Với loạt Công thức lượng giác và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10. 1. Lý thuyết a. Công thức cộng: sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a−b) = sina.cosb−sinb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a+b) = tana+tanb1−tana.tanb tan(a−b) = tana−tanb1+tana.tanb b. Công thức nhân đôi, hạ bậc: * Công thức nhân đôi: sin2α=2sinα.cosα cos2α = cos2α−sin2α = 2cos2α−1 = 1−2sin2α tan2α = 2tanα1−tan2α * Công thức hạ bậc: sin2α = 1−cos2α2cos2α = 1+cos2α2tan2α = 1−cos2α1+cos2α * Công thức nhân ba: sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα c. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb=12cos(a+b)+cos(a−b)sinasinb=−12cos(a+b)−cos(a−b)sinacosb=12sin(a+b)+sin(a−b) d. Công thức biển đổi tổng thành tích:
2. Các dạng bài Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt a. Phương pháp giải: - Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc. - Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt. - Sử dụng các công thức lượng giác. b. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính: a. cos37π12; b. tanπ24+tan7π24. Hướng dẫn: a. cos37π12=cos2π+π+π12 =cosπ+π12 =−cosπ12 =−cosπ3−π4 =−cosπ3.cosπ4+sinπ3.sinπ4 =−6+24 b.tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24 =3cosπ3+cosπ4=26−3 Ví dụ 2: Tính: a. tanx+π4 biết sinx=35 với π2<x<π; b. cosα−β biết sinα=513, π2<α<π và , 0<β<π2. Hướng dẫn: a. Ta có: sin2x+cos2x=1⇒cosx=±1−sin2x=±1−925=±45 . Vì π2<x<π nên cosx=−45 Do đó tanx=sinxcosx=−34. Ta có: tanx+π4=tanx+tanπ41−tanx.tanπ4=−34+11+34=17. b. Ta có: sinα=513, π2<α<π nên cosα=−1−5132=−1213. cosβ=35, 0<β<π2 nên sinβ=1−352=45. cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ =−1213.35+513.45=−1665 . Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác a. Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau: * Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái) * Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. * Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Hướng dẫn: a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có: VT=sin4x+cos4x =(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x =1−12sin22x=1−12.1−cos4x2 =34+14cos4x=VP Suy ra đpcm. b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có: VT= 14cos3x3sinx−sin3x+ 14sin3x3cosx+cos3x =34sinx.cos3x+cosx.sin3x=34sin4x=VP Suy ra đpcm. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin3B2cosA+C2+cos3B2sinA+C2−cos(A+C)sinB.tanB=2 Hướng dẫn: Do tam giác ABC có A+B+C=1800, suy ra A+C=1800−B Do đó, ta có: VT=sin3B2cos1800−B2+cos3B2sin1800−B2−cos1800−BsinB.tanB =sin3B2sinB2+cos3B2cosB2−−cosBsinB.tanB =sin2B2+cos2B2+1=2=VP Suy ra đpcm. Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác a. Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a. A=cos10x+2cos24x+6cos3x.cosx−cosx−8cosx.cos33x b. B=sin3x+cos2x−sinxcosx+sin2x−cos3xsin2x≠0;2sinx+1≠0 Hướng dẫn: a. Ta có: A=cos10x+(1+cos8x)−cosx−2(4cos33x−3cos3x)cosx =(cos10x+cos8x)+1−cosx−2cos9x.cosx =2cos9x.cosx+1−cosx−2cos9x.cosx=1−cosx b. Ta có: B=sin3x+cos2x−sinxcosx+sin2x−cos3x =2cos2xsinx+cos2x−2sin2xsin(−x)+sin2x =2cos2xsinx+cos2x2sin2xsinx+sin2x =cos2x(1+2sinx)sin2x(1+2sinx)=cot2x Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: C=sin2x+2sina–x.sinx.cosa+sin2a–x. Hướng dẫn: C=sin2x+2sina–x.sinx.cosa+sin2a–x =sin2x+sina−x2sinxcosa+sina−x =sin2x+sina−x2sinxcosa+sinacosx−cosasinx =sin2x+sina−xsinxcosa+sinacosx =sin2x+sina−xsina+x=sin2x+12cos2x−cos2a =sin2x+121−2sin2x−(1−2sin2a) =sin2x+sin2a−sin2x=sin2a Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến a. Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh. b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x Hướng dẫn: Ta có: A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x =cos2x+12cosx−32sinx2+12cosx+32sinx2 = cos2x+14cos2x−32cosxsinx+34sin2x+14cos2x+32cosxsinx+34sin2x =32cos2x+32sin2x =32cos2x+sin2x =32 Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x. Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2–sin8x+cos8x Hướng dẫn: Ta có: C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2–sin8x+cos8x =2sin2x+cos2x2−sin2xcos2x2–sin4x+cos4x2−2sin4xcos4x =21−sin2xcos2x2–sin2x+cos2x2−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x =21−sin2xcos2x2–1−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x =21−2sin2xcos2x+sin4xcos4x–1−4sin2xcos2x+4sin4xcos4x+2sin4xcos4x = 2 – 4sin2x cos2x + 2sin4x cos4x – 1 + 4sin2x cos2x – 4sin4x cos4x + 2sin4x cos4x =1. Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x. Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức a. Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt. b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70°. Hướng dẫn: Ta có: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70° =cos10°.cos30°.12cos120o+cos20o =cos10o.32.12−12+cos20o =34−cos10o2+cos10ocos20o =34−cos10°2+cos30°+cos10°2 =34.cos30°2 =34.34=316 Ví dụ 2: Cho cos2α=23. Tính giá trị của biểu thức P=cosα.cos3α. Hướng dẫn: Ta có: P=cosα.cos3α=12cos2α+cos4α =12cos2α+2cos22α−1 =122cos22α+cos2α−1 =122.232+23−1=518 3. Bài tập tự luyện a. Tự luận Câu 1: Cho x+y+z=π, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz. Hướng dẫn: Từ giả thiết, ta có: x+y+z=π⇔x+y=π−z ⇒tanx+y=tanπ−z ⇔ tanx+tany1−tanx.tany=−tanz ⇔tanx+tany=−tanz+tanx.tany.tanz ⇔tanx+tany+tanz=tanx.tany.tanz Suy ra đpcm. Câu 2: Cho sinx+siny=2sinx + y, với x+y≠kπ, k∈ℤ. Chứng minh rằng: tanx2.tany2 = 13. Hướng dẫn: Từ giả thiết, ta có: sinx+siny=2sinx+y⇔2sinx+y2.cosx−y2 =4sinx+y2.cosx+y2 ⇔cosx−y2=2cosx+y2 (do x+y≠kπ,k∈ℤ) ⇔cosx2.cosy2 +sinx2.siny2 =2cosx2.cosy2 −sinx2.siny2 ⇔3sinx2.siny2=cosx2.cosy2 ⇔tanx2.tany2 = 13 Suy ra đpcm. Câu 3: Cho sinα=13 với 0<α<π2. Tính giá trị của cosα+π3. Hướng dẫn: Ta có: sin2α+cos2α=1⇒cos2α=23⇒cosα=63 (vì 0<α<π2 nên cosα>0). Ta có: cosα+π3=12cosα−32sinα =12⋅63−32⋅13=16−12=2−626 Câu 4: Tính giá trị biểu thức M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113°. Hướng dẫn: M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113° =cos–53°.sin23°–360°+sin−53°+360°.sin90°+23° =cos–53°.sin23°+sin−53°.cos23° =sin23°−53°=−sin30°=−12 Câu 5: Cho số thực α thỏa mãn sinα=14. Tính sin4α+2sin2αcosα. Hướng dẫn: Ta có: sin4α+2sin2αcosα =2sin2αcos2α+2sin2αcosα =2sin2αcos2α+1cosα =4sinαcosα1−2sin2α+1cosα =4sinαcos2α(2−2sin2α) =4sinα1−sin2α2−2sin2α =81−sin2α2sinα =81−1162.14=225128 Câu 6: Rút gọn biểu thức P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a. Hướng dẫn: P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a =2cos3acos2a+2cos3a2sin3acos2a+2sin3a =2cos3acos2a+12sin3acos2a+1 =cos3asin3a=cot3a Câu 7: Chứng minh biểu thức A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x không phụ thuộc vào x. Hướng dẫn: Ta có: A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x =1−tan2x24tan2x−14tan2x⋅1cos2x2 =1−tan2x24tan2x−1+tan2x24tan2x =1−tan2x2−1+tan2x24tan2x =−4tan2x4tan2x=−1 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến. Câu 8: Rút gọn biểu thức A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 . Hướng dẫn: Ta có: A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 =cos4α+3sin4α3sin4α−cos4α =12cos4α+32sin4α32sin4α−12cos4α =sin4α+30°sin4α−30° Câu 9: Biến đổi biểu thức sinα−1 thành tích các biểu thức. Hướng dẫn: Ta có: sinα−1=sinα−sinπ2 =2cosα+π22sinα−π22 =2cosα2+π4sinα2−π4. Câu 10: Biết sinβ=45, 0<β<π2 và α≠kπ. Chứng minh biểu thức: A=3sinα+β−4cosα+β3sinα không phụ thuộc vào α. Hướng dẫn: Ta có 0<β<π2sinβ=45⇒cosβ=35 A=3sinα+β−4cosα+β3sinα =3(sinαcosβ+cosαsinβ)−4(cosαcosβ−sinαsinβ)3sinα =335sinα+45cosα−435cosα−45sinα3sinα =5sinα3sinα=53 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α. b. Trắc nghiệm Câu 1: Kết quả nào sau đây sai? A. sinx+cosx=2sinx+π4 B. sinx−cosx=−2cosx+π4 C. sin2x+cos2x=2sin2x−π4 D. sin2x+cos2x=2cos2x−π4 Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. cot2x=cot2x−12cotx B. tan2x=2tanx1+tan2x C. cos3x=4cos3x−3cosx D. sin3x=3sinx−4sin3x Câu 3: Nếu sinx+cosx=12 thì sin2x bằng A. 34. B. 38. C. 22. D. −34. Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b. Biết cosa=13, cosb=14. Giá trị cosa+b.cosa−b bằng: A. −113144. B. −115144. C. −117144. D. −119144. Câu 5: Cho cosx=0. Tính A=sin2x−π6+sin2x+π6. A. 32. B. 2. C. 1. D. 14. Đáp án:
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
