Page 2
Câu 19 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: a. P\( = {x^2} - 2x + 5\) b. Q\( = 2{x^2} - 6x\) c. M\( = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\) Giải: a. P\(= {x^2} - 2x + 5)\\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\) Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi b. Q\( = 2{x^2} - 6x\)\( = 2\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2\left( {{x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)\) \( = 2\left[ {{{\left( {x - {2 \over 3}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2}\) Ta có: \({\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\) \( \Rightarrow Q = - {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\) Vậy \(Q = - {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\) c. \(\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \cr & = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \) Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \) \( \Rightarrow M = {3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\) \( \Rightarrow y = - 3\) và \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\) Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = - 3\) và \(x = {1 \over 2}\) Câu 20 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức: a. \(A = 4x - {x^2} + 3\) b. \(B = x - {x^2}\) c. \(N = 2x - 2{x^2} - 5\) Giải: a. \(A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\) Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\) Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\) b. \(B = x - {x^2})\\( = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\) Vì \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\) c. \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( = - 2\left( {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right) = - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\) \( = - 2\left[ {{{\left( {x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\) Vì\({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\) Suy ra: \(N = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \le - {9 \over 2}\) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( - {9 \over 2}\) tại \(x = {1 \over 2}\) Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho \({x^2} + {y^2} = 26\) và\(xy = 5\) giá trị của\({\left( {x - y} \right)^2}\) là: A. 4 B. 16 C. 21 D. 36 Giải: Chọn B. 16 Giaibaitap.me Page 3
Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({a^2}\) chia cho 5 dư 1. Giải: Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N) Ta có: \(\eqalign{ & {a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1 \cr & \cr} \) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1\) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1 \vdots 5\) . Vậy \({a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\) chia cho 5 dư 1 Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tính giá trị của các biểu thức sau: a. \({x^2} - {y^2}\) tại \(x = 87\) và \(y = 13\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = 101\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại \(x = 97\) Giải: a. \({x^2} - {y^2}\)\(= \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) . Thay \(x = 87;y = 13\) Ta có: \({x^2} - {y^2}\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) \( = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 - 13} \right) = 100.74 = 7400\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x – 1\) \( = {\left( {x - 1} \right)^3}\) Thay \(x = 101\) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) \( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {\left( {x + 3} \right)^3}\) Thay \(x = 97\) ta có: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Chứng minh rằng: a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\) b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\) c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\) Giải: a. Biến đổi vế trái: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. b. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \cr & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \) Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh. c. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \) Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh. Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Chứng tỏ rằng: a. \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 < 0\) với mọi \(x\) Giải: a. \({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 2.x.3 + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1\) Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + 1 > 0\) mọi \(x\) Vậy \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1 = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\) Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi ⇒\( - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\) ⇒\( - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1 < 0\) với mọi \(x\) Vậy \(4x - {x^2} - 5 < 0\)với mọi \(x\) Giaibaitap.me Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Câu 29 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tính nhanh a. \({25^2} - {15^2}\) b. \({87^2} + {73^2} - {27^2} - {13^2}\) Giải: a. \({25^2} - {15^2})\ \( = \left( {25 + 15} \right)\left( {25 - 15} \right) = 40.10 = 400\) b. \({87^2} + {73^2} - {27^2} - {13^2}\) \( = \left( {{{87}^2} - {{13}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{27}^2}} \right)\) \(\eqalign{ & = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 - 13} \right) + \left( {73 + 27} \right)\left( {73 - 27} \right) \cr & = 100.74 + 100.46 = 100\left( {74 + 46} \right) = 100.120 = 12000 \cr} \) Câu 30 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm \(x\) , biết a. \({x^3} - 0,25x = 0\) b. \({x^2} - 10x = - 25\) Giải: a. \({x^3} - 0,25x = 0)\\( \Rightarrow x\left( {{x^2} - 0,25} \right) = 0 \Rightarrow x\left( {{x^2} - 0,{5^2}} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow x\left( {x + 0,5} \right)\left( {x - 0,5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x = 0 \cr} \) hoặc \(x + 0,5 = 0 \Rightarrow x = - 0,5\) hoặc \(x - 0,5 = 0 \Rightarrow x = 0,5\) Vậy \(x = 0;x = - 0,5;x = 0,5\) b. \({x^2} - 10x = - 25\) \( \Rightarrow {x^2} - 2.x.5 + {5^2} = 0 \Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) Câu 7.1 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích đa thức \(4{x^2} - 9{y^2}\) thành nhân tử ta có kết quả: A. \({\left( {2x - 3y} \right)^2}\) B. \(\left( {2x - 4,5y} \right)\left( {2x + 4,5y} \right)\) C. \(\left( {4x - 9y} \right)\left( {4x + 9y} \right)\) D. \(\left( {2x - 3y} \right)\left( {2x + 3y} \right)\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải: Chọn D. \(\left( {2x - 3y} \right)\left( {2x + 3y} \right)\) Câu 7.2 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm \(x\) , biết: a. \(4{x^2} - 4x = - 1\) b. \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = 0\) Giải: a. \(4{x^2} - 4x = - 1\) \( \Rightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0 \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) \( \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\) b. \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {\left( {2x} \right)^3} + 3.{\left( {2x} \right)^2}.1 + 3.\left( {2x} \right){.1^2} + {1^3} = 0 \cr & \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^3} = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = - {1 \over 2} \cr} \) Giaibaitap.me Page 9
