Vecto riêng của ma trận là gì

Chương 1. Giá trị riêng và vector riêng – Dạng chuẩn tắc Jordan

Chương 1. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG. DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN.

_______________________________________________________________

I. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG

1.1 Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận:

1.1.1 Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Một số được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không , sao cho . Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng .

1.1.2 Ví dụ:

Cho ma trận

Ta có:

Và

Kết luận: u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng – 7, còn v không là vectơ riêng của ma trận A vì không tồn tại một số thực k nào thỏa Av = kv.

1.1.3 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường.

Chứng minh:

Giả sử là một giá trị riêng của ma trận A. Khi đó, tồn tại một vectơ khác không sao cho , suy ra hay u chính là nghiệm của phương trình thuần nhất . Vậy phương trình nhất có nghiệm không tầm thường.

Ngược lại, nếu phương trình có nghiệm không tầm thường thì hay nên u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng .

Ví dụ:

Cho ma trận vuông và

Chứng tỏ rằng là một giá trị riêng của ma trận B và hãy tìm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng .
Tìm vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng

Giải:

Xét ma trận . Vì det(B - I3) = 0 nên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (B - I3)x = 0 (1) có nghiệm không tầm thường.

Giải hệ phương trình (1):

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào x3.

Chọn , khi đó là các vectơ riêng của B ứng với giá trị riêng với .

Xét ma trận . Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A – 3I2)x = 0

Ta có

Do đó nếu chọn thì u là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng .

1.1.4 Hệ quả: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, 0 là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch.

Chứng minh:

Ta có 0 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu phương trình có nghiệm không tầm thường. Ta đã biết phương trình Ax = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma trận A không khả nghịch. Do đó 0 là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch.

1.1.5 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Giả sử là các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng của ma trận A, khi đó tập độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

Giả sử phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại chỉ số s nhỏ nhất sao cho khác 0 là một tổ hợp tuyến tính của các vector độc lập tuyến tính nghĩa là tồn tại sao cho: .

Do là vector riêng của A ứng với giá trị riêng nên với mọi i = 1, 2, …, s.

Từ đó ta có . Suy ra,

Vì tập độc lập tuyến tính nên do đó với mọi i = 1, 2, …, s. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với khác 0. Vậy tập độc lập tuyến tính.

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K và là giá trị riêng của A. Tập tất cả các nghiệm của phương trình được gọi là không gian vector riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng và ký hiệu là .

Vậy không gian vector riêng bao gồm vector không và tất cả các vector riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng .

1.1.6 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K và là giá trị riêng của A. Khi đó, không gian vector riêng là một không gian vector con của .

Chứng minh:

Do vector 0 thuộc nên khác rỗng. Nếu thì và . Do đó, và .Vậy u + v và ku đều thuộc với mọi . Vậy là một không gian vector con của .

Ví dụ:

Ma trận có các giá trị riêng là . Không gian vector riêng và của ma trận A là:

và . Ta có và lần lượt là cơ sở của và . Do độc lập tuyến tính nên lập thành một cơ sở của

Ma trận có các giá trị riêng là . Không gian vector riêng ứng với giá trị riêng . Không gian này có số chiều bằng 1 và có cơ sở gồm một vector . Không gian vector riêng ứng với giá trị riêng và có số chiều bằng 2 với cơ sở gồm hai vector . Nhận thấy độc lập tuyến tính nên là cơ sở của .

1.2. Đa thức đặc trưng

1.2.1 Định nghĩa: Cho là ma trận vuông cấp n trên K. Xét ma trận vuông

Đa thức được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Phương trình được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

1.2.2 Ví dụ:

Đa thức đặc trưng của ma trận là
Đa thức đặc trưng của ma trận là
Đa thức đặc trưng của ma trận là

1.2.3 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng .

Chứng minh: là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Mặt khác hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hay . Vậy là nghiệm của phương trình đặc trưng.

Nhận xét:

- Muốn xác định các giá trị riêng của ma trận vuông A ta chỉ cần giải phương trình đặc trưng . Nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng cần tìm.

- Muốn tìm vector riêng của ma trận A chỉ việc xác định các giá trị riêng của ma trận A rồi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . Nghiệm khác không của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này chính là các vector riêng của A ứng với giá trị riêng . Từ đây ta cũng xác định các không gian vector riêng .

- Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm trong K thì ma trận A sẽ không có các giá trị riêng và vector riêng.

1.2.4 Ví dụ:

Xác định các giá trị riêng và vector riêng của ma trận

Giải
Đa thức đặc trưng của ma trận A là . Giải phương trình đặc trưng được hai nghiệm là t = 3 và t = - 7. Do đó, ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt là và .

Với các vector riêng của A ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ pt tuyến tính thuần nhất hay

Do đó, là vector riêng của A ứng với các giá trị riêng với . Không gian vector riêng ứng với giá trị riêng . Không gian này có số chiều bằng 1 và vector là một cơ sở.

Thực hiện các bước tương tự ta cũng xác định được là vector riêng ứng với giá trị riêng trong đó . Không gian vector riêng ứng với giá trị riêng . Không gian này có số chiều bằng 1 và vector làm vector cơ sở.

