Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ. A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m Bạn đang xem: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m – Toán 9 chuyên đề • Giải phương trình bậc 2 dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac – Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm. > Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn (tức b = 2b’) ta có thể tính biệt thức Δ’ để giải biện luận phương trình. Δ’ = b’2 – ac Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm. • Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m Xét các trường hợp của hệ số a: + Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất. + Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau: – Bước 1: Tính biệt thức delta (hoặc Δ’) – Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số – Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m * Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: x2 – 2(3m – 1)x + 9m2 – 6m – 8 = 0 (*) * Lời giải: Để ý phương trình (*) có các hệ số: a = 1; b = 2(3m – 1) và c = 9m2 – 6m – 8 Vì vậy ta tính biệt số Δ’, ta có: Δ’ = b’2 – ac = (3m – 1)2 – 1.(9m2 – 6m – 8) = 9m2 – 6m + 1 – 9m2 + 6m + 8 = 9 > 0 Suy ra: Nên sao có 2 nghiệm phân biệt:
→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt (*) luông có 2 nghiệm phân biệt. * Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m: 3x2 – mx + m2 = 0 * Lời giải: Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m2 Tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac = (-m)2 – 4.3.m2 = m2 – 12m2 = -11m2 ≤ 0 (với mọi m) + Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m2 = 0 ⇔ m = 0 Phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 = 0 + Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m2 < 0 ⇔ m ≠ 0 Phươn trình (*) vô nghiệm. → Kết luận: Với m = 0 pt (*) có nghiệm kép x = 0 Với m ≠ 0 pt (*) vô nghiệm * Bài tập 3: Cho phương trình mx2 – 2(m – 1)x + (m + 1) = 0 (*) với m là tham số. a) Giải phương trình với m = -2. b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm. * Lời giải: a) Với m = -2, pt (*) trở thành: -2x2 – 2(-2 – 1)x + (-2 + 1) = 0 ⇔ -2x2 + 6x – 1 = 0 ⇔ 2x2 – 6x + 1 = 0 Tính biệt số delta (các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé): Δ = b2 – 4ac = (-6)2 – 4(2.1) = 36 – 8 = 28 > 0 Suy ra Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi: Δ’ = b’2 – ac = (m – 1)2 – m(m + 1) = m2 – 2m + 1 – m2 – m = -3m + 1 Δ’ > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m <1/3 Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm khi chỉ khi: c) Với m = 0: Pt(*) có dạng pt bậc nhất một ẩn: 2x + 1 = 0. Khi đó pt có nghiệm duy nhất x = -1/2 Với m ≠ 0: pt(*) là pt bậc 2 một ẩn, có 1 nghiệm khi Δ’ = 0 ⇔ -3m + 1 = 0 ⇔ m = 1/3 Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi m = 0 hoặc m = 1/3. * Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau: (m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 (*) * Lời giải: Để ý pt(*) có các hệ số: a = (m – 1); b = (-2m); c = (m + 2) + Xét trường hợp a = 0, nghĩa là (m – 1) = 0 tức m = 1, ta có: pt(*) trở thành: -2x + 3 = 0 ⇒ x = 3/2. + Xét trường hợp a ≠ 0 (m – 1 ≠ 0) tức m ≠ 1, ta có: Δ’ = m2 – (m – 1).(m + 2) = m2 – (m2 + 2m – m – 2) = m2 – m2 – m + 2 = -m + 2 – Nếu Δ’ > 0 ⇔ -m + 2 > 0 ⇔ m < 2 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
– Nếu Δ’ = 0 ⇔ -m + 2 = 0 ⇔ m = 2 thì pt có nghiệp kép:
– Nếu Δ’ < 0 ⇔ -m + 2 < 0 ⇔ m > 2 thì pt vô nghiệm → Kết luận: Với m = 1 hoặc m = 2 phương trình (*) có nghiệm duy nhất. Với m < 2 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt Với m > 2 phương trình (*) vô nghiệm * Bài tập 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số k: a) (k – 1)x2 + 3kx + 2k + 1 = 0 b) kx2 + 2k2x + 1 = 0 * Bài tập 6: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) x2 – 2(m – 4)x + m2 = 0 b) (2m – 7)x2 + 2(2m + 5)x – 14m + 1 = 0 Hy vọng với bài viết Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để THPT Sóc Trăngghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt. Đăng bởi: THPT Sóc Trăng Chuyên mục: Giáo Dục |