VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Đại lượng tỉ lệ nghịch, một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.  Nội dung bài viết Đại lượng tỉ lệ nghịch, một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k x (hoặc xy = k), với k là hằng số khác 0, thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k. 4! Cho y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k, tức là xy = k hay x = k y. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y, do vậy ta thường nói hai đại lượng này tỉ lệ nghịch với nhau. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k. Do đó, trong tỉ lệ nghịch ta không phân biệt cách phát biểu “hệ số tỉ lệ của y đối với x” với “hệ số tỉ lệ của x đối với y” mà thường gọi chung là hệ số tỉ lệ. Tính chất 1. Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau Å tức là y = k x ã thì 1 Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi, tức là x1y1 = x2y2 = x3y3 = · · · = xnyn = k. 2 Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng kia, tức là xm xn = yn ym. 3 Nếu ta viết y = k · 1 x thì ta có tương ứng mới “y tỉ lệ thuận với 1 x theo hệ số tỉ lệ bằng k”. 4! Với “dạng toán thực nghiệm”, tức là “Cho một bảng với các giá trị x và y tương ứng. Hỏi hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?”. Để trả lời câu hỏi này, chúng ta chỉ cần thêm dòng xy vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó, khi đó Nếu các giá trị xy không đổi thì ta kết luận x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Ngược lại, kết luận x và y không tỉ lệ nghịch với nhau. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 1 2. a) Hãy biểu diễn y theo x. Tính giá trị của y khi x = − 1 16 b). LỜI GIẢI. 1 Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 1 2 nên xy = 1 2 hay y = 1 2x. 2 Với x = − 1 16 thì y = 1 2 · Å − 1 16ã = −8. VÍ DỤ 2. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 8 thì y = 15. a) Tìm hệ số tỉ lệ k. b) Hãy biểu diễn y theo x. c) Tính giá trị của y khi x = 6, x = 10. LỜI GIẢI. 1 Ta có xy = k nên k = 8 · 15 = 120. 2 Theo câu trên, ta có x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 120 nên xy = 120 hay y = 120 x. 3 Ta sử dụng bảng sau để tính giá trị của y theo x x 6 10 y = 120 x 20 12 4! Với bảng biểu diễn trong câu này, ta thấy đã có đầy đủ thông tin theo yêu cầu của bài ra. Do đó, trong hầu hết các trường hợp người ta thường cho bài toán dưới dạng “Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng kèm theo”. Ví dụ sau sẽ minh họa cụ thể nhận xét này. VÍ DỤ 3. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x 0,5 −1,2 4 6 y 3 −2 1,5 LỜI GIẢI. Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sử xy = k. Dựa vào thông tin trong cột thứ 6 ta có k = 4 · 1,5 = 6. Vậy xy = 6 hay y = 6 x. Khi đó ta viết y = 6 x vào dòng 2 cột 1 và từ đây ta sẽ điền được các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể ta có bảng sau x 0,5 −1,2 2 −3 4 6 y = 6 x 12 −5 3 −2 1,5 1 4! Với “dạng toán thực nghiệm”, tức là “Cho một bảng với các giá trị x và y tương ứng. Hỏi hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?”. Để trả lời câu hỏi này, chúng ta chỉ cần thêm dòng xy vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó, khi đó Nếu các giá trị xy không đổi thì ta kết luận x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Ngược lại, kết luận x và y không tỉ lệ nghịch với nhau. VÍ DỤ 4. Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong bảng sau x −2 −1 4 8 y −8 −16 4 2 Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không? Vì sao? LỜI GIẢI. Thêm dòng xy vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó ta được x −2 −1 4 8 y −8 −16 4 2 xy 16 16 16 16 Từ kết quả trong bảng trên, ta kết luận x và y tỉ lệ nghịch với nhau. DẠNG 2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch Phương pháp giải: VÍ DỤ 5. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và trở về A với vận tốc 48 km/h. Cả đi lẫn về (không tính thời gian nghỉ) mất 13 giờ 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB. LỜI GIẢI. Giả sử ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h với thời gian là t1 giờ và ô tô đi từ B về A với vận tốc 48 km/h với thời gian là t2 giờ. Vì vận tốc và thời gian của một chuyển động đều trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 60 48 = t2 t1 ⇔ t2 t1 = 5 4 ⇔ t1 4 = t2 5. (2.1) Theo giả thiết ta có t1 + t2 = 13 giờ 30 phút = 13 1 2 giờ. Khi đó, từ dãy tỉ số (2.1) ta được t1 4 = t2 5 = t1 + t2 4 + 5 = 13 1 2 9 = 3 2. Suy ra t1 = 6 giờ. Vậy độ dài quãng đường AB là 60 · 6 = 360 km. 4! 