Cho ma trận . Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của ma trận B.

Sinh viên tự làm như là bài tập nhỏ.

Cho ma trận . Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của ma trận C trong và trong

Giải:

Đa thức đặc trưng của ma trận C là . Phương trình đặc trưng không có nghiệm trong , nhưng lại có nghiệm i và – i trong . Do đó, nếu thì ma trận A không có giá trị riêng nào. Nếu thì ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt là . Khi đó có các vector riêng ứng với các giá trị riêng lần lượt là và với .

1.2.5 Định lý: Mọi ma trận vuông A trên trường số phức đều có giá trị riêng.

Chứng minh:

Đa thức đặc trưng của ma trận A là . Theo định lý cơ bản của đại số thì phương trình đặc trưng luôn có nghiệm trong trường số phức. Giá trị chính là giá trị riêng của ma trận A.

1.2.6 Định nghĩa: Giả sử A và B là các ma trận vuông cấp n trên K. Ta nói rằng A và B là hai ma trận đồng dạng nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho và ký hiệu là .

1.2.7 Ví dụ:

Cho hai ma trận và . Xét ma trận .

Vì det P = -10 nên P khả nghịch và . Ta có:

Do đó A và B là hai ma trận đồng dạng.

Gọi ma trận và rõ ràng P khả nghịch. Ta có

và

Vậy AP = PB nên , từ đó hai ma trận A và B là đồng dạng.

1.2.8 Mệnh đề: Quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương trên

Chứng minh:

Quan hệ này thỏa các tính chất sau:

Phản xạ: Do khả nghịch và nên
Đối xứng: Nếu thì tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho , suy ra . Ma trận khả nghịch nên . Do đó,
Bắc cầu: Nếu và thì tồn tại các ma trận khả nghịch P và Q sao cho và .

Do đó ma trận khả nghịch và . Do đó ■

1.2.9 Định lý: Nếu A và B là hai ma trận đồng dạng thì .

Chú ý: Mệnh đề đảo của Định lý 1.2.9 nói chung không đúng, nghĩa là hai ma trận có cùng đa thức đặc trưng chưa hẳn là đồng dạng.

Ví dụ: Xét hai ma trận sau:

và

Nhận thấy A và B có cùng đa thức đặc trưng . Tuy nhiên A và B không đồng dạng. Thật vậy, nếu A và B đồng dạng thì tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho suy ra . Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy A và B không đồng dạng.

1.2.10 Định lý: (Định lý Caley-Halmilton) Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng hay .

Chứng minh:

Giả sử và đa thức đặc trưng của A là

. Gọi B là ma trận phụ hợp của ma trận . Khi đó phần tử dòng i cột j của B là phần bù đại số của phần tử dòng i cột j trong ma trận nên là một đa thức với bậc không vượt quá n-1. Vì thế ta có thể viết ma trận B được dưới dạng với là các hằng ma trận vuông cấp n.

Ta có đẳng thức: (*)

Do đó:

Khai triển rút gọn và đồng nhất hệ tử hai vế theo định nghĩa đa thức bằng nhau ta có:

Nhân bên trái hai vế của đẳng thức (k) với ma trận , rồi cộng tất cả theo vế ta có, , hay f (A) = 0.■

1.3.1 Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận đường chéo.

Nhận xét: Ma trận vuông A chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P và một ma trận đường chéo D để .

1.3.2 Ví dụ:

Ma trận chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo thỏa mãn .
Ma trận chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D lần lượt là:

và thỏa mãn .

1.3.3 Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó A chéo hóa được nếu và chỉ nếu A có n vector riêng độc lập tuyến tính. Hơn nữa, nếu với D là ma trận chéo thì các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của ma trận A và các cột của ma trận P là các vector riêng tương ứng.

Chứng minh: Nếu P là ma trận vuông cấp n với các cột và D là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng thì

(1)

Và (2)

Vì A chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho . Nhân bên phải hai vế đẳng thức này cho P ta được .

Từ (1) và (2) suy ra (3)

Khi đó các cột tương ứng phải bằng nhau tức là:

. (4)

Vì ma trận P khả nghịch nên các cột phải độc lập tuyến tính. Từ (4) suy ra các là các giá trị riêng và là các vector riêng tương ứng với từng giá trị riêng đó.

Ngược lại nếu là các vector riêng của ma trận A độc lập tuyến tính tương ứng với các giá trị riêng . Đặt và

Khi đó từ (1) (2) và (3) ta suy ra AP = PD. Do các vector riêng độc lập tuyến tính nên ma trận P khả nghịch suy ra tồn tại . Nhân bên bải hai vế của đẳng thức AP = PD với ta được . Do đó ma trận A chéo hóa được.

Nhận xét:

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu và chỉ nếu nó có đủ n vector riêng độc lập tuyến tính và lập thành một cơ sở của . Cơ sở được gọi là cơ sở vector riêng của ma trận A.

1.3.4 Ví dụ:

Chéo hóa ma trận A nếu được với

Giải:

Ta thực hiện theo 4 bước sau:

Bước 1: Xác định các giá trị riêng của ma trận A. Trong bước này ta cần xác định đa thức đặc trưng và giải phương trình đặc trưng = 0 để tìm các giá trị riêng của A. Đa thức đặc trưng: . Giải phương trình đặc trưng ta được hai nghiệm t = 1 và t = -2. Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là .