Câu 31 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử: a. \({x^2} - x - {y^2} - y\) b. \({x^2} - 2xy + {y^2} - {z^2}\) Giải: a. \({x^2} - x - {y^2} – y\) \( = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) - \left( {x + y} \right)\) \( = \left( {x + y} \right)\left( {x - y - 1} \right)\) b. \({x^2} - 2xy + {y^2} - {z^2}\) \( = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - {z^2} = {\left( {x - y} \right)^2} - {z^2}\) \( = \left( {x - y + z} \right)\left( {x - y - z} \right)\) Câu 32 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử: a. \(5x - 5y + ax - ay\) b. \({a^3} - {a^2}x - ay + xy\) c. \(xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x + z} \right) + 2xyz\) Giải: a. \(5x - 5y + ax – ay\) \( = \left( {5x - 5y} \right) + \left( {ax - ay} \right)\) \( = 5\left( {x - y} \right) + a\left( {x - y} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {5 + a} \right)\) b. \({a^3} - {a^2}x - ay + xy\) \( = \left( {{a^3} - {a^2}x} \right) - \left( {ay - xy} \right)\) \( = {a^2}\left( {a - x} \right) - y\left( {a - x} \right) = \left( {a - x} \right)\left( {{a^2} - y} \right)\) c. \(xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x + z} \right) + 2xyz\) \(\eqalign{ & = {x^2}y + x{y^2} + yz\left( {y + z} \right) + {x^2}z + x{z^2} + xyz + xyz \cr & = \left( {{x^2}y + {x^2}z} \right) + yz\left( {y + z} \right) + \left( {x{y^2} + xyz} \right) + \left( {x{z^2} + xyz} \right) \cr & = {x^2}\left( {y + z} \right) + yz\left( {y + z} \right) + xy\left( {y + z} \right) + xz\left( {y + z} \right) \cr & = \left( {y + z} \right)\left( {{x^2} + yz + xy + xz} \right) = \left( {y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {xz + yz} \right)} \right] \cr & = \left( {y + z} \right)\left[ {x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)} \right] = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) \cr} \) Câu 33 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức a. \({x^2} - 2xy - 4{z^2} + {y^2}\) tại \(x = 6;y = - 4\) và \(z = 45\) b. \(3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2} + 48\) tại \(x = 0,5\) Giải: a. \({x^2} - 2xy - 4{z^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 4{z^2}\) \( = {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {2z} \right)^2} = \left( {x - y + 2z} \right)\left( {x - y - 2z} \right)\) Thay \(x = 6;y = - 4;z = 45\) vào biểu thức, ta có: \(\left( {6 + 4 + 90} \right)\left( {6 + 4 - 90} \right) = 100.\left( { - 80} \right) = - 8000\) b. \(3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2} + 48\) \(\eqalign{ & = 3\left( {{x^2} + 7x - 3x - 21} \right) + {x^2} - 8x + 16 + 48 \cr & = 3{x^2} + 12x - 63 + {x^2} - 8x + 64 = 4{x^2} + 4x + 1 = {\left( {2x + 1} \right)^2} \cr} \) Thay \(x = 0,5\) vào biểu thức ta có: \({\left( {2.0,5 + 1} \right)^2} = {\left( {1 + 1} \right)^2} = 4\) Câu 8.1 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử a. \(4{x^2} - {y^2} + 4x + 1\) b. \({x^3} - x + {y^3} - y\) Giải: a. \(4{x^2} - {y^2} + 4x + 1\) \( = \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - {y^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2}\) \( = \left( {2x + 1 + y} \right)\left( {2x + 1 - y} \right)\) b. \({x^3} - x + {y^3} – y\) \( = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - \left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)\) \( = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - 1} \right)\) Giaibaitap.me Page 10
Câu 34 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử a. \({x^4} + 2{x^3} + {x^2}\) b. \({x^3} - x + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - y\) c. \(5{x^2} - 10xy + 5{y^2} - 20{z^2}\) Giải: a. \({x^4} + 2{x^3} + {x^2}\) \( = {x^2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\) b. \({x^3} - x + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} – y\) \(\eqalign{ & = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^3} - \left( {x + y} \right) \cr & = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 1} \right] = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right) \cr} \) c. \(5{x^2} - 10xy + 5{y^2} - 20{z^2} = 5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} - 4{z^2}} \right)\) \(\eqalign{ & = 5\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 4{z^2}} \right] = 5\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - {{\left( {2z} \right)}^2}} \right] \cr & = 5\left( {x - y + 2z} \right)\left( {x - y - 2z} \right) \cr} \) Câu 35 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử a. \({x^2} + 5x - 6\) b. \(5{x^2} + 5xy - x - y\) c. \(7x - 6{x^2} - 2\) Giải: a. \({x^2} + 5x – 6\) \( = {x^2} - x + 6x - 6 = \left( {{x^2} - x} \right) + \left( {6x + 6} \right)\) \( = x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)\) b. \(5{x^2} + 5xy - x – y\) \( = \left( {5{x^2} + 5xy} \right) - \left( {x - y} \right) = 5x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)\) \( = \left( {x + y} \right)\left( {5x - 1} \right)\) c. \(7x - 6{x^2} – 2\) \( = 4x - 6{x^2} - 2 + 3x = \left( {4x - 6{x^2}} \right) - \left( {2 - 3x} \right)\) \( = 2x\left( {2 - 3x} \right) - \left( {2 - 3x} \right) = \left( {2 - 3x} \right)\left( {2x - 1} \right)\) Câu 36 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích thành nhân tử a. \({x^2} + 4x + 3\) b. \(2{x^2} + 3x - 5\) c. \(16x - 5{x^2} - 3\) Giải: a. \({x^2} + 4x + 3\) \( = {x^2} + x + 3x + 3 = \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {3x + 3} \right)\) \(x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) b. \(2{x^2} + 3x – 5\) \( = 2{x^2} - 2x + 5x - 5 = \left( {2{x^2} - 2x} \right) + \left( {5x - 5} \right)\) \( = 2x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)\) c. \(16x - 5{x^2} – 3\) \( = 15x - 5{x^2} - 3 + x = \left( {15x - 5{x^2}} \right) - \left( {3 - x} \right)\) \( = 5x\left( {3 - x} \right) - \left( {3 - x} \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {5x - 1} \right)\) Câu 37 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm \(x)\ biết: a. \(5x\left( {x - 1} \right) = x - 1\) b. \(2\left( {x + 5} \right) - {x^2} - 5x = 0\) Giải: a. \(5x\left( {x - 1} \right) = x - 1\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 5x\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {5x - 1} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x - 1 = 0} \cr {5x - 1 = 0} \cr } \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = 1} \cr {x = {1 \over 5}} \cr } } \right.