Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng toán cơ bản, giúp cho người học toán có một tư duy tốt sau này. Hôm nay Kiến xin gửi đến các bạn về một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn . Bài gồm 2 phần phần : Đề và hướng dẫn giải . Các bài tập đa số là cơ bản để các bạn có thể làm quen với phương trình hơn. Các bạn cùng tham khảo với Kiến nhé Show I. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn ( Đề )Bài 1: phương trình 2x - 1 = 3 có nghiệm duy nhất là ? A. x = - 2. B. x = 2.C. x = 1. D. x = - 1. Bài 2: Nghiệm của phương trình A. y = 2. B. y = - 2. Bài 3: Giá trị của m để phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 là ? A. m = 3. B. m = 1. Bài 4: Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là? A. S = { 2 }. B. S = { - 2 }. Bài 5: x =
Bài 6: Giải phương trình: A. x = 2 B. x = 1 Bài 7: Tìm số nghiệm của phương trình sau: x + 2 - 2(x + 1) = -x A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Bài 8: Tìm tập nghiệm của phương trình sau: 2(x + 3) - 5 = 4 – x A. S = {1} B. S = 1C. S = {2} D. S = 2 Bài 9: Phương trình sau có 1 nghiệm Bài 10: Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn số x ?
Bài 11: Phương trình nào dưới đây không là phương trình bậc nhất?
II. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn ( Hướng dẫn giải )Câu 1: Hướng dẫn giải: Ta có: 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 1 + 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = Vậy nghiệm là x = 2. Chọn đáp án B. Câu 2: Hướng dẫn giải: Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ y = 2. Vậy nghiệm của phương trình của y là 2. Chọn đáp án A. Câu 3: Hướng dẫn giải: Phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 Khi đó ta có: 2.( - 1 ) = m + 1 ⇔ m + 1 = - 2 ⇔ m = - 3. Vậy m = - 3 là đáp án cần phải tìm. Chọn đáp án C. Câu 4: Hướng dẫn giải: Ta có: - 4x + 7 = - 1 ⇔ - 4x = - 1 - 7 ⇔ - 4x = - 8 ⇔ x = Vậy S = { 2 }. Chọn đáp án A. Câu 5: Hướng dẫn giải: + Đáp án A: 3x - 2 = 1 ⇔ 3x -3= 0 ⇔ x = 1 → Loại. + Đáp án B: 2x - 1 = 0 ⇔ 2x -1= 0 ⇔ x = + Đáp án C: 4x + 3 = - 1 ⇔ 4x = - 4 ⇔ x = - 1 → Loại. + Đáp án D: 3x + 2 = - 1 ⇔ 3x = - 3 ⇔ x = - 1 → Loại. Chọn đáp án B. Câu 6: Chọn đáp án A Câu 7: Hướng dẫn giải: Ta có: x + 2 - 2(x + 1) = -x ⇔ x + 2 - 2x - 2 = -x ⇔ -x = -x (luôn đúng) Vậy phương trình sẽ có vô số nghiệm. Chọn đáp án D Câu 8: Câu 9: Câu 10: Hướng dẫn giải: Đáp án A:chắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có hai biến x, y. Đáp án B: là phương trình bậc nhất vì x – 3 = -x + 2 ⇔ 2x – 5 = 0 có a = 2 ≠ 0. Đáp án C: chắc chắn không phải phương trình bậc nhất vì bậc của x là mũ 2. Đáp án D: chắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến x và biến y. Đáp án cần chọn là: B Câu 11: Hướng dẫn giải: Đáp án A: 2x – 3 = 2x + 1 ⇔ (2x – 2x) – 3 – 1 = 0 ⇔ 0x – 4 = 0 có a = 0 sẽ không là phương trình bậc nhất 1 ẩn Đáp án B: -x + 3 = 0 có a = -1 ≠ 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án C: 5 – x = -4 ⇔ -x + 9 = 0 có a = -1 ≠ 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án D: x2 + x = 2 + x2 ⇔ x2 + x - 2 - x2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 có a = 1 ≠ 0 nên là phương trình bậc nhất. Phương trình gồm nhiều phương trình khác nhau. Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc hai…. Kiến đã soạn một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các bạn cũng cố lại lý thuyết, nhận biết về phương trình bậc nhất. Các bạn hãy đọc thật kỹ để có thêm kiến thức sau này vận dụng vào bài thi và kiểm tra nhé. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập
Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn. Xem thêm: Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
Sau đây, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ. 1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tíchVí dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} & \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\ \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l} 1 – \sqrt {x + 1} = 0\\ \sqrt {x + 3} – 2x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $ Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1 \end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $ Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$ Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\ \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0 \end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $ Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2} \end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$. Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\ \Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0 \end{array}\] Đáp số. $x=2$. Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2. Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $. 2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trìnhGiải các phương trình, bất phương trình sau: Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $ Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$ Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$ Bài 4. Giải BPT $ \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{x-11}\ge \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{2x-9} $ Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$ Bài 6. Giải BPT $\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{1+x} \right)}^{2}}}>x-4$ Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $ Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích. Đáp số. $ x=0,x=-1 $ Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$ Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$ Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\ \Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 1. \end{array}\] Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $ Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$… Đáp số. $ x=5,x=4 $ Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $ Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $ Đáp số. $ x=1,x=2 $ Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+3x}+2 \sqrt{ x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5} $ Hướng dẫn. \[\begin{array}{l} x\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – \sqrt {\frac{{(x + 2)(x + 3)}}{x}} + 2\sqrt {x + 2} – 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – 2} \right) = 0 \end{array}\] Đáp số. $ x=1,x=2 $ Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$ Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $ Đáp số. $x=0,x=1$ Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $ Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$ Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $ Đáp số. $x=1$ Bài 16. Giải phương trình $ 2 x^2-6x+10-5(x-2)\sqrt{x+1}=0 $ Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l} 2{(x – 2)^2} + 2(x + 1) – 5(x – 2)\sqrt {x + 1} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2(x – 2) – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {(x – 2) – 2\sqrt {x + 1} } \right) = 0 \end{array}\] Đáp số. $ x=3,x=8 $ Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $ Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$ Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $ Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $ Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$ Đáp số. $ x=1,x=-2 $ Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $ Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $ Đáp số. $x=3$ Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $ Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $ Đáp số. $x=1,x=2$ Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $ Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $ Đáp số. $x=1$ Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $ Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$ Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }} \end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$ Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$ Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$ Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$ Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$ Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $ Đáp số. $x=1$ Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$ Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$ Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$ Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$ Đáp số. $x=1$ Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$ Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$ Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$ |
