Phương trình bậc 3 là một trong những kiến thức đại số toán học quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi và có tính ứng dụng cao trong chương khảo sát hàm số. Đây là một trong những phương trình nâng cao, có khá nhiều cách giải khác nhau. Ở bài viết dưới đây, hãy cùng Vieclam123.vn tìm hiểu cách giải phương trình bậc ba và một số phương pháp học kiến thức này một cách nhanh chóng hiệu quả. Show
Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết về cách giải, chúng ta cần biết được phương trình bậc 3 là gì? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng \(ax^3+ bx^2+ cx +d =0\) Với a khác 0 2. Cách giải phương trình bậc 32.1. Giải phương trình bậc 3 tổng quátSo với phương trình bậc hai, cách thức giải và công thức nghiệm của phương trình bậc 3 phức tạp hơn nhiều. Bước đầu tiên, các bạn có thể tính qua một đại lượng Delta và áp dụng công thức nghiệm tổng quát. Cách làm này được áp dụng phổ biến trong giải phương trình bậc ba dạng cơ bản, và được sử dụng rộng rãi trong chương trình học phổ thông. Công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tùy thuộc vào giá trị của Dela 2.2. Giải phương trình bậc 3 thường gặpTrong trường hợp phương trình bậc 3 có a= 1, các bạn có thể áp dụng phương pháp giải như sau: Sau khi tìm ra giá trị u, v, bạn có thể dễ dàng tìm được ẩn x Công thức nghiệm này phức tạp hơn so với công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tổng quát và chỉ được áp dụng khi a=1. Các bạn cần phải chú ý để tránh nhầm lẫn. 2.3. Giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túiCác bạn có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi để phục vụ cho các bài toán trắc nghiệm. Hiện nay, chương trình thi THPT Quốc gia đã được áp dụng hình thức thi trắc nghiệm, cách thức nhẩm nghiệm này sẽ giúp bạn tìm rất nhanh được nghiệm đúng của phương trình. Với phương trình có dạng tổng quát như trên, bạn nhần lần lượt các phím mode, 5, 4 rồi lần lượt nhấn giá trị a,b,c,d. Lưu ý sau khi nhập giá trị cần phải nhấn dấu bằng. Trường những phương trình có nghiệm nguyên, bạn có thể dễ dàng đưa về phương trình bậc hai và xử lý theo công thức phương trình bậc hai rất đơn giản và nhanh chóng Ngoài những cách giải trên, các bạn có thể áp dụng một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ,lượng giác hóa phương trình… tùy theo từng dạng bài khác nhau. 3. Phương pháp học cách giải phương trình bậc 3 Phương trình bậc 3 là một trong những dạng phương trình khó và có thể áp dụng nhiều cách giải linh hoạt. Để học tốt được kiến thức này, các bạn cần phải thường xuyên luyện tập và làm bài tập để rèn luyện kỹ năng. Khi đã quen với các dạng bài, các bạn có thể gỡ nút bài toán rất dễ dàng. Đặc biệt hiện nay, các em học sinh đều được trang bị rất nhiều máy tính hiện đại để học tập, việc nhẩm nghiệm càng trở nên nhanh chóng hơn, các bài toán giải phương trình nói chung và phương trình bậc ba nói riêng trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Môn Toán đòi hỏi các bạn phải liên tục đào sâu suy nghĩ, tư duy. Bài tập giải phương trình bậc 3 là một trong những dạng bài rèn luyện tư duy khá tốt, luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn xử lý bài toán một cách nhanh gọn. Các bạn có thể tìm hiểu một số sách nâng cao liên quan đến giải phương trình bậc 3, hoặc tìm kiếm các bài tập qua mạng. Khi đi học phụ đạo, hầu hết các thầy cô cũng cung cấp cho các bạn rất nhiều dạng bài tập để có thể học phần hành này tốt nhất. Chỉ cần hoàn thành tất cả các bài tập được giao, bạn sẽ trở nên thành thạo và quen thuộc với tất cả cách giải phương trình bậc 3. 4. Bài tập áp dụng cách giải phương trình bậc 3Có rất nhiều dạng bài khác nhau trong phạm vi kiến thức phương trình bậc 3 Các bạn có thể tham khảo tại một số trang đề thi trực tuyến như Violet hoặc cập nhật tài liệu online thường xuyên từ các thầy cô dạy Toán. Dưới đây là một số bài tập mình họa Vieclam123.vn sưu tầm để các bạn tham khảo. Môn Toán học đòi hỏi chúng ta phải thực sự kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu, đào sâu vấn đề. Khi mới bắt đầu làm quen với những cách phương trình bậc 3, các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bằng cách luyện tập thật chăm chỉ và tập trung nghiên cứu, bạn sẽ sớm chinh phục được mảng kiến thức này. Trên đây là một số chia sẻ của vieclam123.vn về cách giải phương trình bậc 3. Hy vọng có thể mang lại những thông tin hữu ích cho những bạn đang có nhu cầu nghiên cứu về mảng kiến thức này. >> Xem thêm:
Cách giải phương trình bậc 3 sẽ được đề cập chi tiết trong bài viết này. Như chúng ta đã biết, khác hoàn toàn với phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đã được giới thiệu từ trước. Thì phương trình bậc ba có khá nhiều điểm khác như số nghiệm và cả về độ đẹp của các nghiệm nữa. Tùy vào các hệ số mà ta có những phương pháp khác nhau. Đang xem: Bài tập về phương trình bậc 3 TẢI XUỐNG ↓ Phương pháp tổng quátBất kể loại phương trình nào đều có phương pháp riêng để tiến hành giải. Hay còn gọi là những công thức tổng quát. Riêng phương trình bậc ba chúng ta sẽ tìm hiểu thông qua 3 hướng tiếp cận dựa vào mối liên hệ giữa các hệ số như sau: Phương pháp phân tích thành nhân tửĐây là phương pháp khá đơn giản tuy nhiên điều kiện của phương trình phải là có nghiệm đẹp. Nghiệm đẹp ở đây có thể là số nguyên hoặc là phân số. Sau khi tìm được nhân tử chung thứ nhất thì việc còn lại chỉ là giải một phương trình bậc hai vô cùng đơn giản Khi một phương trình bậc 3 có nghiệm thì chắc chắn nó sẽ xuất hiện nhân tử . Sau khi tìm được nghiệm chung, ta tiến hành phân tích thành nhân tử qua các bước sau: Bước 1: Tìm nghiệm đơn giản của phương trình. Đối với các bài toán này thường có nghiệm khá đơn giản như 0,1,2,3. Nếu phức tạp hơn một tí thì có thể dùng máy tính casio để nhẩm nghiệm với chức năng solve. Xem thêm: Hình Ảnh Tô Màu Đồ Dùng Giáo Án Tô Màu Đồ Dùng Học Tập, Vẽ Và Tô Màu Đồ Dùng Học Tập Bước 2: Sau khi có nghiệm, ta tiến hành phép phân tích phân tử bằng cách chia tách các hệ số, sơ đồ hoocne hoặc phương pháp đồng nhất thức đều được cả. Xem thêm: Diện Tích Cơ Sở 3 Đại Học Công Nghiệp Hà Nội, Đại Học Công Nghiệp Hà Nội Cs3 Phương pháp CardanoPhương pháp thiên về việc đặt ẩn phụ và khá phức tạp. Tuy nhiên lợi thế của phương pháp này là giải quyết hầu hết các bài tập phương trình bậc ba mà không cần quan tâm đến hệ số cũng như kết quả nghiệm xấu hay là đẹp. Đây là phương pháp giải được cho là tổng quát nhất và cũng khá là phức tạp: Xét phương trình bậc 3: <{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0> (1) Đặt thì phương trình (1) luôn biến đổi về dạng chính tắc là <{{y}^{3}}+py+q=0> trong đó: Trường hợp này ta chỉ xét còn trường hợp bằng 0 thì sẽ đưa về dạng đơn giản hơn rất nhiều.  Nguyễn Tấn Linh Giảng Viên “Website được tạo ra với mục đích chia sẻ tài liệu các môn học, phục vụ cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập, giảng dạy. Mang sứ mệnh tạo nên một thư viện tài liệu đầy đủ nhất, có ích nhất và hoàn toàn miễn phí. +) Các tài liệu theo chuyên đề +) Các đề thi của các trường THPT, THCS trên cả nước +) Các giáo án tiêu biểu của các thầy cô +) Các tin tức liên quan đến các kì thi chuyển cấp, thi đại học. +) Tra cứu điểm thi THPT quốc gia +) Tra cứu điểm thi vào lớp 10, thi chuyển cấp” Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình
Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình Cách giải: - Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).f(x) - Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - x 0). - Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x 0). (ax2 + Bx + C) = 0 Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).(ax2 + Bx + C) Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình Giải Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0 Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho (x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia: Vậy x3 + x2 – 12 = (x – 2).( x2 + 3x + 6) Xét phương trình: x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Xét phương trình: x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32 - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (x - 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 + TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình (**) có ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**) + TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được: Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0 Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = -1, x = 2 Suy ra m = -1 thỏa mãn Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình Giải Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia Vậy 2x3 + x2 – 13x + 6 = (x + 3).(2x2 - 5x + 2) Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3 Xét phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2 - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: Đáp án là D Câu 2: Tìm m để phương trình (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1 Vậy với thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt Đáp án là B Câu 3: Tìm m để phương trình (2x - 1)(x2 – mx + 3m - 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm A. 1 < m < 8 B. 2 < m < 10 C. m = 4 D. m = 0 Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm + TH1: phương trình (**) có nghiệm kép Thay vào phương trình (**) ta được: + TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm Đáp án là B Câu 4: Tìm m để phương trình (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3 A. m = 1 B. m = 6 C. Không tồn tại m D. m = 0 Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1 Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3 = -2m Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2 m = -2 không thỏa mãn điều kiện nên loại Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài Đáp án là C Câu 5: Tìm m để phương trình (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4 A. m = 1 B. m = 1, m = 2 C. m = 2 D. m = 0 Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2 Điều này xảy ra Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2. x3 = m2 - 3m Tích các nghiệm của phương trình (1) là: Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra Đáp án đúng là B Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình (x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C A. -5 B. -4 C. -6 D. -3 Giải Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4x2 + x + 6 cho x – 3 Vậy x3 - 4x2 + x + 6 = (x - 3).(x2 - x - 2) Suy ra phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x2 - x - 2) = 0 Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3 Đáp án D Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 Giải Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5x2 - 2x + 24 cho x – 4 Vậy x3 - 5x2 - 2x + 24 = (x - 4).(x2 - x - 6) Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình x2 - x – 6 = 0 Phương trình này có Δ = (-1)2 - 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là Đáp án A Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp |
