Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
Sách giải toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 107: Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung ? Lời giải Nếu đường thẳng và đường tròn có nhiều hơn hai điểm chung thì khi đó đường tròn sẽ đi qua ít nhất ba điểm thẳng hàng. Điều này vô lí. Vậy một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 108: Hãy chứng minh khẳng định trên. Lời giải OH là một phần đường kính vuông góc với AB ⇒ H là trung điểm của AB ⇒ HA = HB Xét tam giác OHB vuông tại H có: Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 109: Cho đường thẳng a và có một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm. a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O) ? Vì sao ? b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC. Lời giải a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt, vì khoảng cách d < R b) Xét tam giác OHC vuông tại H có:
Bài 17 (trang 109 SGK Toán 9 Tập 1): Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
Lời giải: Từ hệ thức giữa d và R ta có bảng:
Bài 18 (trang 110 SGK Toán 9 Tập 1): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.Lời giải: Kẻ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy. Vì AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau. Vì AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau. Bài 19 (trang 110 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?Lời giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy. Ta có: R = 1, và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy nên ta có: d = R, suy ra d = 1. => Tâm O cách đường thẳng xy một khoảng cố định 1cm nên nằm trên các đường thẳng (a) và (b) song song với xy và cách xy một khoảng là 1cm. Bài 20 (trang 110 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.Lời giải:
Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAB có:
Đường thẳng và đường tròn có ba vị trí nói nên sự giao cắt giữa đường thẳng và đường tròn...........
Đường thẳng và đường tròn có ba vị trí nói nên sự giao cắt giữa đường thẳng và đường tròn...........
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn I . lí thuyết : 1 . Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Khi một đường thẳng a và đường tròn (O;R) có hai điểm chung ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O;R). Khi đó: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a thì OH là khoảng cách từ O đến a. 2 . Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) có một điểm chung tại C ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm C gọi là tiếp điểm và OC chính là khoảng cách từ O đến a. Khi đó OH = R. Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 3 . Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau. 4 . Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng và bán kính của đường tròn. Cho đường thẳng a và (O;R). Đặt OH = d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Khi đó: - d < R < = > Đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) hay đường tròn và đường thẳng có 2 điểm chung. - d = R < = > Đường thẳng a có 1 điểm chung với (O;R) ( hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R)). - d > R < = > Đường thẳng a không có điểm chung nào với đường tròn (O;R). II . Bài toán ví dụ : Bài toán 1 : Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn (O;5cm). a, Đường thẳng a có vị trí như thế nào vời đường tròn (O)? Vì sao ? b, Gọi A và B là các giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng a. Tính độ dài AB? Giải b, Xét \[\Delta BOH\,\,\,(\widehat{H}=90{}^\circ )\]theo định lí Pytago Ta có : \[O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Rightarrow HB=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4(cm)\] Mà \[OH\bot AB\] \[\Rightarrow AB=2.HB=2.4=8(cm)\] Bài toán 2: Cho hình thang vuông ABCD \[(\widehat{A}=\widehat{D}=90{}^\circ )\], AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm. a, Tính độ dài AD; b, Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đưuòngn tròn có đường kính BC. Giải Từ B vẽ \[BH\bot CD\,\,(H\in CD)\] Ta có DH = AB = 4cm => CH = 9 – 4 = 5cm Theo đinhj lí Pytago có : \[HB=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=12(cm)\] => AD = 12cm. b, Gọi I là trung điểm của BC Đường tròn đường kính BC có bán kính \[R=\frac{1}{2}BC=6,5(cm)\] Kẻ \[IK\bot AD\]. Khoảng cách từ I đến AD bằng IK, ta có: Do d = R nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD. III . Bài tập tự luyện : Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a, Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn ( gọi tâm của nó là O). b, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAB = 30°. Trên tia đối của BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng : a, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O); b, \[M{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}\]. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E. a, Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn. b, Tính độ dài HE. Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại điểm C. a, Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn. b, Cho bán kính của dường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC? Bài 5: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. a, Tứ giác OCAB là hình gì ? Tại sao? b, Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. c, Tính độ dài BE theo R. Bài 6 : Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AB, AC ( B,C là các tiếp điểm ) và đường kính BOD của đường tròn (O). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt AC tại E. Chứng minh: a, \[\Delta ABO=\Delta ACO\]; b, OE là tia phân giác của COD; c, ED là tiếp tuyến của (O). Bài viết gợi ý: |