Có bao nhiêu số dư khi thực hiện phép chia một số tự nhiên bất kì cho số tự nhiên n≠0?

Khi phép chia được giải thích ở cấp số học cơ bản, nó thường được coi là chia một tập hợp các đối tượng thành các phần bằng nhau. Ví dụ, xem xét có mười cái bánh và những cái bánh này sẽ được phân phối đều cho năm người trong một bàn. Mỗi người sẽ nhận được 10/5 = hai cái bánh. Tương tự như vậy, nếu có mười cái bánh, và chỉ có một người tại bàn, người đó sẽ nhận được 10/1 = 10 cái bánh.

Vậy, để chia cho số 0, số bánh mà mỗi người nhận được khi 10 cái bánh được phân bổ đều cho 0 người trong một bàn là bao nhiêu? Một số từ có thể được xác định chính xác trong câu hỏi để làm nổi bật vấn đề. Vấn đề với câu hỏi này là "khi nào". Không có cách nào để phân phối 10 cái bánh cho không ai cả. Vì thế 10/0, ít nhất là trong số học cơ bản, được cho là vô nghĩa, hoặc không xác định.

• Bunch, Bryan (1997) [1982], Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, Hedrick, E. R.; Noble, C. A. biên dịch (ấn bản 3), Dover
• Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 The Problem of Division by Zero begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 Five Approaches to Division by Zero he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
• Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarski's §53 Definitions whose definiendum contains the identity sign discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p. 183). The * points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y"

• Jakub Czajko (July 2004) *On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.
• Ben Goldacre (ngày 7 tháng 12 năm 2006). “Maths Professor Divides By Zero, Says BBC”.
• To Continue with Continuity Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.