Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) + Cho đường thẳng Δ đi qua điểm  + Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là : Quảng cáo 1. Góc giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó: · Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→ · Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→ · Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi: 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Trong đó: · Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→ · Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→ · Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ,ta có: Quảng cáo 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương u→. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Trong đó: ·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→ · Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→ ·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là: 1. Phương pháp giải Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì + Phương trình tham số của đường thẳng d: + Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là: * Chú ý: + Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥(α) + Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud→ = uΔ→ làm vecto chỉ phương . Quảng cáo 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: B. Phương trình tham số của đường thẳng d: C. Phương trình tham số của đường thẳng d: D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: Hướng dẫn giải: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: Trong đó t là tham số Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng? A. Vậy phương trình tham số của ∆ là B. Phương trình chính tắc của ∆ là C. Vậy phương trình tham số của ∆ là: D. Phương trình chính tắc của ∆ là Hướng dẫn giải: Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là: u∆→ = nα→ = (2; -1;1) Vậy phương trình tham số của ∆ là Phương trình chính tắc của ∆ là Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2) B. Vậy phương trình tham số của d là C. Phương trình chính tắc của d là D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc Hướng dẫn giải: Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = ( 2; -2; -1) Vậy phương trình tham số của d là Phương trình chính tắc của d là Chọn D. 1. Phương pháp giải Cách 1: + Cả hai trường hợp đều suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥nQ→ Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→] + Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d. + Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉ phương => phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Cách 2: Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình: phương trình (P) và Phương trình (Q) (*) Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d Hướng dẫn giải: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*) Ta có hệ Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d. Do uα→ ( 1;-3; 1); n'α→( 1; 1; -1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2) Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2) Vậy phương trình tham số của d là: Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz). Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: Đặt z= t ta được: Chọn A. 1. Phương pháp giải Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên Suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥ ud'→ Mà d’ không vuông góc với (P) Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud'→] + Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương => phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP→(1; 1; -1) Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud'→(1; 3; 2) Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud'→] =( 5; -3; 2) d đi qua điểm M (1; 2; -1) Vậy phương trình đường thẳng d là Chọn B. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là nOxy→(0; 0; 1) Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud'→(1; -2; 1) Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud'→;nOxy→] = ( 2; 1; 0) d đi qua điểm M (0; 1; 2) Vậy phương trình đường thẳng d là Chọn C. 1. Phương pháp giải + Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→ + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): nP→; nQ→ + Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→] + Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→ => phương trình đường thẳng d: 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: Hướng dẫn giải: + Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→( 1; 2; -1) Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n→( 1; -2; 3). + Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [u∆→; n→] = ( 4; - 4; - 4) chọn ( 1; -1; -1) . => Phương trình đường thẳng d cần tìm Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : Hướng dẫn giải: + Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P): Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆. Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được: - 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0 ⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1) + Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến uP→( 1; 2;-3) + Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→( 1; 1; -1) + Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = (1; -2; -1) + Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2; -1) Vậy phương trình tham số của d là: Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp |
