§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Ẩn A. Kiến thức cần nhó ; * Bất phương trình bậc nhất mọt ấn là bát phương trình có dạng Ị ax + b 0. ax + b 0) trong đó a, b là hai số dã cho, a* 0. * Hai quy tắc biến đối bất phương trình: Khi chuyển một hạng tú' của bất phương trình từ vế này sang vế kia phai đổi dâu hạng tứ đó. Khi nhãn cả hai vế của một bất phương trình với một số khác 0, ta phủi: + Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu sô’ đó dương; + Đổi chiều bất phương trình nêu sô’ đó ám. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Giai các bất phương trình sau : 3x - 5 > 0 ; 3 4x-4<0; -5x-3 < 0; 3 5 Giải d) -2x + 6 > 4x - 2 . a) 3x - 5 > 0 3x > 5 X > . Tập nghiệm của bất phương trình là 5/ X > - 5 b) -5x-3 5x >- Tập nghiệm của bất phương trình là s = 2 3 _ 2 3 9 c) — X — — x< — . 3 5 35 10 8/2 X e Rịx > 5 ( , , 9Ì Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = ; d) —2x + 6 > 4x — 2 6x X < . 4 + 6 > 4x - 2 6x < 8 X < — . n 5 ập ng hiệm cua bất phương trình là s = <' X 6 Rj X < — ị . Ví dụ 2. Giái các bất phương trình sau : X 2-3x a) - 2 4 5x-l 3x x-3 x + c) _— + 2-1 > _— + 4 2 4 3 Gi di X 2-3x .c bất phương trình sau : — 3x 3x +1 3x + 2 -—— > 0; b) — a) — - >0o2x-2 + 3x>0c5 5x>2x> 2 4 Tập nghiệm cùa bất phương trình là S = ịxeR|x>ỹj-; 2 4 5 10(3x + l)-5(3x + 2)-4(3x+ 3) < 0 3 0 X -t-10 — 15 X — 10 — 12 X — 12 < 0 « 3x X < 4. Tập nghiệm cua bát phương trình là s = |x e R| X < 4J; 5x -1 3x X -3 X +1 —- 1——- > —-—I—-— 4 2 4 3 «3(5x-l) + 6.3x >3.(x-3) + 4.(x + l) 15x -3 +1 8x > 3x - 9 + 4x + 4 o 15x +1 8x - 3x - 4x > -9 + 4-3 26x > -8 X > —7-. 13 Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ị X e l&l X > - — ị . 5B-Để học..Toấn 8/2 Ví dụ 3. Với giá trị nào của m hất phương trình sau có nghiệm ? mx-2 m2 + m . Giải, a) Ta có mx -2 (m -1) X < 5 . m-1 - \ếu m -1 m - Nếu m-l=om = l thì bất phương trình trư thành Ox < 5, bất phương trình nghiệm đúng với mọi girt trị của X. Nếu m - 1 > 0 m > 1 thì bất phương trình có nghiệm X < m-1 5 Vậy bất phương trình luôn có nghiệm. b) Ta có 2mx - 4 > m2 + m 2mx > m2 + m + 4 . - Nếu m = 0 thì ta có bất phương trình Ox >4, bất phương trình vô nghiệm. Nếu m > 0 thì bất phương trình có nghiệm X > \ệ'u m < 0 thì bất phương trình có nghiệm X < Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 0 . 2m m2 +m + 4 zm m2 +-m + 4 c. Hướng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 19. Giải: a) X - 5 > 3 X > 5 + 3 X > 8 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = {x e ]R|x > 8}. X - 2x x-2x + 2xx<4. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e R|x <4}. -3x > -4x + 2 -3x + 4x > 2 X > 2. Tập nghiệm cua bất phương trình là s = |x e.K|x > 2 ị. cl)8x + 28x + 2-7xxx<-3. Tập nghiệm cưa bất phương trình là s - |x e Rịx < -3}. Bài 20. Bài 21. Bài 22. Bài 23. Bài 24. Giải: a) 0,3x > 0.6 0.3x.—!— > 0,6.—!— X > 2. 0,3 0,3 Tập nghiệm cua bất phương trình là s = Ịx e R|x > 2}. -4x -4x.f--) > 12.f-- |ox>-3. 4j { 4J Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = |x e K|x > -3}. -X >4 (-x).(-l) X <-4 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = -JX e K|x < -4|. 1.5x >-9 l,5x.-!—>-9,—!- X >-6. 1.5 1,5 Tập nghiệm cứa bất phương trình là S = {xeR|x> -6j. Gicíi: a) Cùng tập nghiệm s = |x |x > 4 j . b) Cùng tập nghiệm s - Ịx|x >-2|. Giiii: a) 1,2x X X < -5 . 1.2 2x > -4 + 3 x > tW/////////////////( -1 0 3 , . '4 4 Đáp sô : a) X > — ; b)x —; d) X < 3 3 Gidi : a) 2x -1 > 5 2x > 1 + 5 2x > 6 X > 3. Tập nghiệm của bất phương trình là s = ịx £ ỊR|x > 3} . 3x - 2 3x X < 2 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x < 2} t-j I Ch 2-5x2-17-15x>-3. Bài 25. Bài 26. Bài 27. Bài 28. Bài 29. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e IR|x > -3}. 3-4x > 19 3-19 > 4x «-16 > 4x X <-4. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e K|x < -4}. Giải: a) X > -6 x.-| > (-6) .^ X > -9 . 3 2 2 Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x > -9}. -|x20.(-|}«x>-24. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e lR|x > -24}. 3--x>2«3-2> — X 1 > — X X < 4. 4 4 Tập nghiệm của bất phương trình là S = }xeK|x<4}. 5-—X > 2 5-2 > - X 3 > - X c=> X < 9. '3 3 Tập nghiệm của bất phương trình là s = }x e R|x < 9}. Gidi: a) X < 12; 2x < 24; X - 5 < 7. b) X > 8; 3x > 24; 2x - 1 > 15. Hướng dẫn : Rút gọn bất phương trình đưa về dạng đơn giản rồi kiểm tra. a) Có; b) Không. Hướng dẫn : Tập nghiệm của bất phương trình này là s = Ị X I X * 0}. Giải : a) 2x - 5 > 0 2x > 5 X > Ậ. / 2 Giá trị của X cần tìm là s = 5' X X > — > 2J b) -3x -3x + 7x4xx< — 4 X 5 X < — 4 Giá trị của X cấn tìm là Bài 30. Bài 31. Bài 32. Bài 33. Bài 34. Giúi : Gọi sô' tờ giấy bạc loại 5000 đồng là X ỉx e N ) thì sò tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 - X. Theo bài ta có bất phương trình: 2000(15-x) + 5000x <70000 2(15-x) + 5x 30-2x + 5x < 70 3x X < —— a 13.3. 5 Vậy sô' tờ giấy bạc loại 5000 đồng có thế là một trong các sô' sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13. Đớ/J> .sơ ; a) X -4; c) X <-5; d)x<-l. Giúi: a) 8x + 3(x +1) > 5x ~(2x -6) 8x + 3x + 3 > 5x -2x + 6 8x + 3x-5x + 2x > 6-3 8x > 3 o X > -. 8 Tập nghiệm của bất phương trình là b) 2x(6x-l) > (3x-2)(4x+ 3) o 12x2 -2x > 12x2 +9x-8x -6 12x2 -2x-12x2 -9x + 8x >-6 «- -3x > -6 X < 2. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e K| X < 2|. Hướng ílần : Gọi điếm thi môn Toán là X, ta có bất phương trình : (2x +2.8 + 7 + 10) : 6 > 8. Đá]) số: X > 7,5. Giiii: a) Sai tại bước -2x > 23 23 + 2 (nhầm -2 là hạng tử), b) Sai tại bước đầu tiên, nhân với sô' âm mà không đổi chiều bất đẳng thức. D. Bài tập luyện thêm 1. Giai các bát phương trình sau: a)-2x + 70; c) — X + — > — 3: ■ n s 6 5 Giai các bất phương trình sau: d) 5x - 3 > -2x + 7 . 3x-l x + 5 5' 7 . -2x + 5 l-5x x-7 ' n 4 3 8 , X - 2 X — 3 X — 4 X - 5 d) — —— 3 3 / y 2 3 4 5 3. Tun m dế hai bất phương trình sau có đúng một nghiệm chung : 2 2 X - 3 > — và 4-m + 3x<0. 