Bước 2: Xác định ba vector riêng của ma trận A độc lập tuyến tính. Vì A là một ma trận vuông cấp 3 nên muốn A chéo hóa được thì nó ắt phải có ba vector riêng lập thành cơ sở của . Muốn xác định được ba vector riêng của ma trận A lập thành cơ sở của , ta chỉ cần tìm một cơ sở của mỗi không gian vector riêng ứng với mỗi giá trị riêng .

Cơ sở của là

Cơ sở của là và

Nhận thấy độc lập tuyến tính do đó nó là cơ sở của .

Bước 3: Lập ma trận P từ các vector riêng trong bước 2. Thứ tự các vector riêng không quan trọng. Sử dụng thứ tự đã chọn trong bước 2, ta lập được ma trận khả nghịch P.

Bước 4: Lập ma trận đường chéo D từ các giá trị riêng tương ứng. Trong bước này thứ tự của các giá trị riêng là quan trọng. Nó phải sắp xếp theo thứ tự của các cột của ma trận P. Ở đây ta sử dụng giá trị riêng hai lần. Một lần cho vector riêng và một lần cho vector riêng ứng với giá trị riêng .

Do đó ma trận

Do P khả nghịch nên muốn kiểm tra xem hai ma trận P và D có thỏa mãn . Ta có

và

Vậy A chéo hóa được.

Chéo hóa ma trận B nếu được với

Giải

Đa thức đặc trưng của ma trận A là .

Giải phương trình đặc trưng ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là . Khi tìm cơ sở của các không gian riêng và ta được:

Cơ sở của là và cơ sở của là .

Mặt khác mọi vector riêng của ma trận A đều là tổ hợp tuyến tính của hoặc . Do đó, ta không thể tìm được ba vector riêng của A để lập thành cơ sở của . Vậy ma trận A không thể chéo hóa được (theo định lý 1.3.2).

1.3.5 Hệ quả: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Khi đó nếu A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.

Chứng minh:

Giả sử là các giá trị riêng phân biệt của ma trận A. Gọi là các vector riêng của A tương ứng với các giá trị riêng . Khi đó độc lập tuyến tính trong theo định lý 1.1.5 do đó ma trận A chéo hóa được theo định lý 1.3.3.

Ví dụ: Chứng tỏ ma trận chéo hóa được

Giải

Ma trận A là ma trận tam giác trên có 1, - 3, -2 là các giá trị riêng phân biệt. Mặt khác do A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng phân biệt nên nó chéo hóa được.

Nhận xét:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Nếu A có n giá trị riêng phân biệt thì các vector riêng tương ứng độc lập tuyến tính. Khi đó ta lập ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho hay ma trận A chéo hóa được. Trong trường hợp ma trận A có ít hơn n giá trị riêng phân biệt thì ta vẫn tìm được ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để , tức là A sẽ chéo hóa được theo định lý sau đây.

1.3.6 Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Giả sử là các giá trị riêng phân biệt của A và là cơ sở của không gian vector riêng với mọi i = 1, 2, …, r. Khi đó độc lập tuyến tính trong và A chéo hóa được nếu và chỉ nếu S chứa n vector.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 2

Chứng minh

Giả sử với và i = 1, 2, …, r.

Muốn chứng minh S độc lập tuyến tính, ta giả sử:

Chú ý rằng do đó là vector riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng hoặc . Do tập các vector riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức ta suy ra với mọi i = 1, 2, …, r. Do đó,

. Vì là cơ sở của nên với mọi i = 1, 2, …r và j = 1, 2, …, . Vậy độc lập tuyến tính trong . Nếu S chứa n vector riêng độc lập tuyến tính. Nhóm các vector riêng ứng với giá trị riêng vào . Chú ý rằng với mọi i khác j. Từ đó suy ra, chứa n vector riêng của ma trận A.

1.3.7 Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau đây (nếu được)

Giải

Ta có đa thức đặc trưng của ma trận A là .

Giải phương trình đặc trưng ta được các nghiệm t = 3, 1, -1. Vậy ma trận A có ba giá trị riêng . Ta sẽ tìm một cơ sở của không gian vector riêng .

Cơ sở của là

Cơ sở của gồm hai vector

Cơ sở của là vector

Nhận thấy là hệ độc lập tuyến tính và do đó ma trận khả nghịch và , trong đó

và

1.4. Vectơ riêng – Giá trị riêng của một phép biến đổi tuyến tính

1.4.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K. Một ánh xạ tuyến tính được gọi là một toán tử tuyến tính của V. Một toán tử tuyến tính của V còn được gọi là một phép biến đổi tuyến tính.

1.4.2 Ví dụ:

Cho ánh xạ xác định bởi . Khi đó là một toán tử tuyến tính trên .
Cho ánh xạ cho bởi

Khi đó là một toán tử tuyến tính trên .

Cho ánh xạ xác định bởi

Khi đó là một toán tử tuyến tính trên .

