Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng \(G(x,y,yy’,y”)=0(*)\) hoặc \(y”=f(x,y,y’)\)
i. Phương trình có vế phải không phụ thuộc y, y’ có dạng: \(y” = f(x)\) \(\Rightarrow y” = \int {f(x)dx + {C_1}} \Rightarrow y = \int {\left[ {\int {f(x)dx} } \right]dx + {C_1}x + {C_2},\,{C_1},{C_2}} \in R\) Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình \(y” = cos2x\) thỏa (D): \(y(0) = 0, y'(0) = 1\) Giải \(y’ = \int {\cos 2xdx + {C_1}} = \frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}\) \(\Rightarrow y = \int {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}} \right)} dx = – \frac{1}{4}\cos 2x + {C_1}x + {C_2}\) Vậy \(y = – \frac{1}{4}\cos 2x + {C_1}x + {C_2}\)là nghiệm tổng quát Vì \(\left\{ \begin{array}{l} y(0) = 0\\ y'(0) = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{4} + {C_2} = 0\\ 0 + {C_1} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = 1\\ {C_2} = \frac{1}{4} \end{array} \right. \) Nên nghiêm riêng thỏa (D) là: \(y = – \frac{1}{4}\cos 2x + x + \frac{1}{4}\) ii. Phương trình có vế phải không chứa y dạng: \(y”=f(x,y’)\) Đặt \(y’= u, y” = u’\) phương trình thành \(u’ = f(x,u)\) Đây là phương trình cấp 1. Ví dụ: Giải phương trình: \(y” = x – \frac{{y’}}{x}\) (1) Giải: Đặt y’ = u ⇒ y” = u’. Khi đó (1) thành \(u’ = x – \frac{u}{x} \Leftrightarrow u’ + \frac{u}{x} = x\) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 có nghiệm là: \(u = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{C_1}}}{x}\,\,hay\,\,y’ = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{C_1}}}{x}\) Vậy nghiệm tổng quát là: \(y = \int {\left( {\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{C_1}}}{x}} \right)} = \frac{{{x^2}}}{9} + {C_1}\ln \left| x \right| + {C_2}\) iii. Phương trình có vế phải không chứa x dạng: \(y”=f(y,y’)\) Đặt y’ = u, xem u là hàm của y lấy đạo hàm hai vế theo x, ta có: \(u’ = y” = \frac{{du}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dy}}\frac{{dy}}{{dx}} = u\frac{{du}}{{dy}}\) Khi đó phương trình thành: \(u\frac{{du}}{{dy}} = f(y,u)\). Đây là phương trình vi phân cấp 1 với u là hàm và y là biến độc lập. Nếu phương trình này giải được, ta có: \(u = \varphi (y,{C_1})\,\,hay\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = \varphi (y,{C_1})\,\,\,\,hay\,\,dy = \varphi (y,{C_1})\,\,dx\) Ví dụ: Giải phương trình: \(2yy”+ (y’)^2= 0\). Giải: Đặt \(y’ = u \Rightarrow y” = u\frac{{du}}{{dy}}\), phương trình thành: \(2yu\frac{{du}}{{dy}} + {u^2} = 0\) \(\Leftrightarrow u = 0\,\,\,(hay\,y = c)\,\,(**)\,\,hay\,\frac{{du}}{u} = – \frac{{dy}}{{2y}}\) Ta có \(\,\frac{{du}}{u} = – \frac{{dy}}{{2y}} \Leftrightarrow 2\ln \left| u \right| = \ln \frac{c}{{\left| y \right|}},\,c > 0\) \(\Leftrightarrow u = \frac{{{C_1}}}{{\sqrt {\left| y \right|} }},\,{C_1} = \pm \,c \ne 0 \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}}}{{\sqrt {\left| y \right|} }},\,{C_1} \ne 0\) \( \Leftrightarrow y = {\left( {hx + k} \right)^{\frac{2}{3}}},h,k \in R,h \ne 0\) Nếu cho h = 0 ⇒ họ nghiệm (**) ⇒ nghiệm tổng quát là \(y = {\left( {hx + k} \right)^{\frac{2}{3}}},h,k \in R\) Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng: \(y” + {a_1}y’ + {a_2}y = f(x)\,\,\,\,(a)\)hay \(y” + a(x)y’ + b(x)y = c(x)\)
Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất: \(y” + {a_1}(x)y’ + {a_2}(x)y = 0\,\,\,\,(b)\) Ta có các kết quả: i. Tính chất 1: Nếu \({y_1}(x)\) và \(y_2(x)\) là hai nghiệm của (b) thì \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{C_1}{y_1}(x){\rm{ }} + {\rm{ }}{C_2}{y_2}\left( x \right)\)là nghiệm của (b) (với \({C_1},{\rm{ }}{C_2} \in R\)) Định nghĩa: Các hàm số \({y_1}(x)\) và \(y_2(x)\) được gọi là độc lập tuyến tính trên D nếu tỉ số của chúng không phải là hàng số: \(\frac{{{y_1}(x)}}{{{y_2}(x)}} \ne \,cons\tan t\). Nói cách khác, không tồn tại \(c \in R\) sao cho \({y_1}(x) = c.{y_2}(x)\,\,hay\,\,{y_2}(x) = c.{y_1}(x)\,,\,\forall x \in D\). Ngược lại, ta nói chúng phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ:
ii. Tính chất 2: Nếu \({y_1}(x),{y_2}(x)\) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (b) thì \(y = {C_1}{y_1}(x) + {C_2}{y_2}(x)\) (trong đó \(C_1, C_2\) là 2 hàng số tùy ý) là nghiệm tổng quát của (b). iii. Tính chất 3: Nếu biết một nghiệm riêng \(y_2(x)\) của (b) thì có thể tìm được một nghiệm riêng \({y_2}(x)\) của (b) với \({y_1}(x),{y_2}(x)\) độc lập tuyến tính bàng cách đặt \({y_2}={y_1}(x)u(x)\) Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của \(y” + \frac{{2x}}{{1 – {x^2}}}y’ – \frac{{2x}}{{1 – {x^2}}}y = 0\) biết một nghiệm riêng y1 = x. Giải: Ta tìm một nghiệm \(y_2 = x.u(x)\), thay \(y_2\) vào phương trình đã cho ta có: \((2u’ + xu”) + \frac{{2x}}{{1 – {x^2}}}(u + xu’) – \frac{{2ux}}{{1 – {x^2}}} = 0\) \(\Leftrightarrow u”x(1 – {x^2}) + 2u’ = 0\) Đặt \(z = u’ \Rightarrow z’x(1 – {x^2}) + 2z = 0\)với \(z \ne 0\) phương trình thành \(\frac{{dz}}{z} = – \frac{{2dx}}{{x(1 – {x^2})}} \Rightarrow z = \frac{{{C_1}(1 – {x^2})}}{{{x^2}}},{C_1} \ne 0\) Cho \(C_1=-1\),ta được: \(z = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}} = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}\)hay \(\frac{{du}}{{dx}} = 1 – \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow u = x + \frac{1}{x} + {C_2}\) Chọn \({C_2} = 0 \Rightarrow u = x + \frac{1}{x} \Rightarrow {y_2} = x(x + \frac{1}{x}) = {x^2} + 1\) ⇒ nghiệm tổng quát là \(y = {k_1}x + {k_2}({x^2} + 1)\) với k1, k2 là hàng số tùy ý. Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất Cho phương trình không thuần nhất (a) (ở trên) với \(f(x) \ne 0\) phương trình \(y” + a_1y’ + a_2y = 0\) (a’) được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng (liên kết) với (a).
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (a) dưới dạng \(y = {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2}\) trong đó C1,C2 là các hàm theo x \((*) \Rightarrow y’ = {C_1}y{‘_1} + {C_2}y{‘_2} + C{‘_1}{y_1} + C{‘_2}{y_2}\) Ta chọn C1,C2 sao cho: \(C{‘_1}{y_1} + C{‘_2}{y_2}=0\) \( \Rightarrow y’ = {C_1}y{‘_1} + {C_2}y{‘_2} \Rightarrow {C_1}y'{‘_1} + {C_2}y'{‘_2} + C{‘_1}y{‘_1} + C{‘_2}y{‘_2}\) Thế y, y’, y” vào (a) ta có: \({C_1}(y'{‘_1} + {a_1}y{‘_1} + {a_2}{y_1}) + {C_2}(y'{‘_2} + {a_1}y{‘_2} + {a_2}{y_2}) + {C_1}’y{‘_1} + {C_2}’y{‘_2} = f(x)\) Vì y1, y2 là nghiệm của (a’) nên các biểu thức trong ngoặc bằng \(\Rightarrow {C_1}’y{‘_1} + {C_2}’y{‘_2} = f(x)\) Suy ra \(y= {C_1}y{_1} + {C_2}y{_2} \) là nghiệm của (a) nếu \(C_1,C_2\) là nghiệm của \((**)\left\{ \begin{array}{l} {C_1}'{y_1} + {C_2}'{y_2} = 0\\ {C_1}’y{‘_1} + {C_2}’y{‘_2} = f(x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {y{‘_1}}&{y{‘_2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {C{‘_1}}\\ {C{‘_2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ f \end{array}} \right) \) Nếu y1, y2 độc lập tuyến tính thì \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {y{‘_1}}&{y{‘_2}} \end{array}} \right| \ne 