Tài liệu tổng hợp trên 50 dạng bài tập Toán lớp 10 phần Hình học được các Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm biên soạn với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và trên 1000 bài tập trắc nghiệm chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao có lời giải sẽ giúp học sinh ôn luyện, biết cách làm các dạng toán lớp 10 Hình học từ đó đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán lớp 10.
Hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng hay, chi tiết
Bài tập về tổng của hai vecto cực hay, chi tiết
Bài tập về hiệu của hai vecto cực hay, chi tiết
Bài tập về Quy tắc hình bình hành của vecto cực hay, chi tiết
Bài tập về Quy tắc trung điểm của vecto cực hay, chi tiết
Bài tập về Quy tắc trọng tâm tam giác của vecto cực hay, chi tiết
Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương cực hay, chi tiết
Bài tập Tọa độ của vecto, tọa độ của một điểm cực hay, chi tiết
Tìm m để hai vecto cùng phương cực hay, chi tiết
Cách tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng cực hay, chi tiết
Cách tìm tọa độ của trọng tâm tam giác cực hay, chi tiết
Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, chi tiết
Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết
Công thức, cách tính góc giữa hai vecto cực hay, chi tiết
Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết
Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước cực hay (45 độ, góc nhọn, góc tù)
Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác cực hay, chi tiết
Cách giải bài tập về Định lí Sin trong tam giác cực hay, chi tiết
Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết
Công thức, cách tính Diện tích tam giác cực hay, chi tiết
Bài tập Công thức Heron tính diện tích tam giác cực hay, chi tiết
Cách làm bài tập Giải tam giác lớp 10 cực hay, chi tiết
Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cực hay, chi tiết
Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cực hay, chi tiết
Chứng minh 2 vecto cùng phương, 2 vecto cùng hướng
Định nghĩa:
- Giá của vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.
- Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vecto cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Quy ước: Vecto – không (ký hiệu
) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.
Ba vecto
được gọi là cùng phương với nhau
Vecto
cùng hướng với
, vecto ngược hướng với vecto
Phương pháp giải:
Để chứng minh hai vecto cùng phương, ta chứng minh giá của hai vecto đó song song hoặc trùng nhau. ( quan hệ từ vuông góc đến song song, cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba, định lí Talet, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, các góc vị trí so le trong – đồng vị bằng nhau ....)
Để chứng minh hai vecto cùng hướng, ta chứng minh hai vecto đó cùng phương và xét hướng của hai vecto đó.
Ví dụ 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vecto khác không, cùng phương với vecto
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Hướng dẫn giải:
Do ABCDEF là lục giác đều tâm O
Suy ra BE // CD // AF
Do đó OB // CD // AF
Do đó các vecto cùng phương với vecto
mà có điểm đầu và điểm cuối là
đỉnh của hình lục giác là các vecto:
Vậy có 6 vecto.
Đáp án B
Ví dụ 2: Cho hai vecto không cùng phương , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ
.
B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ .
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ , đó là vectơ .
D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
+ Theo quy ước, vecto cùng phương, cùng hướng với mọi vecto (lý thuyết), do đó đáp án C đúng, từ đó suy ra đáp án A và D là đáp án sai.
+ Đáp án B: có vô số vecto cùng phương với cả hai vecto là sai
Thật vậy, giả sử có 1 vecto
cùng phương với cả hai vecto
Gọi giá của vecto là đường thẳng m, giá của vecto là đường thẳng a, và giá của vecto là đường thẳng b.
Khi đó
mâu thuẫn với giả thiết hai vecto không cùng phương.
Đáp án C
Ví dụ 3: Cho điểm A và vecto khác vecto . Xác định điểm M sao cho vecto
cùng phương với vecto .
Hướng dẫn giải:
Gọi giá của vecto là đường thẳng
.
TH1: Điểm A thuộc đường thẳng
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng
Khi đó đường thẳng AM =
Vậy vecto cùng phương với vecto .
Vậy M thuộc đường thẳng với đi qua điểm A và là giá của vecto .