4* Tun m dê’ bất phương trình mx-5<3+x-m có nghiệm thoả mãn X <2. Hương đản - Đáp sô 1. a) -2x + 7x>ị. 2 a) <0; -2x + 5 x-3 2x + l 2x—2 c) — 2_ Tập nghiệm cua bất phương trình là s = X e s! X > — b) 4x + 6 > 0 4x > -6 X > - —. 2 xelR |x>--[ V 1 2; 5 2, 102 c) -—X + — > -3 -25x + 12 > -90 -25x > -102 X < . AS 25 ình là s = |x e s| X < ị 1 6 5 Tập nghiệm cua bất phương trình là d) 5x-3 >-2x + 7 5x + 2x > ' > 10 X > 10 7(3x -l)-5(x + 5) 21x -7-5x -25 < 0 16x X < 2. Tập nghiệm cứa bất phương trình là s = {x e R| X < 2); -2x + 5 l-5x x-7 -——— + — —— > 0 3 8 6(-2x + 5)+ 8(l-5x)-3(x-7) > 0 -12x+ 30 + 8-40x-3x+ 21 >0« -55x >-59» X <ĩ|. 55 Tập nghiệm cứa bất phương trình là s = |x e R| X < ; _■ -2x + 5 x-3 - 2x + l 2x-2 — „ 5 7 9 105(-2x + 5)-63(x-3)>45(2x + l)-35(2x-2) o -21 Ox + 525 - 63x + 189 > 90x + 45 - 70x + 70 -210x-63x-90x + 70x >-525-189 + 45 + 70 599 o-293x >-599 <» X < 777. 293 f 599 Tập nghiệm của bất phương trình là s = -Lx e R| X < x-2x-3x-4 X - 5 — + ——-< — 3 4 5 •o30(x-2)+20(x-3)<15(x-4)-12(x-5) 120 4?' 30x-60 +20x-60 < 15x-60-12x + 60 o 30x + 20x-15x + 12x 47x < 120 » X < Tập nghiệm của bất phương trình là s 47 120 , 2 „11 .11 Tacó 2x-3>4»2x>ụ« x> —. 3 6 m — 4 - m + 3x X < _ - . J Do dó hai bất phương trình có đúng một nghiệm chung khi m - 4 11 _ . _ _ 19 ——2 = — ^ 2(m-4) = 11 o 2m =19«m = ^. 3 6 2 Ta có mx -5 (m-l)x < 8-m . Nếu m -1 = 0 m = 1 thì ta có bất phương trình Ox < 7 , bất phương trình nghiệm dứng với mọi X nên luôn dứng với X < 2. Ị-Ị Nếu m > 1 thì ta có X < -—— dơ dó bất phương trình luôn có nghiệm m -1 thơa mãn X < 2 . 8 1TÌ Nếu m-—-2- do đó bất phương trình có nghiệm m-1 X 8 - m > 2m - 2 m < -2-'Suy ra m < 1. m -1 3 Vậy với mọi m bất phương trình mx-5<3 + x-m có nghiệm thoả mãn X < 2 . Show
Bất phương trình chứa một ẩn rất quen thuộc đối với chương trình học của các bạn học sinh, sinh viên. Không chỉ trong Toán học, bất phương trình này còn rất cần thiết đối với nhiều môn học khác. Thông qua bài viết sau đây của Toppy, các bạn đọc sẽ được tìm hiểu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và tập nghiệm của bất phương trình. Thế nào là bất phương trình một ẩn?Bất phương trình là gì?Trước tiên, hãy cùng tìm hiểu thế nào là bất phương trình nhé. Bất phương trình thường được định nghĩa dựa trên khái niệm mệnh đề một biến (hay còn gọi là hàm mệnh đề). Bất phương trình thường bao gồm những loại sau đây:
Bất phương trình một ẩn là gì?Khái niệmTrước khi tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, các bạn cần nắm rõ khái niệm về bất phương trình một ẩn. Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề so sánh giữa 2 hàm số f(x) và hàm số g(x) trên một trường số thực, là bất phương trình lớp 8 cơ bản trong chương trình học. Việc giải tốt toán 8 bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ tạo nên những tiền đề quan trọng trong việc tìm hiểu các bài toán về bất phương trình phức tạp hơn. Bất phương trình có chứa một ẩn thường được thể hiện dưới 1 trong các dạng sau:
