại của s !;t% s !i<c "à /h0ng c=n ph>i ch? 7a "ột cáchtư8ng "inh s !;t% s !i<c đ.212 Nhi(u bài toán% nguyên tắc 6i7ic#ê ch? @u,t hi<n sau /hi biến đAi Bua "ột bước t7ung gian% hoCc thành #;p các dDy số "ới2E2 6ể gi>i bài toán áp d5ng nguyên tắc 6i7ic#ê% nhi(u /hi ta ph>i /ết hợp !ới phư)ng pháp ch9ng "inh ph>n ch9ng2F2 Ghi gi>i các bài toán "à ta đD biết ph>i áp d5ng nguyên tắc 6i7ic#ê hoCcd đoán sH ph>i dIng nguyên tắc này% chJng ta c=n suy ngh' hoCc biến đAi bài toán để #à" @u,t hi<n /hái ni<" KthK !à K#$ngK% /hái ni<" Knhốt th!ào #$ngK2L2 4-ng c. thể c. nhMng bài toán ph>i áp d5ng 1% E #=n nguyên tắc 6i7ic#ê22 O7ong suy ngh' /hi gi>i toán ta cố gắng #à" @u,t hi<n các /hái ni<" KthK!à K#$ngK% nhưng t7ong t7*nh bày ph=n 8i gi>i ta cố gắng diPn đạt thQong0n ngM toán hRc th0ng thư8ng23  Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyn !" N ngS2 Ghi gi>i @ong các bài toán áp d5ng nguyên tắc 6i7ic#ê% chJng ta cố gắngsuy ngh' để sáng tạo 7a được các bài toán tAng Buát h)n hoCc c5 thể h)n2T* ch? c. như thế ta "ới th;t nắ" chắc bài toán "à "*nh đD #à"2 BÀI T%P$& 2 Uột đ$i th0ng c. VWW WWW cXy th0ng2 O7ên "Yi cXy th0ng c. /h0ng BuáLWW WWW chiếc #á2 4h9ng "inh 7Zng +t nh,t c-ng c. 1 cXy th0ng c. cIngsố #á như nhau [ t7ên cXy2 B'( )(*($ Oa hDy tư[ng tượng "Yi cXy th0ng #à "ột KthK% như !;y c. VWW2WWWKthK được nhốt !ào /h0ng Buá LWW2WWW Kchiếc #$ngK2 \$ng 3 9ng !ớicXy th0ng c. 3 chiếc #á t7ên cXy% #$ng 1 9ng !ới cXy th0ng c. 1 chiếc #át7ên cXy !2!222 ]ố th #ớn h)n số #$ng% thQo nguyên tắc 6i7ic#ê +t nh,t c. 3#$ng nhốt /h0ng +t h)n 1 th ngh'a #à c. +t nh,t 1 cXy th0ng c. cIng số#á2 +. Uột #ớp hRc c. FW hRc sinh2 4h9ng "inh 7Zng c. +t nh,t F hRc sinh c.tháng sinh giống nhau . B'( )(*($ Uột n^" c. 31 tháng2 Oa phXn chia FW hRc sinh !ào 31 tháng đ.2 Nếu "Yi tháng c. /h0ng Buá E hRc sinh được sinh 7a th* số hRc sinh/h0ng Buá: E231 _ E "à E ` FW: !0 #2T;y t$n tại "ột tháng c. +t nh,t F hRc sinh t7Ing tháng sinh t7ong bàinày FW th #à FW hRc sinh% 31 #$ng #à 31 tên tháng2 ,. 4ho dDy số g$" L số t nhiên b,t /* a 3 % a 1 % a E % a F % a L 2 4h9ng "inh 7Zng t$ntại "ột số chia hết cho L hoCc tAng của "ột số số iên tiếp t7ong dDy đDcho chia hết cho L21 Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyn !" N ngB'( )(*($ Oa sH thành #;p dDy số "ới g$" L số sau đXy:] 3 _ a 3 ] 1 _ a 3 a 1 ] E _ a 3 a 1 a E ] F _ a 3 a 1 a E a F ] L _ a 3 a 1 a E a F a L e Nếu "ột t7ong cách ] i i _ 3% 222 L chia hết cho L th* bài toán đD đượcch9ng "inh2e Nếu /h0ng c. số nào chia hết cho L th* /hi đQ" chia các số ] i cho L sHđược L số dư c. giá t7f t 3 đến F24. L số dư "à ch? c. F giá t7f L th% F #$ng2 OhQo nguyên tắc 6i7ic#ê +tnh,t ph>i c. 1 số dư c. cIng giá t7f2 i<u của chJng chia hết cho L2i<u này ch+nh #à tAng các a i iên tiếp nhau hoCc #à ai nào đ.2 -. Tới E số t nhiên iên tiếp% hi 7Zng ta c. thể t*" được "ột số "à tAngcác chM số của n. chia hết cho 33 hay /h0ngjB'( )(*($ O 1W số đ=u tiên của dDy bao gi8 ta c-ng c. thể t*" được 1 số "à chMsố hàng đ)n !f #à W% !à t7ong hai số đ. +t nh,t ph>i c. "ột số c. chM sốhàng ch5c /hác 2 ki> sl N #à số đ.% !à ta gRi ] #à tAng các chM số của N2Oa c. dDy số "ới N% N 3% N 1%222 N % N 3 #à 33 số !mn nZ"t7ong E số cho t7ước "à tAng các chM số của chJng #à ]% ] 3% ] 1% 222 ] % ] 3W2 6. #à 33 số t nhiên iên tiếp% ắt ph>i c. "ột số chiahết cho 332E |