TH2: Điểm A không thuộc đường thẳng
+ Qua A, dựng dường thẳng m song song với đường thẳng
+ Lấy điểm M bất kỳ thuộc m, khi đó AM //
Suy ra vecto cùng phương với vecto .
Vậy điểm M thuộc đường thẳng m đi qua A và m // thì vecto cùng phương với vecto .
....................................
....................................
....................................
Bài tập về tổng của hai vecto
Định nghĩa: Cho hai vecto . Lấy một điểm A tùy ý ta vẽ
, từ B vẽ
. Vecto
được gọi là tổng của hai vecto . Kí hiệu:
. Phép toán tìm tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng hai vecto.
Các tính chất:
Tính chất giao hoán:
Tính chất kết hợp:
Tính chất vecto-không:
Các quy tắc:
Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:
Quy tắc n điểm (mở rộng quy tắc 3 điểm): Cho n điểm , ta có:
(quy tắc này được dùng để tìm tổng của nhiều vecto nối đuôi nhau)
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các quy tắc và tính chất của phép cộng vecto để giải quyết bài tập.
Ví dụ 1: Ví dụ 1. Cho 5 điểm A, B, C, D, F. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
a, Ta có:
(áp dụng quy tắc 3 điểm)
=
(tính chất giao hoán kết hợp)
=
(quy tắc 3 điểm)
=
(nhớ lại khái niệm vecto-không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau)
=
(tính chất vecto-không)
Vậy (đpcm)
b, Ta có:
(áp dụng quy tắc 3 điểm)
=
(áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp)
=
(quy tắc 3 điểm)
=
(tính chất kết hợp)
=
=
(vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vecto-không)
=
(tính chất vecto-không)
Vậy (đpcm).
Ví dụ 2: Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có
và BC = a. Tính độ dài vecto
.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: để làm bài tập này, ta cần nhớ lại công thức độ dài vecto:
Độ dài của vecto
, ký hiệu là
.
Ví dụ 3: Ví dụ 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
=
(tính chất giao hoán và kết hợp)
=
(quy tắc 3 điểm)
=
=
.
Vậy
Suy ra A đúng, B, C, D sai.
Đáp án A
Ví dụ 4: Ví dụ 4. Chỉ ra vecto tổng của
trong các vecto sau:
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
....................................
....................................
....................................
Bài tập về hiệu của hai vecto
Vecto đối của một vecto: Vecto đối của vecto là vecto ngược hướng với và có cùng độ dài với vecto , ký hiệu là -
Vecto đối của vecto là vecto .
Vecto đối của vecto
là vecto
.
Hiệu hai vecto: Hiệu của hai vecto , kí hiệu là
, là tổng của vecto và vecto đối của vecto , tức là
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ hai vecto.
Quy tắc về hiệu hai vecto: Nếu
là một vecto đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có
Phương pháp giải: áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto, quy tắc ba điểm, vecto đối…
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(1) (áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto)
Lại có:
(vecto đối)
(2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vecto)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, tìm các vecto sau
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Độ dài của vecto
là
A. a
B. 2a
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(quy tắc về hiệu hai vecto)
Suy ra
ABCD là hình vuông cạnh với đường chéo DB
Vậy độ dài vecto
.
Đáp án C
Ví dụ 4: Chỉ ra vecto tổng
trong các vecto sau
Hướng dẫn giải:
=
=
(áp dụng quy tắc hiệu hai vecto và vecto đối)
=
(áp dụng quy tắc ba điểm)
=
(tính chất giao hoán)
=
(quy tắc ba điểm)
Vậy D đúng và A, B, C sai.
Đáp án D
Ví dụ 5: Cho các điểm A, B, C, M, N, X phân biệt. Chọn kết quả sai:
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
A đúng
+ Lại có:
theo quy tắc hiệu hai vecto
B đúng
+
C sai (vì A, B phân biệt nên
)
+
theo quy tắc ba điểm D đúng
Đáp án C
....................................
....................................
....................................
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
