Có bao nhiêu số nguyên x trong khoảng 0 2023 thỏa mãn log3 2x 5 )< log2 x 1?

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x

⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2

⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2

⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. 

Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1).

Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0

Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16.

Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y)

Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0<x≤8.

Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp.

Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp.

Với x=8⇒y=0 có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài.

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x

⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2

⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2

⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. 

Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1).

Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0

Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16.

Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y)

Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0<x≤8.

Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp.

Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp.

Với x=8⇒y=0 có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài.

$\begin{array}{l}
{\log _3}\left( {2x + 5} \right) < {\log _2}x + 1\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 5} \right) < {\log _2}2x\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 5} \right) < {\log _2}2x\left( 1 \right)\\
t = {\log _3}\left( {2x + 5} \right) \Rightarrow {3^t} - 5 = 2x\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow t < {\log _2}\left( {{3^t} - 5} \right)\\
 \Leftrightarrow {2^t} < {3^t} - 5 \Leftrightarrow {3^t} - {2^t} - 5 > 0\\
f\left( t \right) = {3^t} - {2^t} - 5 \Rightarrow f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 - {2^t}\ln 2 > 0\\
 \to\text{ đồng biến} \,\forall t\\
f\left( 2 \right) = {3^2} - {2^2} - 5 = 0 \Rightarrow f\left( t \right) > f\left( 2 \right)\\
 \Rightarrow t > 2\\
 \Rightarrow {\log _3}\left( {2x + 5} \right) > 2 \Leftrightarrow 2x + 5 > 9\\
 \Leftrightarrow x > 2\\
 \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;5...;2022} \right\} \to 2020 \text{giá trị} \to D
\end{array}$

Trả lời câu hỏi của Ngọc Hưng Phạm

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

• Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
• Không copy câu trả lời của Timi
• Không sao chép trên mạng
• Không spam câu trả lời để nhận điểm
• Spam sẽ bị khóa tài khoản