1.4.3 Định nghĩa: Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Một phần tử được gọi là giá trị riêng của nếu tồn tại một vector khác không sao cho . Khi đó vector v được gọi là vector riêng của ứng với giá trị riêng .

1.4.4 Ví dụ:

1. Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Khi đó phần tử 0 là giá trị riêng của khi và chỉ khi . Vì Khi đó là vector riêng của ứng với giá trị riêng 0 khi và chỉ khi .

2. Mọi vector khác 0 đều là vector riêng của toán tử đồng nhất hoặc toán tử 0. Với toán tử đồng nhất, thì giá trị riêng bằng 1, còn toán tử 0 thì giá trị riêng là 0.

3. Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian được xác định như sau:

có giá trị riêng là và một vector riêng tương ứng với giá trị riêng này là vì f (u) = f (1, 1, -1) = (4,4,-4) = .

1.4.5 Định lý: Giả sử là một toán tử tuyến tính của không gian vector v trên trường K. Khi đó là giá trị riêng của nếu và chỉ nếu không là đơn ánh.

Chứng minh:

Nhận xét khi và chỉ khi với mọi . Nếu là một giá trị riêng của thì tồn tại một vector v khác 0 sao cho . Suy ra , vì v khác 0 nên khác 0 do đó không là đơn ánh. Đảo lại, giả sử không là đơn cấu. Khi đó tồn tại một vector v khác 0 sao cho suy ra . Do đó là một giá trị riêng của và v là vector riêng tương ứng.

1.4.6 Định lý: Giả sử là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Khi đó nếu c là các vector riêng của ứng với các giá trị riêng phân biệt thì độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Giả sử phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại chỉ số s nhỏ nhất sao cho là tổ hợp tuyến tính của các vector độc lập tuyến tính hay tồn tại các số sao cho .

Do là các vector riêng của toán tử ứng với giá trị riêng nên với mọi i = 1, 2,..,s.

Từ đó ta có hay .

Suy ra . Vì tập độc lập tuyến tính nên suy ra . Do đó , mâu thuẫn với . Vậy độc lập tuyến tính.

1.4.7 Định lý: Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Giả sử là một giá trị riêng của . Khi đó tập là một không gian vector con của V.

Chứng minh:

Do vector 0 thuộc nên . Nếu thì . Khi đó,

Vậy u + v và ku đều thuộc vào với mọi và với mọi k thuộc K. Do đó là một không gian vector con của V.

Không gian vector con được gọi là không gian vector riêng của ứng với giá trị riêng . Không gian vector riêng bao gồm các vector riêng của ứng với giá trị riêng và vector 0.

Nhận xét:

Nếu dim V = n và có ma trận biểu diễn A theo cơ sở S thì

là giá trị riêng của khi và chỉ khi là nghiệm của đa thức đặc trưng của .
Mỗi toán tử tuyến tính của không gian vector n chiều có tối đa n giá trị riêng khác nhau.
Ký hiệu là tọa độ của vector v trong cơ sở S. Khi đó là giá trị riêng của khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Tập các nghiệm không tầm thường của hệ này là tọa độ của tất cả các vector riêng của ứng với giá trị riêng .

Thuật toán tìm giá trị riêng và vector riêng của một toán tử tuyến tính:

Tìm ma trận biểu diễn A của toán tử theo một cơ sở nào đó (để được ma trận chứa càng nhiều số 0 càng tốt).
Tìm đa thức đặc trưng .
Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng trên trường K đã cho. Đó là tập các giá trị riêng.
Với mỗi giá trị riêng , lập hệ phương trình thuần nhất

rồi giải tìm hệ nghiệm cơ sở. Đó chính là cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng .

Ví dụ:

1. Cho toán tử tuyến tính của có ma trận biểu diển trong cơ sở chính tắc là

. Hãy tìm các giá trị riêng và vector riêng của toán tử .

Giải

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

Nhận thấy có hai nghiệm là hay có hai giá trị riêng là .

Khi đó ta có hai hệ phương trình tuyến tính tương ứng sau đây

và

Giải lần lượt các hệ ta được

Tập các vector riêng ứng với giá trị riêng là . Tập các vector riêng ứng với giá trị riêng là

2. Cho toán tử tuyến tính xác định bởi . Hãy xác định tất cả các giá trị riêng của và tất cả các vector riêng ứng với các giá trị riêng tìm được.

Giải:

Xét ma trận A của trong cặp cơ sở chính tắc của . Ta có ma trận A như sau:

Xét đa thức đặc trưng của ma trận A.

Xét phương trình đặc trưng của ma trận A ta có được hai nghiệm t = 1 và t = 3. Khi đó và là hai giá trị riêng của A.

Xét hệ phương trình ta được

Khi đó vector u1 = (-1, 1) là một vector riêng của A.

Xét hệ pt ta được

Khi đó vector u2 = (1, 1) là một vector riêng của A.

1.4.8 Định nghĩa: Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Một không gian vector con W của V là một không gian bất biến đối với toán tử nếu , hay với mọi .

Ví dụ: Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vector V trên trường K. Khi đó 0 và V là các không gian bất biến của V đối với toán tử và chúng được gọi là không gian con bất biến tầm thường. Nếu không là đẳng cấu thì hạt nhân là một không gian bất biến không tầm thường của V đối với .