0 \) và (**) có nghiệm \(C{‘_1} = {\varphi _1}(x),C{‘_2} = {\varphi _2}(x), \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = \int {{\varphi _1}(x)dx + {k_1}} \\ {C_2} = \int {{\varphi _2}(x)dx + {k_2}} \end{array} \right. \) Thay C1, C2 vào (*) ta có nghiệm tổng quát của phương trình (a) là: \(y = {k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + {y_1}\int {{\varphi _1}(x)dx + } {y_2}\int {{\varphi _2}(x)dx}\) Cho k1 = k2 = 0 ta được một nghiệm riêng của (a). Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của \(y” – \frac{{y’}}{x} = x\) Giải: Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng \(y” – \frac{{y’}}{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{{y”}}{{y’}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \ln \left| {y’} \right| = \ln \left| {k.x} \right| \Leftrightarrow y’ = C.x\) Biểu thức: \(y = C_1(x).x^2 + C_2(x)\) là nghiệm của phương trình nếu C1, C2 là nghiệm của \(\left\{ \begin{array}{l} C{‘_1}{x^2} + C{‘_2}.1 = x\\ 2C{‘_1}x + C{‘_2}.0 = x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} C{‘_1} = \frac{1}{2}\\ C{‘_2} = – \frac{1}{2}{x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = \frac{1}{2}x + {k_1}\\ {C_2} = – \frac{{{x^3}}}{6} + {k_2} \end{array} \right. \) Nghiệm tổng quát là: \(y = \left( {\frac{x}{2} + {k_1}} \right){x^2} + \left( {\frac{{ – {x^3}}}{6} + {k_2}} \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {k_1}{x^2} + {k_2}\) 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổiPhương trình tuyến tính thuần nhất: \({a_2}y” + {a_1}y’ + {a_0}y = 0\) với a0, a1, a2 là các hằng số và \(a_2 \ne 0\) phương trình trên tương đương: \(y” + {\alpha_1}y’ + {\alpha_0}y = 0\) với \({\alpha _1} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}},{\alpha _0} = \frac{{{a_0}}}{{{a_2}}}\) Ta cần tìm 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv). Ta tìm nghiệm riêng của (iv) dưới dạng y = ekx với k; cần xác định. Phương trình này được gọi là phương trình đạc trưng của (iv). Phương trình (v) có 2 nghiệm k1 k2. Ta có trường hợp sau:
Ví dụ: Giải phương trình: \( y” -7y’ + 10y = 0 \) Giải: Phương trình đặc trưng là: \({k^2} – 7k + 10 = 0 \Leftrightarrow k = 2\,\,\,hay\,\,k = 5\) Nghiệm tổng quát là \(y = {C_1}{e^{2x}} + {C_2}{e^{5x}}\) \(k_1= k_2 \in R\). Khi đó 1 nghiệm riêng của (iv) là \({y_1} = {e^{{k_1}x}}\) Ta tìm nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 dưới dạng: \(\begin{array}{l} {y_2} = {y_1}u(x) = u(x){e^{{k_1}x}}\\ \\ \Rightarrow y{‘_2} = u'{e^{{k_1}x}} + {k_1}u{e^{{k_1}x}},\,y'{‘_2} = u”{e^{{k_1}x}} + 2{k_2}u'{e^{{k_1}x}} + k_1^2u{e^{{k_1}x}} \end{array} \) Thế vào (iv) ta có: \({e^{{k_1}x}}\left[ {u” + (2{k_1} + {a_1})u’ + (k_1^2 + {a_1}{k_1} + {a_0})u} \right] = 0\) \(\Rightarrow {e^{{k_1}x}}u” = 0 \Rightarrow u” = 0 \Rightarrow u = Ax + B\) Chọn A = 1, B = 0 ta có \(u = x \Rightarrow {y_2} = x{e^{{k_1}x}}\) ⇒ nghiệm tổng quát là \(y = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_1}x}} = ({C_1} + {C_2}x){e^{{k_1}x}}\) Ví dụ 1: Giải \(y” + 6y’ + 9y = 6{e^{ – 3x}}\) Giải: Phương trình đặc trưng \({k^2} + 6k = 9 = 0 \Leftrightarrow k = – 3\)(nghiệm kép) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là \(\overline y = {e^{ – 3x}}({c_1} + {c_2}x)\)với \(c_1,c_2\in R\) Do k = -3 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (D) có dạng \({y_1} = a{x^2}.