 Bất phương trình một ẩn có 4 dạng cơ bản Cách giảiĐể tìm tập xác định của bất phương trình có một ẩn, ta cần phải tìm điểm giao giữa 2 tập xác định của 2 hàm số f(x) và g(x). Tất cả các bất phương trình một ẩn đều có thể được chuyển về dạng bất phương trình tương đương (điển hình như f(x) > 0, f(x) ≥ 0). Trong bất phương trình 1 ẩn, biến x sẽ được gọi là ẩn. Như vậy, khi nhìn vào một bất phương trình f(x) > 0, với giá trị x = a và f(a) > 0 là một bất đẳng thức đúng thì a sẽ có tên gọi chính xác là nghiệm của bất phương trình có một ẩn. Việc giải bất phương trình lớp 8 thành thạo sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh trong việc giải các loại bất phương trình phức tạp hơn. Như Toppy đã đề cập, bạn có thể chuyển bất phương trình có chứa một ẩn về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) ≥ 0. Khi phân loại bất phương trình có một ẩn nghĩa là phân loại bất phương trình theo hàm f(x).
Bất phương trình bậc nhất một ẩnBất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một loại thuộc các phương trình 1 ẩn, bất phương trình bậc nhất có một ẩn thường được viết dưới dạng sau đây:
Trong dạng bất phương trình này, a và b là 2 số đã được cho trước và a ≠ 0. Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một dạng nhỏ của bất phương trình 1 ẩn Giải bất phương trình bậc nhất một ẩnNắm được cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn là vô cùng quan trọng, giúp các bạn có thể tiếp cận được nhiều dạng bất phương trình phức tạp hơn từ những kiến thức nền tảng. Những quy tắc khi biến đổi bất phương trìnhĐể biến đổi BPT bậc nhất 1 ẩn, bạn cần phải thực hiện theo 2 quy tắc quan trọng là quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số. Quy tắc chuyển vếQuy tắc chuyển vế được phát biểu rất đơn giản, khi bạn chuyển một hạng tử trong bất phương trình từ một vế sang vế còn lại, bạn cần phải đổi dấu của hạng tử đó. Quy tắc nhân với một sốQuy tắc nhân với một số nghĩa là bạn nhân 2 vế của bất phương trình bậc nhất có một ẩn với cùng một số khác 0. Khi đó, bạn cần phải.
Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Áp dụng giải bất phương trình bậc nhất một ẩnSau khi đã áp dụng 2 quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số vào các vế của bất phương trình, các bạn có thể bắt đầu giải BPT bậc nhất 1 ẩn như sau: Bất phương trình có dạng ax + b > 0 ⇒ ax > -b.
Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp tất cả những kiến thức liên quan đến bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn cũng như hướng dẫn giải những dạng bất phương trình. Để tìm hiểu thêm về những thông tin hữu ích khác, hãy truy cập ngay vào trang web https://toppy.vn/ nhé.
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng ToppyVới mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10. Kho học liệu khổng lồ Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS. Học online cùng Toppy Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt! Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững. Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh. |