Nếu là ánh xạ đồng nhất hoặc ánh xạ 0 thì mọi không gian con của V là không gian con bất biến đối với toán tử .

Nếu là một giá trị riêng của thì mọi không gian con của không gian vector riêng ứng với đều là không gian bất biến của .

1.4.9 Định lý: Không gian là không gian con bất biến của V đối với .

Chứng minh: Ta có là một không gian vector con của V. Với mọi . Ta có do đó . Như vậy với mọi vector , ta luôn có . Do đó là không gian con bất biến của V .

Cho V là không gian vector n chiều trên trường K và là một toán tử tuyến tính của V. Giả sử là một cơ sở của V. Với mọi , ta sẽ tìm mối quan hệ giữa và . Do S là một cơ sở của V nên vector v được viết duy nhất dưới dang . Khi đó tọa độ của v đối với cơ sở S là

Mặt khác do là một toán tử tuyến tính trên K nên . Do đó ta có

. Giả sử là tọa độ của vector đối với cơ sở S với mọi i = 1, 2, …, n. Khi đó ta viết trong đó ma trận

Tính chất:

Không gian con là không gian con bất biến của khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của U nằm trong U.
Nếu là không gian con bất biến, thì ánh xạ hạn chế là một toán tử tuyến tính của U.

(SV. Tự chứng minh như bài tập nhỏ).

1.4.10 Định nghĩa: Cho V là một không gian vector n chiều trên trường K và là một toán tử tuyến tính của V . Toán tử tuyến tính được gọi là chéo hóa được nếu ma trận biểu diễn của theo một cơ sở S nào đó là ma trận đường chéo.

1.4.11 Định lý: Cho V là một không gian vector n chiều trên trường K và là một toán tử tuyến tính của V. Khi đó chéo hóa được nếu và chỉ nếu có n vector riêng độc lập tuyến tính. Hơn nữa các phần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu diễn là các giá trị riêng của .

Chứng minh:

Giả sử A chéo hóa được và A là ma trận biểu diễn của theo cơ sở . Khi đó và .

Vì S là cơ sở của V nên khác vector 0 với mọi i = 1, 2, …, n. Do đó, là các giá trị riêng của và là các vector riêng tương ứng. Đảo lại nếu có n vector riêng độc lập tuyến tính thì là cơ sở của V. Vì là vector riêng của nên tồn tại sao cho với mọi i = 1, 2, …, n. Khi đó

chính là ma trận của theo cơ sở S. Ma trận biểu diễn A của là ma trận đường chéo nên chéo hóa được.

Hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính theo hai cơ sở khác nhau là đồng dạng và do đó chúng có cùng đa thức đặc trưng. Nếu ta đồng nhất với thì toán tử tuyến tính được xác định bởi trong đó A là ma trận biểu diễn của .

Giả sử là một giá trị riêng của A. Khi đó tồn tại vector v khác 0 sao cho . Điều này đồng nghĩa với cũng là giá trị riêng của toán tử tuyến tính và ngược lại. Do đó A và có cùng tập các vector riêng và tập các giá trị riêng. Vậy muốn xác định các giá trị riêng và các vector riêng của một toán tử tuyến tính ta chỉ việc xác định các giá trị riêng và các vector riêng của ma trận biểu diễn A của theo một cơ sở nào đó.

1.4.12 Hệ quả: Cho V là một không gian vector n chiều trên trường K, là một toán tử tuyến tính của V và A là ma trận biểu diễn của theo cơ sở S. Khi đó, là chéo hóa được nếu và chỉ nếu A chéo hóa được.

Ví dụ:

Cho phép biến đổi tuyến tính xác định bởi

Tìm các giá trị riêng và vector riêng của phép biến đổi
Hỏi phép biến đổi có chéo hóa được không?

Giải

Ma trận của đối với cặp cơ sở chính tắc của là

Đa thức đặc trưng của phép biến đổi là

Xét phương trình đặc trưng . Vậy phép biến đổi có hai giá trị riêng là

Ứng với giá trị riêng . Xét hệ pt thuần nhất

Vậy hệ có nghiệm u =( s, -s) với . Do đó tập các vector riêng ứng với giá trị riêng là u =( s, -s) với .

Chọn s = 1, ta được 1 vector riêng ứng với giá trị riêng

Tương tự đối với giá trị riêng . Xét hệ pt thuần nhất

. Hệ có nghiệm u =( s, 2s) với . Do đó tập các vector riêng ứng với giá trị riêng là u =( s, -s) với .

Chọn s = 1 ta được 1 vector riêng u2 = ( 1, 2) ứng với giá trị riêng .

Do có hai vector riêng độc lập tuyến tính nên chéo hóa được và ứng với cơ sở thì ma trận của có dạng chéo như sau:

Cho T là toán tử tuyến tính trên xác định bởi

Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T.
Hỏi T có chéo hóa được không? Nếu được tìm cơ sở để ma trận của T trong cơ sở đó có dạng chéo.

3. Cho toán tử tuyến tính xác định bởi .

Tìm các giá trị riêng và vector riêng của .
Chứng tỏ rằng chéo hóa được. Hãy tìm một cơ sở S để ma trận của theo S theo ma trận đường chéo

(Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ).