{e^{ – 3x}}\) \(\left\{ \begin{array}{l} y{‘_1} = – 3{e^{ – 3x}}a{x^2} + {e^{ – 3x}}(2ax)\\ y'{‘_1} = 9{e^{ – 3x}}.a{x^2} + 6{e^{ – 3x}}(2ax) + 2a.{e^{ – 3x}} \end{array} \right. \) Thế vào (D) và chia 2 vế cho \({e^{ – 3x}}\), ta có \(2a=6 \Rightarrow a=3\) Vậy một nghiệm của (D) là \({y_1} = 3{x^2}.{e^{ – 3x}}\) Suy ra nghiệm tổng quát của (D) là \(y = {y_1} + \overline y = 3{x^2}{e^{ – 3x}} + {e^{ – 3x}}({c_1} + {c_2}x)\) hay \(y = {e^{ – 3x}}({c_1} + {c_2}x + 3{x^2})\) Ví dụ 2: \(y” – 4y’ + 4y = ({x^2} + 2x + 6){e^{2x}}\)có nghiệm riêng có dạng \(y = {x^2}(a{x^2} + bx + c){e^{2x}}\)vì k = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (ứng với \({e^{2x}}\)) Ví dụ 3: \(y” – 6y’ + 9y = (2x + 1){e^{3x}}\)có nghiệm riêng có dạng \(y=x(ax+b){e^{3x}}\) Ví dụ 4: \(y” – 6y’ + 9y = 6{e^{3x}}\)có nghiệm riêng có dạng \(y = a.{x^2}.{e^{3x}}\) \(f(x) = {e^{ax}}\left[ {{P_n}(x)\cos bx + {Q_m}(x)\sin bx} \right]\)với a + ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng: \({y_1} = {e^{ax}}\left[ {R(x)\cos bx + S(x)\sin bx} \right]\) với R(x), S(x) là các đa thức có bậc \(\le max\left\{ {{\rm{n}},m} \right\}\) \(f(x) = {e^{ax}}\left[ {{P_n}(x)\cos bx + {Q_m}(x)\sin bx} \right]\)với a + ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng: \({y_1} =x {e^{ax}}\left[ {R(x)\cos bx + S(x)\sin bx} \right]\) với R(x), S(x) là các đa thức có bậc \(\le max\left\{ {{\rm{n}},m} \right\}\) Ví dụ: Giải \(y” + y = {\cos ^3}x = \frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x\)(E) Giải Vì i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên \(y” + y = \frac{3}{4}\cos x\)(E1) có nghiệm riêng có dạng: \(y_1=x(a cosx+b sinx)\) Suy ra \(\begin{array}{l} y{‘_1} = a{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + bsinx + x( – a\sin x + b{\mathop{\rm cosx}\nolimits} )\\ \\ y'{‘_2} = – 2a\sin x + 2b{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + x( – a\,cosx – bsinx) \end{array} \) Thế vào (E1) ta có: \(2b{\mathop{\rm cosx}\nolimits} – 2a\sin x = \frac{3}{4}\cos x,\forall x \Leftrightarrow b = \frac{3}{8}\)và a = 0 Vậy một nghiệm riêng của (E1) là \({y_1} = \frac{3}{8}x.{\mathop{\rm sinx}\nolimits}\) Vì 3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên \(y” + y = \frac{1}{4}\cos 3x\)(E2) có nghiệm riêng có dạng: \(y_2=c\,cos3x+d sin3x\) Suy ra: \(y{‘_2} = 3d\,\cos 3x\, – 3c\,\sin \,3x;\,\,\,y'{‘_2} = – 9c\,\cos 3x\, – \,9d\,\sin \,3x\) Thế vào (E2) ta có: \(- 8c.\cos 3x\, – 8d\,\sin 3x = \frac{1}{4}\cos 3x,\forall x \Leftrightarrow c = \frac{{ – 1}}{{32}},d = 0\) Vậy một nghiệm riêng của (E2) là \({y_2} = \frac{{ – 1}}{{32}}\cos 3x\) Từ nghiệm riêng của (E1) và (E2) ta có một nghiệm riêng của (E) là \({y_3} = {y_1} + {y_2} = \frac{3}{8}x.{\mathop{\rm sinx}\nolimits} – \frac{1}{{3x}}\cos 3x\) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (E) là \(\overline y = {c_1}\cos x + {c_2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}\)với \(c_1, c_2 \in R\) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (E) là \(y = {y_3} + \overline y = \frac{3}{8}x.{\mathop{\rm sinx}\nolimits} – \frac{1}{{32}}\cos 3x + {c_1}\cos x + {c_2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}\)với \(c_1, c_2 \in R\) Trên đây là nội dung bài giảng Bài 2: Phương trình vi phân cấp II được eLib tổng hợp lại nhằm giúp các bạn sinh viên có thêm tư liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là tư liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài học dễ dàng hơn. |