} \right. \cr} \) b. \(2\left( {x + 5} \right) - {x^2} - 5x = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 2\left( {x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 5x} \right) = 0 \Rightarrow 2\left( {x + 5} \right) - x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {2 - x} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x + 5 = 0} \cr {2 - x = 0} \cr } \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = - 5} \cr {x = 2} \cr } } \right.} \right. \cr} \) Giaibaitap.me Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Câu 53 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Làm tính nhân: a. \(3x\left( {{x^2} - 7x + 9} \right)\) b. \({2 \over 5}xy\left( {{x^2}y - 5x + 10y} \right)\) Giải: a. \(3x\left( {{x^2} - 7x + 9} \right)\) \( = 3{x^3} - 21{x^2} + 27x\) b. \({2 \over 5}xy\left( {{x^2}y - 5x + 10y} \right)\) \( = {2 \over 5}{x^3}{y^2} - 2{x^2}y + 4x{y^2}\) Câu 54 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Làm tính nhân: a. \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)\) b. \(\left( {x + 3y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + y} \right)\) c. \(\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\) Giải: a. \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)\) \( = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x\) b. \(\left( {x + 3y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + y} \right)\) \( = {x^3} - 2{x^2}y + xy + 3{x^2}y - 6x{y^2} + 3{y^2}\) \( = {x^3} + {x^2}y + xy - 6x{y^2} + 3{y^2}\) c. \(\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\) \( = \left( {6{x^2} + 4x - 3x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)\) \( = \left( {6{x^2} + x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) = 18{x^2} - 6{x^3} + 3x - {x^2} - 6 + 2x = 17{x^2} - 6{x^3} + 5x - 6\) Câu 55 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức sau: a. \(1,{6^2} + 4.0,8.3,4 + 3,{4^2}\) b. \({3^4}{.5^4} - \left( {{{15}^2} + 1} \right)\left( {{{15}^2} - 1} \right)\) c. \({x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} - 12x + 111\) tại \(x = 11\) Giải: a. \(1,{6^2} + 4.0,8.3,4 + 3,{4^2}\) \( = 1,{6^2} + 2.1,6.3,4 + 3,{4^2} = {\left( {1,6 + 3,4} \right)^2} = {5^2} = 25\) b. \({3^4}{.5^4} - \left( {{{15}^2} + 1} \right)\left( {{{15}^2} - 1} \right)\) \( = {\left( {3.5} \right)^4} - \left( {{{15}^4} - 1} \right) = {15^4} - {15^4} + 1 = 1\) c. \({x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} - 12x + 111\). Tại \(x = 11\) Ta có: \(x = 11 \Rightarrow 12 = x + 1\) \({x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} - 12x + 111\) \( = {x^4} - \left( {x + 1} \right){x^3} + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 111\) \( = {x^4} - {x^4} - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 111 = - x + 111\) Thay \(x = 11\) vào biểu thức ta có: \( - x + 111 = - 11 + 111 = 100.\) Câu 56 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Rút gọn biểu thức a. \({\left( {6x + 1} \right)^2} + {\left( {6x - 1} \right)^2} - 2\left( {1 + 6x} \right)\left( {6x - 1} \right)\) b. \(3\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) Giải: a. \({\left( {6x + 1} \right)^2} + {\left( {6x - 1} \right)^2} - 2\left( {1 + 6x} \right)\left( {6x - 1} \right)\) \(\eqalign{ & = {\left( {6x + 1} \right)^2} - 2\left( {6x + 1} \right)\left( {6x - 1} \right) + {\left( {6x - 1} \right)^2} = {\left[ {\left( {6x + 1} \right) - \left( {6x - 1} \right)} \right]^2} \cr & = {\left( {6x + 1 - 6x + 1} \right)^2} = {2^2} = 4 \cr} \) b. \(3\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) \(\eqalign{ & = \left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) \cr & = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) \cr & = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {2^{32}} - 1 \cr} \) Giaibaitap.me Page 18
Page 19
Câu 57 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. \({x^3} - 3{x^2} - 4x + 12\) b. \({x^4} - 5{x^2} + 4\) c. \({\left( {x + y + z} \right)^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3}\) Giải: a. \({x^3} - 3{x^2} - 4x + 12\) \( = \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) - \left( {4x - 12} \right) = {x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)\) \( = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\) b. \({x^4} - 5{x^2} + 4\) \( = {x^4} - 4{x^2} - {x^2} + 4 = \left( {{x^4} - 4{x^2}} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)\) \( = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\) c. \({\left( {x + y + z} \right)^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3}\) \( = {\left[ {\left( {x + y} \right) + z} \right]^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3}\) \(\eqalign{ & = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3} \cr & = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} - {x^3} - {y^3} \cr & = 3\left( {x + y} \right)\left[ {xy + \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] = 3\left( {x + y} \right)\left[ {xy + xz + yz + {z^2}} \right] \cr & = 3\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) \cr} \) Câu 58 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Làm phép chia a. \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) b. \(\left( {2{x^3} - 5{x^2} + 6x - 15} \right):\left( {2x - 5} \right)\) c. \(\left( {{x^4} - x - 14} \right):\left( {x - 2} \right)\) Giải:
