4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, không thuần nhất hệ số hàm số: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thần nhất, hệ số hàm là phương trình có dạng: (4.1), trong đó là những hàm số liên tục trên [a;b]. Để giải phương trình này, theo mục 3.5 ở trên ta cần 2 bước: – Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất – Bước 2: Tììm 1 nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. 4.1: Giải phương trình thuần nhất: (4.1.1) Dạng phương trình này cho đến nay vẫn chưa có cách giải tổng quát mà chỉ có thể giải được nếu như ta biết trước 1 nghiệm riêng Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với bằng công thức Liouville (công thức 3.5.4) ở trên. Ta có: Chia hai vế cho (4.1.2) ta có: (4.1.3) Quan sát vế trái ta thấy vế trái chính là đạo hàm của . Vậy: (4.1.4) Do đó, lấy tích phân hai vế ta có: (4.1.5) Vậy: (4.1.6) Từ (4.1.6) ta dễ dàng nhận thấy độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.1.1) là 4.2 Một số ví dụ:
Do pt (4.2.1) có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc hai nên nghiệm riêng có dạng: Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: b = 0 , a, c tùy ý . Vậy nghiệm riêng Bây giờ, ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với dụa vào công thức (4.1.5) Ta có: Hay: Vậy nghiệm tổng quát của pt (4.2.1) là:
Trường hợp thì từ pt ta có: Giả sử : Do là 1 nghiệm riêng của (4.2.2) nên nghiệm riêng độc lập tuyến tính với được xác định bởi:
Hay: trong đó nên Vậy: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2) là:
4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất (4.1): Phương pháp biến thiên hằng số (method of variation of parameters): Cho phương trình và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát: Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng có dạng: Nói cách khác, ta cần tìm u(x), v(x) để y* là 1 nghiệm riêng của (4.1) Ta có: (4.3.1) Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là nên không thể giải được. Do vậy, ta cần tìm u(x), v(x) sao cho biểu thức (4.3.1) có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết. Vì vậy, ta sẽ chọn u(x), v(x) sao cho: (4.3.2) Khi đó, từ biểu thức (4.3.1) ta có: (4.3.3) Lấy đạo hàm biểu thức (4.3.3) ta có: (4.3.4) Thế (4.3.4) và (4.3.3) vào pt(4.1) và chú ý là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có: (4.3.5) Từ (4.3.2) và (4.3.5) ta có u(x), v(x) là nghiệm của hpt: (I) Do là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo (3.5) và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt (I) có duy nhất nghiệm u'(x) , v'(x). Vậy ta tìm được u(x), v(x). Do đó tìm được nghiệm riêng y*. Vậy bài toán đã được giải quyết. 4.4 Một số ví dụ: Ví dụ 1: Biết rằng các hàm tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (4.4.1) Giải Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất (4.4.1) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Muốn vậy, trước tiên ta phải chuyển phương trình về dạng , nghĩa là phải chia 2 vế cho x. Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình (4.4.1). Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy. Cách chính quy: nghiệm riêng y* của (4.4.1) có dạng
trong đó u(x), v(x) là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta được: Bằng cách tích phân từng phần ta có: Vậy ta nhận được nghiệm riêng của phương trình (4.4.1) là:
Suy ra, nghiệm tổng quát của phương trình (4.4.1) có dạng:
|
