VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Lập phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.  Nội dung bài viết Lập phương trình đường tròn: Lập phương trình đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Tìm toạ độ tâm I (a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2. Cách 2. Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 −2ax − 2by + c = 0 (hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0). Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R. A ∈ (C) ⇔ IA = R. (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d (I; ∆) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d (I; ∆1) = d (I; ∆2) = R. (C) cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ (d (I; ∆3))2 + a2 = R2. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I(3; −5) bán kính R = 2. Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là (x − 3)2 + (y + 5)2 = 22 ⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0. Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A (1; 6), B (−3; 2). Đường tròn đường kính AB có: Tâm I (−1; 4) là trung điểm AB. Bán kính R = AB = 2√2. Do đó phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y − 4)2 = 2√2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 8y + 9 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I (−1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + 7 = 0. Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên R = d (I; ∆) = |−1 − 4 − 7| √1 + 4 = 2√5. Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn tâm I (−2; 1), cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2. Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có: h = d (I, ∆) = |−2 − 2 + 3|. Gọi R là bán kính đường tròn. Vậy phương trình đường tròn là: (x + 2)2 + (y − 1)2 = 6. Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M (−2; 4), N (5; 5), P (6; −2). Lời giải. Cách 1. Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = 0, 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0, 36 + 4 − 12a + 4b + c = 0 ⇔ a = 2, b = 1, c = −20. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0. Cách 2. Gọi I (x; y) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra: IM = IN = IP ⇔ IM2 = IN2, IM2 = IP2 nên ta có hệ (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 5)2 + (y − 5)2, (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 6)2 + (y + 2)2 ⇔ x = 2, y = 1. Suy ra I(2; 1), bán kính IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25. Ví dụ 6. Cho hai điểm A (8; 0) và B (0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Lời giải. a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I (4; 3) và bán kính R = IA = p (8 − 4)2 + (0 − 3)2 = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = √2 + 62 = 10. Mặt khác OA.OB = pr(vì cùng bằng diện tích tam giác ABC). Suy ra r = OA.OB OA + OB + AB = 2. Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A (1; 2), B (4; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B. Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d nên I (t; 2t − 5). Hai điểm A, B cùng thuộc (C) nên IA = IB ⇔ (1 − t)2 + (7 − 2t)2 = (4 − t)2 + (6 − 2t)2 ⇔ t = 1. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Cách 2. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB = (3; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x − y − 6 = 0. Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ 2x − y − 5 = 0, 3x − y − 6 = 0 ⇒ I(1; −3). Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A (−2; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d1 nên I (−3t − 8; t). Theo giả thiết bài toán, ta có: d (I, d2) = IA ⇔ |3 (−3t − 8) − 4t + 10| √2 + 42 = (−3t − 8 + 2)2 + (t − 1)2 ⇔ t = −3. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 9. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0. Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K (6a + 10; a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra |3(6a + 10) + 4a + 5| = |4(6a + 10) − 3a − 5| ⇔ |22a + 35| = |21a + 35| ⇔ a = 0, a = −70. Với a = 0 thì K (10; 0) và R = 7 suy ra (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Với a = −70 thì K và R. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Ví dụ 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x − y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2√3. Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I (a; a + 1). a = 1, a = −9. Với a = 1 ta có I (1; 2), phương trình đường tròn là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4. Với a = −9 ta có I (−9; −8), phương trình đường tròn là: (x + 9)2 + (y + 8)2 = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A (−1; 3), B (1; 4), C (3; 2). Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−1; 1), B (3; 3) và đường thẳng d: 3x − 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d. Đường trung trực ∆ đi qua M (1; 2) là trung điểm AB và nhận AB = (4; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 2x + y − 4 = 0. Do (C) đi qua hai điểm A, B nên tâm I của (C) thuộc trung trực ∆ nên I (t; 4 − 2t). Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0 và ∆: x + 3y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính bằng 2√10, có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0. và d2: √3x − y = 0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng √3 và điểm A có hoành độ dương.Bài 6. Cho ba đường thẳng d1: x−y + 1 = 0, d2: 3x−4y = 0, d3: 4x−3y −3 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2 tại hai điểm A, B và cắt đường thẳng d3 tại hai điểm C, D sao cho AB = CD = 2√3.
Quảng cáo + Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 + Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau: - Bước 1: Tìm trung điểm I của AB. - Bước 2: Tính IA. - Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA. + Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A ⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA. Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0. B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0. C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0. D. Tất cả sai Lời giải Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) . Bán kính R = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0. C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0. Lời giải Ta có: MA→(x + 4;y - 2); MB→(x - 2; y + 3) Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31 Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Chọn D. Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2 B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 Lời giải Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 Chọn B. Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0. C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0. Hướng dẫn giải Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là: R = IM = Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10 Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0. B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0 D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0 Hướng dẫn giải Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) . Bán kính AB = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 Chọn B. Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành? A.(x - 1)2 + y2 = 16 B. (x - 10)2 + y2 = 50 C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x - 10)2 + y2 = 50 Lời giải + Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0). ⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2. + Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1). + Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2). Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50. Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50 Chọn D. Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0? A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0 D. Tất cả sai Lời giải Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0) Là đường tròn có tâm I(a; b). + Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1) + Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2) + Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3). Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình : ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 Chọn B. Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4. B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4. C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.
Đáp án: C Trả lời: Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là: R = IM = + Khi đó đường tròn có phương trình là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5 C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5 D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là: R = IB = Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5 Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3. B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2. C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4. D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.
Đáp án: B Trả lời: Ta có: M ⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t) ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2. Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0 C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0
Đáp án: A Trả lời: Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB ⇒ Tọa độ điểm I : Bán kính R = AB = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Đáp án: D Trả lời: Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2 Để MA2 + MB2 = 31 ⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0? A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0 C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0). Đường tròn này có tâm I(a;b). + Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1). + Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên: 1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2) + Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên : 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3) Từ (1); (2) và (3) ta có hệ: ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn? A. I(0; -2) B. I( 0; 1) C. I(0;
Đáp án: C Trả lời: + Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a). ⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2 + Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên : 12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1) + Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên : 32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2) + Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được: - 2a = 5 ⇔ a = ⇒ Tâm đường tròn là I(0; ) Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