Câu 59 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a. A\( = {x^2} - 6x + 11\) b. B\( = 2{x^2} + 10x - 1\) c. C\( = 5x - {x^2}\) Giải: a. A\( = {x^2} - 6x + 11\) \( = {x^2} - 2.3x + 9 + 2 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 2\) Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\) \( \Rightarrow A \ge 2\). Vậy A = 2 là giá trị bé nhất của biểu thức tại \(x = 3\) b. B\( = 2{x^2} + 10x – 1\)= \(2\left( {{x^2} + 5x - {1 \over 2}} \right)\) \(\eqalign{ & = 2\left[ {x + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {1 \over 2}} \right] \cr & = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4} - {2 \over 4}} \right] = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{27} \over 4}} \right] = 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \cr} \) Vì \({\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \ge - {{27} \over 2}\) \( \Rightarrow B \ge {{27} \over 2}\). Vậy B\( = - {{27} \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x = - {5 \over 2}\) c. \( C= 5x - {x^2}\) \( = - ({x^2} - 5x) = - \left[ {{x^2} - 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]\) \( = - \left[ {{{\left( {x - {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4}} \right] = - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}\) Vì \({\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}\) \( \Rightarrow C \le {{25} \over 4}\). Vậy C\( = {{25} \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x = {5 \over 2}\) Câu I.1 trang 14 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1 Kết quả của phép tính \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\) là: A. \({x^2} - 2\) B. \({x^2} + 2x - 2\) C. \({x^2} + x - 2\) D. \({x^2} + 2x\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải: Chọn C. \({x^2} + x - 2\) Giaibaitap.me Page 20
Page 21
Câu 1 trang 23 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: a. \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\) b. \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\) c. \({{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\) d. \({{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\) Giải: a. \({x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\) \( \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\). Vậy \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\) b. \({x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2};x{\left( {x + 2} \right)^2}.x = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\) \( \Rightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}x\). Vậy \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\) c. \(\left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\) \(\left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 3{x^2} - 18x + 27 + {x^3} - 6{x^2} + 9x = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\) \( \Rightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = \left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\). Vậy \({{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\) d. \(\left( {{x^3} - 4x} \right).5 = 5{x^3} - 20x;\left( {10 - 5x} \right)\left( { - {x^2} - 2x} \right) = - 10{x^2} - 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} - 20x\) \( \Rightarrow \left( {{x^3} - 4x} \right).5 = \left( {10 - 5x} \right)\left( { - {x^2} - 2x} \right)\) Vậy \({{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\) Câu 2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau: a. \({A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) b. \({{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) c. \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\) d. \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\) Giải: a. \({A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) \( \Rightarrow A\left( {4{x^2} - 1} \right) = \left( {2x - 1} \right).\left( {6{x^2} + 3x} \right)\) \( \Rightarrow A\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x - 1} \right).3x\left( {2x + 1} \right)\) \( \Rightarrow A = 3x\) Ta có: \({{3x} \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) b. \({{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 3x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} + 4x - 7x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x + 1} \right) - 7\left( {x + 1} \right)} \right]\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 \cr} \) Ta có: \({{4{x^2} - 3x - 7} \over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) c. \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 7x + 3} \right).\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = A.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{\pi \over 2} - \theta } \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 3x + 3} \right).{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right)} \right].{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {4x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 4{x^2} + 4x - 3x - 3 = 4{x^2} + x - 3 \cr} \) Ta có: \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {{4{x^2} + x - 3} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) d. \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {{x^2} - 2x} \right).A = \left( {2{x^2} - 3x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right).x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left[ {2x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \right].x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right).x.\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 \cr} \) Ta có : \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) Câu 3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng. a. \({{5x + 3} \over {x - 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} - 4}}\) b. \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\) c. \({{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\) d. \({{2{x^2} - 5x + 3} \over {{x^2} + 3x - 4}} = {{2{x^2} - x - 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\) Giải: a. \(\left( {5x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 5{x^3} - 20x + 3{x^3} - 12\) \(\left( {x - 2} \right)\left( {5{x^2} + 13x + 6} \right) = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x - 10{x^2} - 26x - 12 = 5{x^3} - 20x + 3{x^2} - 12\) Đẳng thức đúng. b. \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) \ne \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\) Đẳng thức sai \({{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\). Sửa lại \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\) c. \(\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + {x^2} - 2x - 2\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2\) \(\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 1} \right) \ne \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) Đẳng thức sai \({{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\). Sửa lại \({{{x^2} + x - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\) d. \(\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\) \( = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} - 5{x^3} - 25{x^2} - 20x + 3{x^2} + 15x + 12\) \(\eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\left( {2{x^2} - x - 3} \right) = 2{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 6{x^3} - 3{x^2} - 9x - 8{x^2} + 4x + 12 \cr & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \Rightarrow \left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) = \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\left( {2{x^2} - x - 3} \right) \cr} \) Đẳng thức đúng Câu 1.1 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm đa thức P để \({{x - 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {P \over {{x^3} - 1}}\) . Phương án nào sau đây là đúng ? A. \(P = {x^2} + 3\) B. \(P = {x^2} - 4x + 3\) C. \(P = x + 3\) D. \(P = {x^2} - x - 3\) Giải: Chọn B. \(P = {x^2} - 4x + 3\) Câu 1.2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức : a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\) b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\) Giải: a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\) P \( = x - 1\) ;Q \( = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\) b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\) P \( = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - x - 2\) Q \( = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + x - 2\) Câu 1.3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho hai phân thức \({P \over Q}\) và\({R \over S}\). Chứng minh rằng : a. Nếu \({P \over Q} = {R \over S}\) thì \({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\) b. Nếu và P ≠ Q thì R ≠ S và Giải: a. \({P \over Q} = {R \over S}\) \( \Rightarrow PS = QR\) (1). Vì \({P \over Q},{R \over S}\) là phân thức ⇒ Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với Q S P S + Q S = Q R + Q S ⇒ (P + Q). S = Q (R + S) ⇒\({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\) b. \({P \over Q} = {R \over S}\)⇒ P S = Q R (1) và P ≠ Q, R ≠ S Trừ từng vế đẳng thức (1) với PR : P S – P R = Q R – P R ⇒ P (S – R) = R (Q – P) ⇒ \({P \over {Q - P}} = {R \over {S - R}}\) Giaibaitap.me Page 22
Câu 4 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau: a. \({{x - {x^2}} \over {5{x^2} - 5}} = {x \over {...}}\) b. \({{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {...}}\) c. \({{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\) d. \({{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {{y^2} - {x^2}}}\) Giải: a. Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho 1 – x nên mẫu thức phải chia cho 1 – x mà \(5{x^2} - 5 = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 5\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)\) Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \( - 5\left( {x + 1} \right)\) Ta có : \({{x - {x^2}} \over {5{x^2} - 5}} = {x \over { - 5\left( {x + 1} \right)}}{e^{i\theta }}\) b. \({{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {...}}\) \( \Rightarrow {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3x\left( {{x^2} + 8} \right)} \over {...}}\) Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với 3x nên mẫu thức cũng nhân với 3x. Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \(3x\left( {2x - 1} \right) = 6{x^2} - 3x\) Ta có: \({{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {6{x^2} - 3x}}\) c. \({{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow {{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\) Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với \(3\left( {x - y} \right)\) nên tử cũng được nhân với \(3\left( {x - y} \right)\) mà \(3{x^2} - 3xy = 3x\left( {x - y} \right)\) Vậy đa thức cần điển vào chỗ trống là \(x\) Ta có: \({x \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\) d. \({{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {{y^2} - {x^2}}}\) \( \Rightarrow {{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {\left( {y - x} \right)\left( {x + y} \right)}}\) Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm y – x nên tử phải nhân với y – x, đa thức cần điền \(\left( { - {x^2} + 2xy - {y^2}} \right)\left( {y - x} \right)\) \( = - {x^2}y + {x^3} + 2x{y^2} - 2{x^2}y - {y^3} + x{y^2} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3}\) Ta có: \({{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{{{\left( {x - y} \right)}^3}} \over {{y^2} - {x^2}}}\) Câu 5 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước : a. \({{4x + 3} \over {{x^2} - 5}},A = 12{x^2} + 9x\) b. \({{8{x^2} - 8x + 2} \over {\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}},A = 1 - 2x\) Giải: a. A \( = 12{x^2} + 9x = 3x\left( {4x + 3} \right)\) \( \Rightarrow {{4x + 3} \over {{x^2} - 5}} = {{\left( {4x + 3} \right).3x} \over {\left( {{x^2} - 5} \right).3x}} = {{12{x^2} + 9x} \over {3{x^3} - 15x}}\) b. \(A = 1 - 2x \Rightarrow 8{x^2} - 8x + 2:1 - 2x = 2 - 4x\) \({{8{x^2} - 8x + 2} \over {\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}} = {{\left( {8{x^2} - 8x + 2} \right):\left( {2 - 4x} \right)} \over {\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right):\left( {2 - 4x} \right)}} = {{1 - 2x} \over {x - 15}}\) Câu 6 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức : a. \({3 \over {x + 2}}\)và \({{x - 1} \over 5}\) b. \({{x + 5} \over {4x}}\)và \({{{x^2} - 25} \over {2x + 3}}\) Giải: a. \({3 \over {x + 2}} = {{3\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{3x - 3} \over {{x^2} + x - 2}}\) \({{x - 1} \over {5x}} = {{3\left( {x - 1} \right)} \over {5x.3}} = {{3x - 3} \over {15x}}\) b. \({{x + 5} \over {4x}}\)\( = {{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)} \over {4x\left( {x - 5} \right)}} = {{{x^2} - 25} \over {4{x^2} - 20x}}\) và \({{{x^2} - 25} \over {2x + 3}}\) Câu 7 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức : a. \({{3x} \over {x - 5}}\)và \({{7x + 2} \over {5 - x}}\) b. \({{4x} \over {x + 1}}\)và \({{3x} \over {x - 1}}\) c. \({2 \over {{x^2} + 8x + 16}}\)và \({{x - 4} \over {2x + 8}}\) d. \({{2x} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)và \({{x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Giải: a. \({{3x} \over {x - 5}} = {{ - \left( {3x} \right)} \over { - \left( {x - 5} \right)}} = {{ - 3x} \over {5 - x}}\)và \({{7x + 2} \over {5 - x}}\) b. \({{4x} \over {x + 1}} = {{4x\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{4{x^2} - 4x} \over {{x^2} - 1}}\) \({{3x} \over {x - 1}}\) \(= {{3x\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{3{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 1}}\) c. \({2 \over {{x^2} + 8x + 16}} = {4 \over {2{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\) \({{x - 4} \over {2x + 8}} = {{x - 4} \over {2\left( {x + 4} \right)}} = {{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {2\left( {x + 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {{{x^2} - 16} \over {2{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\) d. \({{2x} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{2x\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{2{x^2} - 4x} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \({{x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{{x^2} - 9} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) Giaibaitap.me Page 23
