I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng4. Góc giữa 2 đường thẳng5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng* Cách tính 1: Show
- Viết phương trình mặt phẳng (Q)qua M1và vuông góc với Δ. - Tìm tọa độ giao điểm H củaΔvà mặt phẳng (Q). - d(M1,Δ) = M1H * Cách tính 2: 7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau* Cách tính 1: - Viết phương trình mặt phẳng(Q)chứa (Δ)và song song với (Δ1). - Tính khoảng cách từ M0M1tới mặt phẳng (Q). - d(Δ,Δ1) = d(M1,Q) * Cách tính 2: II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gianDạng 1: ViếtPT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCPPhương pháp: Lời giải: Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, BPhương pháp Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3); Lời giải: Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳngΔPhương pháp Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ: Lời giải: Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).Phương pháp Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d)đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0 Lời giải: Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).Phương pháp: Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1: Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0; Phương pháp: + Cách giải 1: + Cách giải 2: - Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên) - Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB. + Cách giải 3: - Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d. Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng(P): 2x+y-z-3=0 và(Q): x+y+z-1=0. Lời giải: Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).Phương pháp - Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P). - Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q) - Chú ý:Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d làđiểm H=d∩(P) Lời giải: -Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0 ⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0 Q⊥ P⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0 ⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0⇔ -m + 8n = 0 Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0 - Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d'là giao tuyến của P và Q,phương trình của d’ sẽ là: Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2Phương pháp + Cách giải 1: - Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1. - Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2) - Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B. + Cách giải 2: - Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 - Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2. - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α)∩ (β) + Cách giải 3: - Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2 - Bước 2:Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C - Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d1: Lời giải: - Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s) Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1và cắt cả hai đường thẳng d2và d3.Phương pháp - Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1và chứa d2. - Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1và chứa d3. - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q) Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng(d)song song với trụcOxvà cắt(d1),(d2)có PT: Lời giải: Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2Phương pháp + Cách giải 1: - Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1. - Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2) - Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. + Cách giải 2: - Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d1. - Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2. - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α)∩ (β) Lời giải: - PT mp (P)⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT:2x - 5y + z + D = 0 - PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0⇒ D = 2 ⇒ PT mp (P):2x - 5y + z + 2 = 0 - Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3) Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’Phương pháp: + Cách giải 1: - Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α). - Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’. - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q) + Cách giải 2: - Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α) - Bước 2: Tìm giao điểm B = (P)∩ d’ - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B. Lời giải: Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2cho trước .Phương pháp: - Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P) - Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B . Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳngΔ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2; Lời giải: - Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọađộ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s) - Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0⇔ t = 1⇒ A(1;0;2) - Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0⇔ s = 1⇒ B(2;3;1) Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).Phương pháp Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.Phương pháp + Cách giải 1: - Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1điểm M thuộc d). + Cách giải 2: - Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1; N(x0'+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)∈ d2là chân cácđường vuông góc chung của d1và d2. - Bước 2: Ta có - Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N. - Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Lời giải: Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1và d2.Phương pháp: - Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1và vuông góc với (P). - Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2và vuông góc với (P). - Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q). Lời giải: Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.Phương pháp: - Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10. |