Với Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show
 Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và thỏa mãn điều kiện cho trước, trong đó tọa độ A, B, C đã cho Gọi I (x; y; z ) là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C ⇔ IA=IB=IC + Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại ⇒ Tọa độ tâm I, R2 =IA2 ⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm. Bài 1: Cho 3 điểm A ( 2; 0; 1), B (1; 0; 0), C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) Hướng dẫn: Gọi I (x; y; z) là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C ⇔ IA=IB=IC Do tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) nên: x + y + z – 2 = 0 Ta có hệ phương trình Vậy I (1; 0; 1) và R2 =IA2=1 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x-1)2 +y2 +(z-1)2 =1 Bài 2: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A (1; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 6). Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A Hướng dẫn: Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu IB→=(-a;3-b; -c); IC→=(-a; -b;6-c) Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C nên ⇒ I(a;3;6) I đi qua A nên ta có IA = IB ⇔ IA2 =IB2 ⇔ (a-1)2 +32 +62 =a2 +62 ⇔ a=5 Khi đó, I (5; 3; 6) và R2=IA2 =61 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là : (x-5)2 +(y-3)2 +(z-6)2 =61 Bài 3:Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A (0; 8; 0), B (4; 6; 2), C (0; 12; 4) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Hướng dẫn: Do tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) nên I (0; b; c) Mặt cầu đi qua A, B, C nên IA = IB = IC Vậy I (0; 7; 5); R2 =IA2 =26 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x2 +(y-7)2 +(z-5)2 =26
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A(1;0;4). A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\) B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\) D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\)
Ta có: \(\overrightarrow {IA} =(0;-2;7)\)
\(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {53}\)
Mặt cầu có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=IA =\sqrt{53}\) có phương trình là:
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=53\)
Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về cách viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu, cùng tìm hiểu nhé!. Định nghĩa mặt cầu là gì? Lý thuyết phương trình mặt cầuKhái niệm mặt cầu là gì?Mặt cầu được định nghĩa khi với điểm O cố định cùng với một số thực dương R. Khi đó thì tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R sẽ được gọi là mặt cầu tâm O và bán kính R. Ký hiệu: S(O;R) Các dạng phương trình mặt cầuCách viết phương trình mặt cầu trong không gian OxyzTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) Hoặc: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2cz+d=0\) với \(a^{2}+b^{2}+c^{2}> d\) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):
Điểm H được gọi là tiếp điểm. Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện. Xem thêm >>>: Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và đường thẳng \(\Delta\) Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng \(\Delta\):
Xem thêm >>> Viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầuDạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kínhViết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I (x_{0}, y_{0}, z_{0})\) và bán kính R. Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có: (S): \((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2}\) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5 Cách giải Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25\) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3) Cách giải Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính. \(r = \frac{AB}{2} = IA = IB\) Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ \(I(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}) \Rightarrow I(3; -1; 5)\) \(\Rightarrow \vec{IA} = (1; -2; 2)\) \(\Rightarrow R = \left | \vec{IA} \right | = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3\) Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9\) Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Cách giải Gọi phương trình tổng quát (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d\) (1) Mặt cầu (S) có tâm \(I (-a;-b;-c)\) Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \\ 1 + 2c + d = 0 & \\ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \\ -a -b -c -2 = 0 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \\ 2c + d = -1 & \\ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \\ a + b +b c = -2 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -1 & \\ b = 0 & \\ c = -1 & \\ d = 1 & \end{matrix}\right.\) Vậy mặt cầu (S) có phương trình: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0\) Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Cảm ơn các bạn đã đón đọc. Nếu có góp ý và thắc mắc hãy bình luận bên dưới để chúng mình giải đáp nhé <3 Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:
Xem thêm: Please follow and like us:
|