1 Rất nhiều em học sinh sẽ mắc phải lỗi không đáng có khi thực hiện phép đổi đơn vị 13h300 thành số thập phân. 2 Nếu sử dụng tính chất thứ ba thì ta có thể lập luận như sau: Vì vận tốc và thời gian của một chuyển động đều trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên t1, t2 tỉ lệ với 1 60, 1 48, suy ra t1 1 60 = t2 1 48 ⇔ t1 4 = t2 5. Bước biến đổi này sẽ thực sự có ích khi cần tìm nhiều đại lượng. 3 Nếu không muốn sử dụng dãy tỉ số bằng nhau thì chúng ta có thể trình bày lời giải trên theo cách sau: Lập luận tương tự như trong bài toán để có t2 t1 = 5 4 hay 4t2 = 5t1. Theo giả thiết ta có t1 + t2 = 13,5 ⇔ 4(t1 + t2) = 4 · 13,5 ⇔ 4t1 + 4t2 = 54 ⇔ 4t1 + 5t1 = 54 ⇔ t1 = 6. Vậy độ dài quãng đường AB là 60 · 6 = 360 km. 4 Yêu cầu đặt ra trong bài toán này chỉ có tính minh họa cho dạng toán tổng quát: “Tìm đại lượng x, biết x tỉ lệ nghịch với y và thỏa mãn điều kiện K cho trước”. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng tỉ lệ nghịch, dựa trên công thức xm xn = yn ym. Hoặc dựa trên tính chất thứ ba. Bước 2: Khai thác điều kiện K và vận dụng linh hoạt kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau (nếu cần). Từ đây chúng ta nhận được x. VÍ DỤ 6. Ba nhóm học sinh cùng tham gia trồng cây (mỗi nhóm đều phải trồng n cây). Nhóm I trồng xong trong 3 ngày, nhóm II trồng xong trong 5 ngày, nhóm III trồng xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi nhóm có bao nhiêu học sinh? Biết rằng nhóm II có nhiều hơn nhóm III 1 học sinh (năng suất trồng cây của mỗi học sinh bằng nhau). LỜI GIẢI. Giả sử số học sinh của nhóm I, nhóm II, nhóm III theo thứ tự là x, y, z. Nhóm I với x học sinh hoàn thành công việc trong 3 ngày. Nhóm II với y học sinh hoàn thành công việc trong 5 ngày. Nhóm III với z học sinh hoàn thành công việc trong 6 ngày. Theo giả thiết ta có y − z = 1. Vì số học sinh và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x, y, z tỉ lệ với 1 3, 1 5, 1 6, suy ra x 1 3 = y 1 5 = z 1 6 = y − z 1 5 − 1 6 = 1 1 30 = 30. Từ đó suy ra x = 1 3 · 30 = 10, y = 1 5 · 30 = 6, z = 1 6 · 30 = 5. Vậy nhóm I có 10 học sinh, nhóm II có 6 học sinh và nhóm III có 5 học sinh. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 16. a) Hãy biểu diễn y theo x. Tính giá trị của y khi x = − 1 4 b). LỜI GIẢI. 1 Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 16 nên xy = 16 hay y = 16 x. 2 Với x = − 1 4 thì y = 16 − 1 4 = −64. BÀI 2. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 2 thì y = 9. 1. Tìm hệ số tỉ lệ k. 2 Hãy biểu diễn y theo x. 3 Tính giá trị của y khi x = −2, x = 1, x = 3, x = 8. LỜI GIẢI. 1 Ta có xy = k nên k = 2 · 9 = 18. 2 Theo câu trên, ta có x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 18 nên xy = 18 hay y = 18 x. 3 Ta sử dụng bảng sau để tính giá trị của y theo x x −2 1 3 8 y = 18 x −9 18 6 9 4 BÀI 3. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 4 thì y = 9. 1 Tìm hệ số tỉ lệ k. 2 Hãy biểu diễn y theo x. 3 Tính giá trị của y khi x = −9, x = −6, x = 3, x = 12, x = 36. LỜI GIẢI. 1 Ta có xy = k nên k = 4 · 9 = 36. 2 Theo câu trên, ta có x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ k = 36 nên xy = 36 hay y = 36 x. 3 Ta sử dụng bảng sau để tính giá trị của y theo x x −9 −6 3 12 36 y = 36 x −4 −6 12 3 1 BÀI 4. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −20 −12 2 3 4 5 y −5 10 LỜI GIẢI. Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sử xy = k. Dựa vào thông tin trong cột thứ 3 ta có k = (−12) · (−5) = 60. Vậy xy = 60 hay y = 60 x. Khi đó ta viết y = 60 x vào dòng 2 cột 1 và từ đây ta sẽ điền được các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể ta có bảng sau x −20 −12 2 3 4 5 6 y = 60 x −3 −5 30 20 15 12 10 BÀI 5. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −9 −1 3 y −27 27 LỜI GIẢI. Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sử xy = k. Dựa vào thông tin trong cột thứ 3 ta có k = (−1) · (−27) = 27. Vậy xy = 27 hay y = 27 x. Khi đó ta viết y = 27 x vào dòng 2 cột 1 và từ đây ta sẽ điền được các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể ta có bảng sau. |
