Dạng toán tìm công thức tổng quát của dãy số là một dạng bài trọng tâm về dãy số trong chương trình Toán lớp 11. Để làm được dạng bài tập này, các bạn cần nắm vững kiến thức lý thuyết về dãy số. Để bổ trợ cho các ban trong quá trình học tập và ôn luyện. Chúng tôi có tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải, bài tập vận dụng của dạng toán tìm công thức tổng quát của dãy số. Mời các bạn tham khảo bên dưới. Kiến thức cần nhớ.Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: N* -> R, n -> u(n). Dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đổi số tự nhiên n: u(1), u(2),.. u(n)…Trong đó, u(1) được gọi là số hạng đầu tiên của dãy số và u(n) gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. Dãy số được gọi là tăng nếu u(n) < u(n+1) với mọi n ∈ N*. Dãy số được gọi là giảm nếu u(n) > u(n+1) với mọi n ∈ N*. Dãy số bị chặn trên nếu u(n) < m với mọi n ∈ N*. Dãy số bị chặn dưới nếu u(n) > n với mọi n ∈ N*. Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới (dãy bị chặn) nếu lu(n)l < M với mọi n ∈ N*, M là số thực dương. Có thể bạn quan tâm: Dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số nhanh nhất.Các bạn sẽ có 3 phương pháp chính. Đó là:
Hãy tham khảo ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn. Ngoài ra, hãy rèn luyện bài tập chăm chỉ trong tài liệu để giải tốt bài toán về tìm công thức tổng quát.  Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Thu Hoài Tài liệu gồm 23 trang hướng dẫn phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi thông qua một số ví dụ minh họa, tài liệu được biên soạn bởi cô Phạm Thị Thu Huyền với nội dung gồm: Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Sử dụng máy tính Casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi Tài liệu phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số của tác giả Nguyễn Tất Thu gồm 46 trang. Tài liệu gồm 3 nội dung chính: + Sử dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xây dựng cách tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. + Sử dụng phép thế lượng giác để xác định công thức tổng quát của dãy số. + Ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số – tổ hợp. [ads] 1 2 1 2 n n n u TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009 Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 2 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Dãy số là một phần của Đại số cũng như Giải tích toán học. Dãy số đóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó. Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,… Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc trao đổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán. Do đây là chuyên đề đầu tay của tôi, nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu này chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết được hoàn thiện. Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư: The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trong phần này, tôi và các bạn sẽ cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số dạng dãy số bản. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài tập đơn giản trong sách giáo khoa sau: Tiếp tục ý tưởng như ví dụ 1, tuy nhiên ta thấy ở trong công thức truy hồi đã cho xuất hiện một đa thức theo n là 2 n nên cách làm của chúng ta sẽ hơi khác một chút. Giả sử: (2). n n u v an b Thay vào dãy đã cho ta được: 1 2( ( 1) ) 1, n n v an b v a n b n chọn , a bsao cho 2 ( 1) 2 1 ( 2) 1 0 ( ) n an b a n b n a n b n v là một CSN và Các bạn có thể tự tổng quát bài toán trên dưới dạng công thức, với một chút kiên nhẫn biến đổi tôi cũng tìm được hai CTTQ sau đây, ngoài ra các bạn hãy tự mình tổng quát những công thức phức tạp hơn. ( 1) (khi 1) Công thức tổng quát 2: Cho dãy ( ) n u được xác định: Thế là bắt đầu hình thành phương pháp rồi đấy nhỉ! Chúng ta tiếp tục bằng một bài toán rất nổi tiếng sau đấy: Một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi cứ mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái). Giả sử từ lúc đầu tháng giêng có một đôi thỏ sơ sinh., hỏi đến đầu tháng n có bao nhiêu đôi thỏ. Đây là một bài toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta sẽ tìm cách viết lại đề bài. Gọi n F là số đôi thỏ sau n tháng. Không như những bài toán đã gặp ở trên, bài toán này chúng ta gặp một công thức truy hồi liên quan tới 3 số hạng của dãy. Ý tưởng của chúng ta bây giờ sẽ là tìm cách biến đổi công thức truy hồi đó về dạng đơn giản hơn chỉ liên quan tới 2 số hạng của dãy. Giải sử: Giải sử: ( 1) ) 6( ( 2) ( 2) ) (5.1) 5 6 0 (5.2) n n n n n an bn c a n b n c a n b n c v v v ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Đây là dạng bài toán tìm CTTQ của dãy số cho bởi một công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với các hệ số hằng. Chúng ta có thể dễ dàng tổng quát bài toán trên dưới dạng sau đây: Cho dãy ( ) n u được xác định bởi: Ta thấy trong công thức truy hồi có căn thức nên việc đầu tiên của chúng ta làm sẽ là khai triển căn thức, từ đó sẽ tìm cách đưa dãy về dạng đơn giản hơn. Viết lại công thức truy hồi: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng: Giải phương trình đặc trưng 2 0 a b c ta tìm được . |