Câu 8 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho hai phân thức \({A \over B}\) và\({C \over D}\). Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng \({{A'} \over E}\) và \({{C'} \over E}\) thỏa mãn điều kiện \({{A'} \over E} = {A \over B}\) và \({{C'} \over E} = {C \over D}\) Giải: Với hai phân thức \({A \over B}\) và \({C \over D}\) ta có được hai phân thức cùng mẫu \({{A.D} \over {B.D}}\) và\({{C.B} \over {B.D}}\). Ta nhân tử và mẫu của hai phân thức đó với cùng một đa thức M ≠ 0 bất kỳ, ta có hai phân thức mới cùng mẫu \({{A.D.M} \over {B.D.M}}\) và\({{C.B.M} \over {B.D.M}}\). Ta đặt B.D.M = E, A.D.M = A’, C.B.M = C’\( \Rightarrow {{A'} \over E} = {A \over {B'}}{{C'} \over E} = {C \over D}\). Vì có vô số đa thức M ≠ 0 nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phân thức đã cho. Câu 2.1 trang 25 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Hãy điền vào chỗ trống một đa thức thích hợp để được đẳng thức: a. \({{x + 5} \over {3x - 2}} = {{...} \over {x\left( {3x - 2} \right)}}\) b. \({{2x - 1} \over 4} = {{\left( {2x - 1} \right)...} \over {8x + 4}}\) c. \({{2x.\left( {...} \right)} \over {{x^2} - 4x + 4}} = {{2x} \over {x - 2}}\) d. \({{5{x^2} + 10x} \over {\left( {x - 2} \right)...}} = {{5x} \over {x - 2}}\) Giải: a. \({{x + 5} \over {3x - 2}} = {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x\left( {3x - 2} \right)}}\) b. \({{2x - 1} \over 4} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {8x + 4}}\) c. \({{2x\left( {x - 2} \right)} \over {{x^2} - 4x + 4}} = {{2x} \over {x - 2}}\) d. \({{5{x^2} + 10x} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{5x} \over {x - 2}}\) Câu 2.2 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là \({x^2} - 9\) \({{3x} \over {x + 3}}\); \({{x - 1} \over {x - 3}}\) ; \({x^2} + 9\) Giải: Ta có \({x^2} - 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\) \({{3x} \over {x + 3}} = {{3x\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{3{x^2} - 9x} \over {{x^2} - 9}}\) \(\eqalign{ & {{x - 1} \over {x - 3}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{{x^2} + 2x - 3} \over {{x^2} - 9}} \cr & {x^2} + 9 = {{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)} \over {{x^2} - 9}} = {{{x^4} - 81} \over {{x^2} - 9}} \cr} \) Câu 2.3 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân thức sau bằng nhau: a. \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\)và \({{2{x^2} + x - 1} \over {6x - 3}}\) b. \({{15x - 10} \over {3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}}\)và \({{5{x^2} - 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\) Giải: a. \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\) \( = {{{x^2} + x + 2x + 2} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{x + 1} \over 3}\) \({{2{x^2} + x - 1} \over {6x - 3}}\) \( = {{2{x^2} + 2x - x - 1} \over {3\left( {2x - 1} \right)}} = {{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)} \over {3\left( {2x - 1} \right)}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {3\left( {2x - 1} \right)}} = {{x - 1} \over 3}\) Vậy : \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\)= \({{2{x^2} + x - 1} \over {6x - 3}}\) b. \({{15x - 10} \over {3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}}\) \( = {{5\left( {3x - 2} \right)} \over {3x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}} = {{5\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right)}} = {5 \over {x + 1}}\) \({{5{x^2} - 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\) \( = {{5\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {5 \over {x + 1}}\) Vậy : \({{15x - 10} \over {3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}}\)= \({{5{x^2} - 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\) Giaibaitap.me Page 24
Câu 9 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Rút gọn các phân thức sau: a. \({{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\) b. \({{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\) c. \({{20{x^2} - 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\) d.\({{5{x^2} - 10xy} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\) e. \({{80{x^3} - 125x} \over {3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}\) f. \({{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) g. \({{32x - 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\) h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} - 1}}\) i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) Giải: a. \({{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\) \(= {{2{y^4}} \over {3x\left( {2x - 3y} \right)}}\) b. \({{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\) \( = {{ - 8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^2}\left( {3x - 1} \right)}} = {{ - 2y{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over {3x}}\) c. \({{20{x^2} - 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\) \( = {{5\left( {4{x^2} - 9} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x - 3} \right)} \over {2x + 3}}\) d. \({{5{x^2} - 10xy} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\) \( = {{ - 5x\left( {2y - x} \right)} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}} = {{ - 5x} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^2}}}\) e. \({{80{x^3} - 125x} \over {3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}\) \( = {{5x\left( {16{x^2} - 25} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {3 - 8 + 4x} \right)}} = {{5x\left( {16{x^2} - 25} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 5} \right)}} = {{5x\left( {4x + 5} \right)} \over {x - 3}}\) f. \({{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{\left( {3 + x + 5} \right)\left( {3 - x - 5} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ - \left( {8 + x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ - \left( {8 + x} \right)} \over {x + 2}}\) g. \({{32x - 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\) \( = {{2x\left( {16 - 4x + {x^2}} \right)} \over {\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)}} = {{2x} \over {x + 4}}\) h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} - 1}}\)\( = {{5x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {{5x} \over {{x^2} - 1}}\) i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{{x^2} + 2x + 3x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x + 3} \over {x + 2}}\) Câu 10 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Chứng minh các đẳng thức sau: a. \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\) b. \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {1 \over {x - y}}\) Giải: a. Biến đổi vế trái : \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)} \over {2{x^2} + 2xy - xy - {y^2}}} = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {2x\left( {x + y} \right) - y\left( {x + y} \right)}}\) \( = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} = {{y\left( {x + y} \right)} \over {2x - y}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. b. Biến đổi vế trái: \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}} \over {{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = {{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\) \( = {{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = {1 \over {x - y}}\) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. Câu 11 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho hai phân thức \({{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) , \({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất. Giải: \({{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) \( = {{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {x + 1}}\) \({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\) Câu 12 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tìm x, biết: a. \({a^2}x + x = 2{a^4} - 2\)với a là hằng số; b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\)với a là hằng số, a ≠ 0 và a ≠ −3. Giải: a. \({a^2}x + x = 2{a^4} - 2\) \(\eqalign{ & x\left( {{a^2} + 1} \right) = 2\left( {{a^4} - 1} \right) \cr & x = {{2\left( {{a^4} - 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = {{2\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = 2\left( {{a^2} - 1} \right) \cr} \) b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow ax\left( {a + 3} \right) = {a^2} - 9 \cr & x = {{{a^2} - 9} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{a - 3} \over a} \cr} \) (với a ≠ 0, a ≠ −3) Giaibaitap.me Page 25
Page 26
Câu 13 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức: a. \({{25} \over {14{x^2}y}},{{14} \over {21x{y^5}}}\) b. \({{11} \over {102{x^4}y}},{3 \over {34x{y^3}}}\) c. \({{3x + 1} \over {12x{y^4}}},{{y - 2} \over {9{x^2}{y^3}}}\) d. \({1 \over {6{x^3}{y^2}}},{{x + 1} \over {9{x^2}{y^4}}},{{x - 1} \over {4x{y^3}}}\) e. \({{3 + 2x} \over {10{x^4}y}},{5 \over {8{x^2}{y^2}}},{2 \over {3x{y^5}}}\) f. \({{4x - 4} \over {2x\left( {x + 3} \right)}},{{x - 3} \over {3x\left( {x + 1} \right)}}\) g. \({{2x} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^3}}},{{x - 2} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) h. \({5 \over {3{x^3} - 12x}},{3 \over {\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) Giải: a. MTC \( = 42{x^2}{y^5}\) \({{14} \over {21x{y^5}}} = {2 \over {3x{y^5}}}\)\( = {{2.14x} \over {3x{y^5}.14x}} = {{28x} \over {42{x^2}{y^5}}}\); \({{25} \over {14{x^2}y}} = {{25.{3y^4}} \over {14{x^2}y.{3y^4}}} = {{75{y^4}} \over {42{x^2}{y^5}}}\) b. MTC = \(102{x^4}{y^3}\) \({{11} \over {102{x^4}y}} = {{11.{y^2}} \over {102{x^4}y.{y^2}}} = {{11{y^2}} \over {102{x^4}{y^3}}}\); \({3 \over {34x{y^3}}} = {{3.3{x^3}} \over {34x{y^3}.3{x^3}}} = {{9{x^3}} \over {102{x^4}{y^3}}}\) c. MTC = \(36{x^2}{y^4}\) \({{3x + 1} \over {12x{y^4}}} = {{\left( {3x + 1} \right).3x} \over {12x{y^4}.3x}} = {{9{x^2} + 3x} \over {36{x^2}{y^4}}}\); \({{y - 2} \over {9{x^2}{y^3}}} = {{\left( {y - 2} \right).4y} \over {9{x^2}{y^3}.4y}} = {{4{y^2} - 8y} \over {36{x^2}{y^4}}}\) d. MTC = \(36{x^3}{y^4}\) \({1 \over {6{x^3}{y^2}}} = {{1.6{y^2}} \over {6{x^3}{y^2}.6{y^2}}} = {{6{y^2}} \over {36{x^3}{y^4}}}\); \({{x + 1} \over {9{x^2}{y^4}}} = {{\left( {x + 1} \right).4x} \over {9{x^2}{y^4}.4x}} = {{4{x^2} + 4x} \over {36{x^3}{y^4}}}\) \({{x - 1} \over {4x{y^3}}} = {{\left( {x - 1} \right).9{x^2}y} \over {4x{y^3}.9{x^2}y}} = {{9{x^3}y - 9{x^2}y} \over {36{x^3}{y^4}}}\) e. MTC = \(120{x^4}{y^5}\) \({{3 + 2x} \over {10{x^4}y}} = {{\left( {3 + 2x} \right).12{y^4}} \over {10{x^4}y.12{y^4}}} = {{36{y^4} + 24x{y^4}} \over {120{x^4}{y^5}}}\) \({5 \over {8{x^2}{y^2}}} = {{5.15{x^2}{y^3}} \over {8{x^2}{y^2}.15{x^2}{y^3}}} = {{75{x^2}{y^3}} \over {120{x^4}{y^5}}}\) \({2 \over {3x{y^5}}} = {{2.40{x^3}} \over {3x{y^5}.40{x^3}}} = {{80{x^3}} \over {120{x^4}{y^5}}}\) f. MTC = \(3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\) Vì \({{4x - 4} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} = {{2\left( {x - 1} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\) \({{4x - 4} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} = {{2\left( {x - 1} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2\left( {x - 1} \right).3\left( {x + 1} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right).3\left( {x + 1} \right)}} = {{6\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \({{x - 3} \over {3x\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{{x^2} - 9} \over {3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) g. MTC = \(2x{\left( {x + 2} \right)^3}\) \({{2x} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = {{2x.2x} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = {{4{x^2}} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\) \({{x - 2} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} - 4} \over {2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\) h. \(3{x^3} - 12x = 3x\left( {{x^2} - 4} \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\) \(\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) MTC = \(6x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) \(\eqalign{ & {5 \over {3{x^3} - 12x}} = {5 \over {3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{5.2\left( {x + 3} \right)} \over {3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).2\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{10\left( {x + 3} \right)} \over {6x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr & {3 \over {\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {3 \over {2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{3.3x\left( {x - 2} \right)} \over {2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right).3x\left( {x - 2} \right)}} \cr & = {{9x\left( {x - 2} \right)} \over {6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr} \) Câu 14 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức: a. \({{7x - 1} \over {2{x^2} + 6x}},{{5 - 3x} \over {{x^2} - 9}}\) b. \({{x + 1} \over {x - {x^2}}},{{x + 2} \over {2 - 4x + 2{x^2}}}\) c. \({{4{x^2} - 3x + 5} \over {{x^3} - 1}},{{2x} \over {{x^2} + x + 1}},{6 \over {x - 1}}\) d. \({7 \over {5x}},{4 \over {x - 2y}},{{x - y} \over {8{y^2} - 2{x^2}}}\) e. \({{5{x^2}} \over {{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}},{{4x} \over {{x^2} + 4x + 4}},{3 \over {2x + 4}}\) Giải: a. \(2{x^2} + 6x = 2x\left( {x + 3} \right);{x^2} - 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\) MTC = \(2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\) \(\eqalign{ & {{7x - 1} \over {2{x^2} + 6x}} = {{7x - 1} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {7x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cr & {{5 - 3x} \over {{x^2} - 9}} = {{5 - 3x} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{2x\left( {5 - 3x} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cr} \) b. \(x - {x^2} = x\left( {1 - x} \right)\); \(2 - 4x + 2{x^2} = 2\left( {1 - 2x + {x^2}} \right) = 2{\left( {1 - x} \right)^2}\) MTC = \(2x{\left( {1 - x} \right)^2}\) \(\eqalign{ & {{x + 1} \over {x - {x^2}}} = {{x + 1} \over {x\left( {1 - x} \right)}} = {{\left( {x + 1} \right).2\left( {1 - x} \right)} \over {x\left( {1 - x} \right).2\left( {1 - x} \right)}} = {{2{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \over {2x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} \cr & {{x + 2} \over {2 - 4x + 2{x^2}}} = {{x + 2} \over {2{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = {{\left( {x + 2} \right).x} \over {2x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} \cr} \) c. \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) MTC = \({x^3} - 1\) \({{4{x^2} - 3x + 5} \over {{x^3} - 1}}\); \(\eqalign{ & {{2x} \over {{x^2} + x + 1}} = {{2x\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{2x\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr & {6 \over {x - 1}} = {{6\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{6\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr} \) d. \(8{y^2} - 2{x^2} = 2\left( {4{y^2} - {x^2}} \right) = 2\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)\) MTC = \(10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)\) \(\eqalign{ & {7 \over {5x}} = {{7.2\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)} \over {5x.2\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)}} = {{14\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)} \over {10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)}} \cr & {4 \over {x - 2y}} = {{ - 4} \over {2y - x}} = {{ - 4.10x\left( {2y + x} \right)} \over {\left( {2y - x} \right).10x\left( {2y + x} \right)}} = {{ - 40x\left( {2y + x} \right)} \over {10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)}} \cr & {{x - y} \over {8{y^2} - 2{x^2}}} = {{x - y} \over {2\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)}} = {{\left( {x - y} \right).5x} \over {2\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right).5x}} \cr & = {{5x\left( {x - y} \right)} \over {10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)}} \cr} \) e. \(\eqalign{ & {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {x^3} + 3{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3} \cr & {x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2};2x + 4 = 2\left( {x + 2} \right) \cr} \) MTC =\(2{\left( {x + 2} \right)^3}\) \(\eqalign{ & {{5{x^2}} \over {{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}} = {{5{x^2}} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = {{5{x^2}.2} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^3}.2}} = {{10{x^2}} \over {2{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} \cr & {{4x} \over {{x^2} + 4x + 4}} = {{4x} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{4x.2\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}.2\left( {x + 2} \right)}} = {{8x\left( {x + 2} \right)} \over {2{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} \cr & {3 \over {2x + 4}} = {3 \over {2\left( {x + 2} \right)}} = {{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2\left( {x + 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} \cr} \) Câu 15 trang 28 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho đa thức B \( = 2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\) và hai phân thức \({x \over {2{x^2} + 7x - 15}}\), \({{x + 2} \over {{x^2} + 3x - 10}}\) a. Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho. b. Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho. Giải:
b. MTC = \(2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\) \(\eqalign{ & {x \over {2{x^2} + 7x - 15}} = {{x\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {2{x^2} + 7x - 15} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{{x^2} - 2x} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}} \cr & {{x + 2} \over {{x^2} + 3x - 10}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)} \over {\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}} \cr} \) Câu 16 trang 28 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Cho hai phân thức \({1 \over {{x^2} + 7x - 15}}\) và \({2 \over {{x^2} - 2x - 3}}\) Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức \({x^3} - 7{x^2} + 7x + 15\) làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức. Giải:
Suy ra: \({x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 4x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)  Suy ra: \({x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\) \(\eqalign{ & {1 \over {{x^2} - 4x - 5}} = {{1.\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {{x^2} - 4x - 5} \right).\left( {x - 3} \right)}} = {{x - 3} \over {{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}} \cr & {2 \over {{x^2} - 2x - 3}} = {{2.\left( {x - 5} \right)} \over {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{2\left( {x - 5} \right)} \over {{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}} \cr} \) Giaibaitap.me |
