Cách tính tích vô hướng

Vậy công công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng viết như thế nào? Biểu thức tọa độ của tích vô hướng ra sao? ứng dụng của tích vô hướng là gì? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu ở bài viết này.

I. Tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng

1. Định nghĩa tích vô hướng

- Cho hai vectơ 

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ  

2. Các tính chất của tích vô hướng

- Với ba vectơ

i)  

* Nhận xét: Từ tính chất của tích vô hướng của 2 vectơ, ta suy ra:

II. Công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng và ứng dụng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Trên mặt phẳng tọa độ (O; 

2. Ứng dụng của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Ứng dụng của tích vô hướng cho ta công thức tính độ dài của vectơ, công thức tính góc giữa 2 vectơ và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, cụ thể.

i) Công thức tính độ dài của vectơ

- Độ dài của vectơ

ii) Công thức tính góc giữa hai vectơ

- Nếu

iii) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

- Khoảng cách giữa 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức:

Hy vọng với bài viết Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng ở trên của hayhochoi giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau: a.b = |a|.|b|cos(a,b) Các tính chất của tích vô hưổng Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có: a.b = b.a (tính chất giao hoán); a.(b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối); (ka).b = k(a.b) = a.(kb); -2 _ -.2 _ - a > 0, a=0 o a = 0. Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 ; (a-b)2 =a2-2.a.b + b2; (a + b).(a- b) = a2 -E)2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho a - (ai ; a2), b = (bi; b2) a.b = a1b1+a2b2 Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0 4. ứng dụng Độ dài của vectơ Cho a = (ai; a2) thì la! = ựa2 + a2 Góc giữa hai vectơ Cho a = (ai; a2), b= (bi; b2) đều khácõ Khi đó cos(a,b) : a.b a1b1 + a2b2 •|b| +a2.ựbf +b Khoảng cách giữa hai điểm Cho A(xa; Ya) và B(xb; Yb) AB = ự(xB-XA)2+(yB-yA)2. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB. 2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp: Điểm o nằm ngoài đoạn AB; Điểm o nằm trong đoạn AB. tỹiải Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có: Q Ạ B OA.OB = a.b.cosO0 = a.b Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có: ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b * 2 ? Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA; Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM+ BI.BN theo R. tỹiải a) Ta có AI.AM = AI.AM.COS(AI.AM) = AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM = AI.AB.^= AI.AM AB Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ BN " = BI.BA.^-= BI.BN BA Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA . * Cách khác: Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ(ÃM - Ãẽ) = AI.BM = 0 (vì Ãỉ 1 BM ) => ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Tương tự: BI.BN = BI.BA. b) Ap dụng câu a) ta có ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.(AI + IB) = AB2 = 4R2 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB; Tính chu vi tam giác OAB; Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB. (ỹiẦi a) Giả sử D(xd; 0) nằm trên trục Ox. Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o (1 - XD)2 + 32 = (4 - XD)2 + 22 X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD = VâyD(|;o]. Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720 AB = ự(4 -1)2 + (2 - 3)2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là: 2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ(2 + 72) Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A. Diện tích tam giác OAB là: s = OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 (đvdt). 2 2 * Cách khác: Ta có ÕA = (1; 3); ÃB = (3; -1) => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB. Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau : ă = (2; -3), b = (6; 4); ã= (3; 2), b = (5; -1); a = (-2; -2^3), b= (3; 73 ). Ta có: a Ta có: a . b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay (a, b ) = 90°. . b = 3.5 + 2.(-l) = 13 |ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726 => cos(a,b) - f, a.b 13 ,|b| 713.726 7Ĩ3.713.72 72 1 ^(a,b) = 45° a.b = (-2).3 + (-2731.73 =-6 - 6 =-12 |a| = 4; |b| = 2.73 => cos(a,b) = a'b = 12 = => (a, b) = 150° . ;.b 4.273 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có: |Ãb| = ự(8 - 7)2 + (4 + 3)2 =750 = 572 |bc| = 7(1 - 8)2 + (5 - 4)2 = 750 = 572 |cd| = 7(0 - l)2 + (-2 - 5)2 = 750 = 572 |ÕÃ| = y/72 + (-1)2 = 750 = 572 => AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi. Mặt khác ÃB= (1; 7); ÃD = (-7; 1) nên Ãẽ.ÃD= l.(-7) + 7.1 = 0 AB 1 AD Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. $úỉi Ta có B(2; -1) là điểm đỗì xứng với A qua o. Gọi C(x; 2) ta có: CA = (-2 - x; -1); CB = (2 - x; -3) AABC vuông tại c CA.CB =0 (-2 - x)(2 - x) + 3 = 0 X2 - 1 X = ±1 Vậy có hai điểm cần tìm là: C(l; 2) và C'(-l; 2). c 1. 2. 3. 4. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60° a) Tính AB.CA ; b) Tính BC. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8. a) Tính AB.AC và góc A. b) Tính độ dài trung tuyến AM. c) Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d) Tính AB.IA và BI. Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6. Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC2 = (a2 + b2 + c2). 3 Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ(ÃB + ÃC)2 =j(b2+c2+2ÃB.ÃC) Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: (mã + 2MB).(mC + 3MD) = 0 dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.