Ví dụ 1: Show
Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\) Lời giải: Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\) Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\) \(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\) Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\) Ví dụ 2: Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\) Lời giải: Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: \({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\) Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\) Ví dụ 3: Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\). Lời giải: \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1) Đặt \(t = {3^x} > 0\). Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\) Ví dụ 4: Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\) Lời giải: Chia 2 vế của phương trình cho ta được: \({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\) Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\) Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R. Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\) Ví dụ 5: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\) Lời giải: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\) \(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\). Ví dụ 6: Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\) Lời giải: Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\) Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\) Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 7: Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\) Lời giải: Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\) Do đó ta có: \(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\) Ví dụ 8: Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) Lời giải: ĐK: \(x>1\) Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) \(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Mặt khác \(f(2) = 3\) Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau. >>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10 Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyếtBất phương trình mũ cơ bảnBất phương trình mũ có dạng cơ bản là ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1. Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng ax > b như sau:
Bất phương trình lôgarit cơ bảnBất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là logax > b (hoặc logax < b; logax ≥ b; logax ≤ b). Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1. Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình logax > b theo 2 trường hợp như sau:
Nguyên Hàm Ln x Là Gì? Tính Nguyên Hàm Ln, Cách Giải Bài Tập Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = ax và b = logaa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.
>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgaritSau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn. Cách giải bất phương trình mũ
a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x) \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases} \end{array} \right. Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2-x2+3x < 4 \begin{aligned} &2^{-x^2+3x}<2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2 ⇔ x^2 - 3x + 2 > 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\ & \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned} Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: \left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79 \begin{aligned} &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^1 \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\ &\text{Vậy S = }[12 ;1]. \end{aligned}
αa2f(x) + βaf(x) + λ = 0. Đặt t = af(x), (t > 0). Ví dụ: Giải bất phương trình 4x – 3.2x + 2 > 0. Đặt t = 2x (t > 0 ), ta được bất phương trình: t2 – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2 ⇔ 0 < 2x < 1 hoặc 2x > 2 ⇔ x < 0 hoặc x > 1. Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; +∞).
\begin{aligned} &a^{f(x)}>b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< log_ab \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> log_ab \end{cases} \end{array} \right.\\ &a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x).log_ab \end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases} \end{array} \right. \end{aligned} Ví dụ: Giải bất phương trình 2x-1 > 3 2x-1 > 3 ⇔ log22x-1 > log23 ⇔ x – 1 > log23 ⇔ x > log23 + 1 ⇔ x > log26 Vậy S = (log26; +∞). Cách giải bất phương trình lôgarit
log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x)\end{cases}\\ \begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases} \end{array} \right.\\ Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log8(4 – 2x) ≥ 2. Lý thuyết về hàm số liên tục | SGK Toán lớp 11 log8(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 82 ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30. Vậy S = (-∞; -30] Ví dụ 2: Giải bất phương trình log0,5(3x – 5) > log0,5 (x + 1). \begin{aligned} &log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\ ⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ x<3\end{cases}\\ ⇔\ &\frac53 < x <3\\ &\text{Vậy S }= \left(\frac53; 3\right). \end{aligned}
Với 0 < a ≠ 1. logaf(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x) Ví dụ: Giải phương trình log5(5x – 4 ) = 1 – x \begin{aligned} &log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\ &\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\ ⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1 \end{aligned} Giải bài tập sách giáo khoaBài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12 \text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0 \begin{aligned} &\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\ & t+\frac{1}{t}-3<0\\ &\Leftrightarrow \frac{t^2-3t+1}{t}<0\\ &\Leftrightarrow t^2-3t+1<0 (do\space t>0)\\ &\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt5}{2} < t <\frac{3-\sqrt5}{2}\\ &\Leftrightarrow log_2\frac{3-\sqrt5}{2}< x< log_2\frac{3+\sqrt5}{1} \end{aligned} Bài 1 trang 89 SGK Toán Giải Tích 12 a. \begin{aligned} & 2^{-x^2+3x}<4\\ &\Leftrightarrow 2^{-x^2+3x}<2^2\\ &\Leftrightarrow -x^2+3x<2\\ &\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\\ &x<1\space hoặc\space x>2 \end{aligned} b. \begin{aligned} &\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\ &\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1 \end{aligned} c. \begin{aligned} &4^x-3.2^x+2>0\\ &\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\ &\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\ &\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x<1\\ &\Leftrightarrow x>1\space hoặc\space x>0\\ &\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin) \end{aligned} Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon EducationMarathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 6 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.
Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K. Các khóa học online tại Marathon EducationTrên đây là chia sẻ về các kiến thức cơ bản về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng với các thông tin hữu ích này sẽ giúp các em có thêm tự tin trong việc học môn Toán. Chúc các em học tốt và đạt được nhiều thành tích cao! |