Định lý 1.4.13: Cho là một toán tử tuyến tính trên không gian vector hữu hạn chiều V. Gọi là tất cá các trị riêng khác nhau của T và là không gian riêng ứng với giá trị riêng và . Khi đó các điều sau đây tương đương:

T chéo hóa được;
Đa thức đặc trưng của T có dạng
.

Nhận xét:

Giả sử là một giá trị riêng của T, và đa thức đặc trưng của T có dạng , với , nếu m > k thì T không chéo hóa được.

II. Dạng chuẩn tắc Jordan:

2.1 Định nghĩa:

Một ma trận gọi là ma trận chuẩn tắc Jordan nếu nó có dạng:

Trong đó:

nếu thì

Ví dụ:

Các ma trận chéo (nói riêng: ma trận không, ma trận đơn vị) đều là các ma trận chuẩn tắc Jordan.
Ma trận là một ma trận chuẩn tắc Jordan.

2.2 Định nghĩa: Ma trận Jordan dạng đặc biệt được gọi là một khối Jordan thuộc giá trị .

Nhận xét: Mỗi ma trận Jordan J gồm nhều khối Jordan tạo nên:

, trong đó là các khối Jordan.

Trong ví dụ trên thì ma trận A gồm các khối Jordan sau:

Ta cần tìm điều kiện để một ma trận A đồng dạng với một ma trận Jordan. Có hai cách tìm dạng chuẩn tắc của một khối Jordan, dựa vào khái nhiệm đa thức tối tiểu hoặc dựa vào khái niệm ma trận. Ta cần các khái niệm sau đây.

2.3 Định nghĩa: Ta gọi - ma trận vuông cấp n trên trường K là ma trận có dạng.

, trong đó .

Một ma trận gọi là có dạng chính tắc nếu nó có dạng sau:

trong đó

là những đa thức, có hệ số cao nhất là 1 nếu khác đa thức 0,

chia hết cho

Ví dụ:

Ma trận đơn vị, ma trận không là những ma trận chính tắc

là một ma trận chính tắc

Nhận xét:

- Nếu - ma trận vuông cấp n có bậc lớn nhất đối với các là m thì ta có thể viết dưới dạng

với

Hai ma trận A, B thuộc Mn(K) là đồng dạng nhau khi và chỉ khi hai ma trận và là tương đương.

2.4 Định nghĩa: Cho đa thức và ma trận .

Khi đó ma trận vuông cấp n, được gọi là giá trị của đa thức tại ma trận A, ký hiệu là hay

Nếu thì A được gọi là nghiệm của đa thức .

2.5 Định lý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng chính tắc một cách duy nhất nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.

Chứng minh:

Sự chính tắc hóa được.

Cho ma trận

Nếu thì nó đã co dạng chính tắc. giả sử rằng (suy ra mọi ma trận tương đương với đều khác 0).

Chứng minh theo quy nap theo cấp của k của .

Khi k = 1 thì có dạng chính tắc (nếu cần thì nhân một số thích hợp để có hệ số cao nhất là 1.

Giả sử mệnh đề đúng cho mọi ma trận có cấp k = n – 1 và xét trường hợp có cấp k = n. Khi đó, trong tất cả các ma trận tương đương với có thể tìm được một ma trận

sao cho và có bậc nhỏ nhất. Ngoài ra ta có thể giả sử và có hệ số cao nhất bằng 1.

Trong ma trận này ta chứng minh chia hết mọi phần tử cùng dòng 1 và cùng cột 1. Thật vậy, giả sử sao cho không chia hết cho .

Trong ta có với và . Khi đó biến đổi bằng cách:

Nhân cột 1 với rồi cộng vào cột k.
Đổi chỗ cột 1 và cột k cho nhau:

Khi đó, . Mặt khác do nên mâu thuẫn với cách chọn . Vậy chia hết mọi phần tử cùng dòng 1. Chứng minh tương tự cho trường hợp cột. Nhờ sự chia hết này ta có thể biến đổi.

Ma trận có cấp n-1 nên theo giả thiết quy nạp có thể đưa về dạng chính tắc. Do đó:

Ta cần chứng minh chia hết là đủ. Thật vậy, giả sử ngược lại không chia hết cho . Khi đó khi chia cho ta được dư khác 0 và bậc cao nhất của nhỏ hơn bậc của . Do đó

mâu thuẫn với cách chọn . Vậy chia hết . (Đã chứng minh xong).

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 3

Chứng minh tính duy nhất:

Với mỗi k = 1, …, n ký hiệu là ước chung lớn nhất có hệ số cao nhất bằng 1 của tất cả các định thức con cấp k của . Ta sẽ sử dụng bổ đề được phát biểu sau đây.

Bổ đề: Phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên không làm thay đổi , với mọi k = 1, …, n.

Giả sử được đưa về dạng chính tắc:

. Do đó . Theo trên ta có .

Do đó,

Suy ra

Điều này thể hiện tính duy nhất của dạng chính tắc của . Các đa thức được gọi là các nhân tử bất biến của ma trận .

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi sơ cấp

Giải

Ta có

Nhận xét:

Trong dạng chính tắc của một ma trận nếu có:

thì chúng phải đứng ở vị trí đầu của các đường chéo chính.

thì chúng phải đứng ở các vị trí cuối của đường chéo chính.

Một cách tổng quát, dạng chính tắc của một ma trận là như sau:

Xét khối Jordan . Khi đó ma trận

có UCLN của các định thức con là

vì có 1 trong các định thức con cấp m-1 là định thức

. Mặt khác chia hết nên

Do đó được đưa về dạng chính tắc sau:

Ví dụ: Đưa ma trận đặc trưng sau đây về dạng chính tắc

Dùng dạng chính tắc của khối Jordan ta có

Và (*)

Suy ra

Nhận xét: So với dạng (*) của , thì mất đi các nhân tử có số mủ lớn nhất, đó là

Tương tự (so với mất đi các nhân tử có số mủ lớn nhất đó là

Suy ra,

Do đó các trong dạng chính tắc của là

Dạng chính tắc của

Ví dụ 2: Tìm dạng chính tắc của ma trận như sau:

Ta có

Suy ra

Do đó dạng chính tắc của là

Ví dụ:

Tìm ma trận Jordan J đồng dạng với ma trận A sau:

Giải

Ta đưa ma trận về dạng chính tắc

Do đó ma trận Jordan đồng dạng với A là ma trận J:

Ví dụ: Viết ma trận Jordan ma ma trận đặc trưng có dạng chính tắc là

Ma trận cần tìm là:

2.6 Định lý: Cho khi đó A đồng dạng với ma trận Jordan khi và chỉ khi đa thức đặc trưng của A phân tích được thành tích của n đa thức bậc nhất trên trường K (điều này tương đương với đa thức đặc trưng của A có n nghiệm, không nhất thiết phân biệt, thuộc K).

Chứng minh:

Đa thức đặc trưng của A là:

Điều kiện đủ:

Giả sử với và . Khi đó trong ma trận có

Đặt

Thì ma trận tương đương với

Gọi J là ma trận Jordan mà dạng chính tắc của là B thì A đồng dạng với J.

Điều kiện cần:

Giả sử A đồng dạng với một ma trận Jordan J. Khi đó và là hai ma trận tương đương nên có cùng dạng chính tắc, do đó:

Vì phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất nên phân tích được. (Đã chứng minh xong).

2.7 Bổ đề: Giả sử phép biến đổi tuyến tính T của không gian vector V trên trường K có ma trận của T đối với cơ sở là một ma trận khối Jordan J thuộc giá trị . Khi đó

2.8 Định lý: Cho T là phép biến đổi tuyến tính của không gian vector n chiều V trên K mà ma trận của T đối với cơ sở là một ma trận khối Jordan J thuộc giá trị . Khi đó

Các không gian con là các không gian con của V bất biến qua T. Hơn thế, đảo lại mọi không gian con của V bất biến qua T đều có dạng

Sinh viên tham khảo thêm cách tìm cơ sở Jordan của một toán tử tuyến tính dựa vào các khái niệm đa thức tối tiểu như sau

Định nghĩa:

Đa thức p(x) có hệ số trong trường K được gọi là linh hóa toán tử tuyến tính T nếu

p(T) = 0. Nếu p(x) là đa thức có bậc thấp nhất linh hóa T thì ta nói p là đa thức tối tiểu của T.

Mệnh đề: Nếu đa thức g(x) linh hóa toán tử tuyến tính T thì g(x) chia hết cho đa thức tối tiểu p(x) của T.

Định lý: Nếu T là toán tử tuyến tính trên không gian vector V có số chiều hữu hạn thì đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu của T có cùng nghiệm. Nói cách khác, nghiệm của đa thức tối tiểu là các trị riêng của T.

Định lý: Cho toán tử tuyến tính T trên không gian vector V hữu hạn chiều. Giả sử là tất cả các trị riêng khác nhau của T và p(x) là đa thức tối tiểu của T. Khi đó, nếu T chéo hóa được thì .

Định lý (Halminton – Cayley): Cho T là một toán tử tuyến tính trong không gian vector hữu hạn chiều V và f là một đa thức đặc trưng của T. Khi đó f(T) = 0. Suy ra, đa thức tối tiểu là ước của đa thức đặc trưng.

Định nghĩa:

Cho V là một không gian vector trên trường số phức , T là một toán tử tuyến tính trên V, là một số phức và v là một vector khác 0 thuộc vào V.

Ta nói v là T-tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên sao cho .

Số nguyên dương nhỏ nhất r có tính chất đó được gọi là chu kỳ của v đối với T. Lúc đó, , với mọi số nguyên k thỏa .

Không gian vector V có số chiều hữu hạn được gọi là tuần hoàn (hay T- tuần hoàn) nếu tồn tại một số phức và một vector sao cho v là tuần hoàn có chu kỳ r = dimV.

Nhận xét:

Tập hợp (*) là một cơ sở của V.

Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở này có dạng:

Ma trận này chứa trên đường chéo chính, số 1 ở phía trên đường chéo và 0 tại những vị trí còn lại. Ma trận dạng này được gọi là một khối Jordan, ký hiệu là .

Khi đó, là trị riêng, có vector riêng là . Cơ sở (*) được gọi là cơ sở Jordan của T.

