10:47:0412/07/2021 Show
Phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt khi biệt thức delta lớn hơn 0, nhưng để 2 nghiệm của PT bậc 2 đều âm thì cần điều kiện gì? Bài viết này sẽ giải đáp cho câu hỏi: Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm khi nào? Điều kiện để PT bậc 2 có 2 nghiệm âm là gì? * Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (với a≠0). Theo như Vi-ét các em đã biết, nếu phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì: * Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm khi nào? - Điều kiện để PT bậc 2 có 2 nghiệm âm phân biệt là:
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng Δ≥0. - Với yêu cầu pt bậc 2 có 2 nghiệm âm thì đề bài toán thường cho có chứa tham số m. * Ví dụ: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + m2 + m = 0, (m là tham số) (*) Tìm m để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm phân biệt. > Lời giải: - Điều kiện để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm phân biệt: Với Δ' > 0 ⇔ m2 - (m2 + m) >0 ⇔ -m > 0 ⇔ m < 0 Với S < 0 ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0 Với P > 0 ⇔ m2 + m > 0 ⇔ m(m + 1) > 0 ⇔ m < -1 hoặc m > 0. Kết hợp lại ta được: m < -1. Vậy với m < -1 thì phương trình (*) có 2 nghiệm âm phân biệt. Các em có thể kiểm tra ngược lại bài toán trên xem kết quả mình làm thế nào nhé? ta thử chọn m = -2 (thỏa m<-1) và thế vào phương trình (*) giải phương trình (*) này xem có 2 nghiệm dương phân biệt hay không nhé??
Trên đây là bài viết giải đáp câu hỏi: Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm khi nào? điều kiện để PT bậc 2 có 2 nghiệm âm là gì? KhoiA.vn Hy vọng các em có thể ghi nhớ và vận dụng vào việc giải bài toán tương tự. TagsBài viết khác
Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé! Phương trình có nghiệm là gì?Định nghĩa phương trình có nghiệm
\(f(x_{1}, x_{2},…) = g(x_{1}, x_{2},…)\) (1) \(h(x_{1}, x_{2},…) = f(x_{1}, x_{2},…) – g(x_{1}, x_{2},…)\) (2) \(h(x_{1}, x_{2},…) = 0\) (3) \(ax^{2} + bx + c = 0\) (4) Trong đó \(x_{1}, x_{2}\),… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) có \(f(x_1,x_2,…)\) là vế trái, \(g(x_1,x_2,…)\) là vế phải. Ở (4) ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.
Công thức tổng quát
 Điều kiện để phương trình có nghiệmĐiều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:
Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm
Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm
Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệmDạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệmVí dụ 1: Cho phương trình \(x^{2} – 2(m+3)x + 4m-1 =0\) (1). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương Cách giải: Phương trình (2) có hai nghiệm dương \(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+3)^{2} – (4m-1)\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2(m+3)>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\) Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\) (1) Cách giải: Đặt \(x^{2} = y \geq 0\). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình \(y^{2} + my + 2m – 4 = 0\) (3) có ít nhất một nghiệm không âm. Ta có: \(\Delta = m^{2} – 4(2m-4) = (m-4)^{2} \geq 0\) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm là: \(\left\{\begin{matrix} P>0\\ S<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m-4>0\\ -m<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\) Vậy điều kiện để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm không âm là \(m\leq 2\) \(\Rightarrow\) phương trình (2) có nghiệm khi \(m\leq 2\) Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bàiVí dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên \(\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = \frac{m+1-mx}{2}\) Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\) \(\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\) \(x(m^{2} – 4) = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1)\) Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm Nếu \(\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) thì \(x = \frac{m-1}{m+2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất. Thay trở lại phương trình \(y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\) \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\) Ta cần tìm \(m\in \mathbb{Z}\) sao cho \(x,y\in \mathbb{Z}\) Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \(\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\) Các giá trị này thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) Vậy \(m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\) Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt! Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
Xem thêm: Please follow and like us:
|