Định nghĩa: Cho các ma trận vuông có cấp tương ứng là . Khi đó, ta gọi tổng trực tiếp của k ma trận này là một ma trận vuông cấp có dạng

Ma trận A có tính chất các ma trận nằm trên đường chéo chính, các vị trí còn lại của A đều bằng 0.

Nhận xét:

Giả sử V là tổng trực tiếp của những không gian con T- bất biến , trong đó mỗi đều tuần hoàn. Nếu ta chọn cơ sở Jordan cho mỗi thì dãy của những cơ sở này sẽ tạo nên cơ sở của V, cũng được gọi là cơ sở Jordan của T. Ma trận J biểu diễn T đối với cơ sở Jordan này sẽ là tổng thực tiếp của m khối Jordan. Nếu là tuần hoàn, i = 1, 2, …, m thì

, trong đó là các khối Jordan.

Ma trận này được gọi là dạng chính tắc Jordan của T.

Nhận xét:

Với mọi toán tử tuyến tính T trên không không gian vector V hữu hạn chiều ta đều tìm được một cơ sở nào đó của V để ma trận biểu diễn T đối với cơ sở B có dạng Jordan.

Mọi ma trận vuông A đều đồng dạng với một ma trận dạng chính tắc Jordan của A.

Định lý: Toán tử tuyến tính T trên không gian hữu hạn chiều V chéo hóa được khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của T có dạng

với là các giá trị riêng phân biệt của T.

Định lý: Giả sử toán tử tuyến tính T có các giá trị riêng phân biệt . Khi đó, đa thức tối tiểu của T có dạng khi và chỉ khi trong dạng chính tắc Jordan của T, các khối Jordan ứng với trị riêng có bậc cao nhất là

Ví dụ: Cho toán tử tuyến tính T trên V có ma trận biểu diễn đối với một cơ sở (được sắp) B nào đó của V là

Xác định ma trận Jordan J đồng dạng với ma trận ?

Giải

Xét đa thức đặc trưng của T là:

Đa thức tối tiểu là , T có một giá trị riêng bằng 0. Do đa thức tối tiểu có bậc 2 nên có tối đa 2 khối Jordan mỗi khối có bậc 2.

Khi đó dạng Jordan của T là

BÀI TẬP

1) Cho ma trận .

a) Xácđịnh đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

2) Cho ma trận .

a) Xácđịnh đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

3) Cho ma trận .

a) Xác định đa thức đặc trưng của .

b) Xácđịnh các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

4) Cho ma trận

a) Xác định đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

5) Cho là giá trị riêng của , và . Chứng minh rằng

a) là giá trị riêng của ma trận .

b) là giá trị riêng của ma trận .

c) là giá trị riêng của ma trận .

d) là giá trị riêng của ma trận đa thức .

6) Cho là giá trị riêng của , và . Chứng minh rằng

a) Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

b) Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

7) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng .

8) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng

a) .

b) .

c) .

d) .

9) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng

a) Nếu khả nghịch thì .

b) Nếu khả nghịch thì .

c) Nếu không là giá trị riêng của thì ma trận khả nghịch và

10) Cho ma trận trên trường số thực như sau

a) Tính

b) Tính với .

c) Tính biết rằng .

11) Cho ma trận

Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho
Tính với mọi số nguyên dương k.

12) Chéo hoá ma trận trên và .

13) Chéo hoá ma trận

14) Chéo hóa ma trận

15) Cho ma trận

a) Chéo hoá ma trận .

b) Hãy tính luỹ thừa ma trận .

16) Cho ma trận

a) Hãy tính đa thức ma trận , trong đó .

b) Hãy tìm một ma trận trên trường số thực sao cho .

17) Cho là các dãy số thực xác định bởi và

Xác định các số hạng tổng quát và và chứng minh rằng là số nguyên chia hết cho .

18) Cho ma trận

a) Chéo hóa .

b) Đặt .

Tính và .

19) Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a) .

b) .

c) .

20) Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a) và đồng dạng.

b) và đồng dạng với mọi .

c) khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.

d) Nếu khả nghịch thì AB và BAđồng dạng.

Cho ma trận
Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho
Tính với mọi số nguyên dương k.

22) Cho ma trận , . Chứng minh rằng là các vector riêng của A. Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để .

Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2. Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng có chiều là 2. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không?
Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận sau. Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho .

Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên

và

Chéo hóa các ma trận sau (nếu được).

Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính cho sau đây:
f (x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z)
f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z)
f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z)
f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z)
Hãy tìm dạng chính tắc của các ma trận sau:

Các cặp ma trận sau có tương đương không? Biết rằng hai ma trận tương đương nhau khi chúng có cùng dang chính tắc.

và

Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến thì AB và BA đồng dạng.
Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính nó.
Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng đồng dạng với :
và
và
Hãy tìm dạng Jordan của các ma trận sau (bằng cách đưa về dạng chính tắc và suy ra ma trận J đồng dạng với A).
b) c) d)

35) Chứng minh rằng:

a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan.

b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan.

36) Chứng minh rằng:

a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức thì mọi phép biến đổi tuyến tính của V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều.

b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực thì mọi phép biến đổi tuyến tính của V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: