Bài 2 Hai tam giác bằng nhau Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 1. Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 139, 140 Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 1. Câu 19: Hai tam giác trong hình dưới có bằng nhau hay không? Nếu có, hãy viết kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác đó… Câu 19: Hai tam giác trong hình dưới có bằng nhau hay không? Nếu có, hãy viết kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác đó.  Hai tam giác trên bằng nhau. Ký hiệu: ∆ABC = ∆ EHD Câu 20: Cho ∆ABC = ∆DEF. Viết các cặp cạnh bằng nhau, các cặp góc bằng nhau. Ta có: ∆ABC = ∆DEF Suy ra: AB = DE; AC = DF; BC = EF \(\widehat A = \widehat D;\widehat B = \widehat E;\widehat C = \widehat F\) Câu 21: Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC và một tam giác có ba đỉnh H, K, D. Hãy viết kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác đó, biết rằng AB = KD, \(\widehat B = \widehat K\). Ta có: \(\widehat B = \widehat K\) nên đỉnh B tương ứng với đỉnh K AB = KD nên đỉnh D tương ứng với đỉnh A Suy ra đỉnh C tương ứng với đỉnh H Vậy ∆ABC = ∆ DKH Câu 22: Cho ∆ABC = ∆DMN a) Viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác. b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm, MN = 6cm. Tính chu vi của mỗi tam giác nói trên. a) ∆BCA = ∆ MND; ∆ ABC = ∆DNM; ∆ BAC = ∆ MDN;… b) Vì ∆ABC = ∆ DMN nên AB = DM; AC = DN; BC = MN Mà AB = 3cm, AC = 4cm, MN = 6cm Suy ra: DM = 3cm, DN = 4cm, BC = 6cm Chu vi ∆ABC là: AB + AC + BC = 3 + 4 + 6 = 13 (cm) Chu vi ∆DMN là: DM + DN + MN = 3 + 4 + 6 = 13 (cm)
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Câu 46 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phía B đối với AC) Chứng minh rằng: a) DC = BE b) \({\rm{D}}C \bot BE\) Giải a) Xét ∆ABE và ∆ACD, ta có: AB = AD (gt) AE = AC (gt) \(\eqalign{ & \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr & \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \) Suy ra: ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) DC = BE (2 cạnh tương ứng) b) Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K Ta có: ∆ABE = ∆ADC (chứng minh trên) \(\widehat {ABE} = \widehat D\) (1) Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) Trong ∆KHB, ta có: \(\widehat {KHB} + \widehat {ABE} + \widehat {BKH} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABE} + \widehat {BKH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) Vậy \(DC \bot BE\). Câu 47 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 2\widehat C\). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK Giải Ta có: \(\widehat B = 2\widehat {{C_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) Lại có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì BD là tia phân giác) => \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (1) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) (2) \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) (kề bù) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_3}}\) Xét ∆ABE và ∆ACK, ta có: AB = KC (gt) \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) BE = CA (gt) Suy ra: ∆ABE = ∆ KCA (c.g.c) Vậy: AE = AK (2 cạnh tương ứng) Câu 48 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. Giải Xét ∆AKM và ∆BKC, có: AK = BK (gt) \(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh) KM = KC (gt) Suy ra: ∆AKM = ∆ BKC(c.g.c) \( \Rightarrow \) AM = BC (2 cạnh tương ứng) \(\widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (2 góc tương ứng) Suy ra: AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Xét ∆AEN và ∆ CEB, ta có: AE = CE (gt) \(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh) EN = EB(gt) Suy ra: ∆AEN = ∆ CEB(c.g.c) =>AN = BC (2 cạnh tương ứng) \(\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (2 góc tương ứng) Suy ra: AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Ta có: AM //BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay M, A, N thẳng hàng. (1) AM = AN (vì cùng bằng BC) (2) Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của MN. Giaibaitap.me Page 10
Page 11
Câu 53 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ \({\rm{OD}} \bot AC\), kẻ \({\rm{O}}E \bot AB\). Chứng minh rằng OD = OE. Giải Kẻ \(OH \bot BC\) Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có: \(\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \) Cạnh huyền OB chung \(\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\) (gt) Suy ra: ∆OEB = ∆OHB (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) OE = OH (hai cạnh tương ứng) (1) Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có: \(\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \) Cạnh huyền OC chung \(\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\left( {gt} \right)\) Suy ra: ∆OHC = ∆ODC (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) OH = OD (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD. Câu 54 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng ∆BOD = ∆COE Giải a) Xét ∆BEA và ∆CDA, ta có: BA = CA (gt) \(\widehat A\) chung AE = AD (gt) Suy ra: ∆BEA = ∆CDA (c.g.c) Vậy BE = CD (hai cạnh tương ứng) b) ∆BEA = ∆CDA (chứng minh trên) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng) \(\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{D_2}}\) AB = AC (gt) \( \Rightarrow \) AE + EC = AD + DB mà AE = AD (gt) => EC = DB Xét ∆ODB và ∆OCE, ta có: \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}\) (chứng minh trên) DB = EC (chứng minh trên) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ODB = ∆OEC (g.c.g) Câu 55 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C\). Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng DB = DC, AB = AC. Giải Trong ∆ADB, ta có: \(\widehat B + \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: \(\widehat {{D_1}} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat {{A_1}}} \right)\) (1) Trong ∆ADC, ta có: \(\widehat C + \widehat {{D_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: \(\widehat {{D_2}} = 180^\circ - \left( {\widehat C + \widehat {{A_2}}} \right)\) (2) \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\) \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left( {gt} \right)\) \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\) Từ (1), (2) và (gt) suy ra: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) Xét ∆ADB và ∆ADC, ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) AD cạnh chung \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ADB = ∆ADC(g.c.g) Vậy: AB = AC (2 cạnh tương ứng) DB = DC (2 cạnh tương ứng) Câu 56 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho hình dưới, chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD, BC Giải Hai đường thẳng AB và CD tạo với BD có hai góc trong cùng phía bù nhau \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \) Suy ra AB // CD Ta có: \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) (hai góc trong so le) \(\widehat {{B_1}} = \widehat C\) (hai góc trong so le) AB = CD (gt) Suy ra: ∆AOB = ∆DOC (g.c.g) Suy ra: OA = OD; OB = OC (hai cạnh tương ứng) Vậy O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD và BC. Giaibaitap.me Page 12
Câu 57 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho hình dưới trong đó DE // AB, DF // AC, EF // BC. Tính chu vi tam giác DFE. Giải Xét ∆ABC và ∆ ABF, ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong) AB cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆ ABF (g.c.g) Suy ra: AF = BC = 4 (2 cạnh tương ứng) BF = AC = 3 (2 cạnh tương ứng) Xét ∆ABC và ∆ACE, ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong) AC cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {EC{\rm{A}}}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆CEA (g.c.g) Suy ra: AE = BC = 4 (2 cạnh tương ứng) CE = AB = 2 (2 cạnh tương ứng) Xét ∆ABC và ∆DCB, ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) (so le trong) BC cạnh chung \(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆DCB (g.c.g) Suy ra: DC = AB = 2 (2 cạnh tương ứng) DB = AC = 3 (2 cạnh tương ứng) Ta có: EF = AE + AF = 4 + 4 = 8 DF = DB + BF = 3 + 3 = 6 DE = DC + CE = 2 + 2 = 4 Vậy chu vi ∆DEF là: DE + DF + EF = 4 + 6 + 8 = 18 (đơn vị độ dài) Câu 58 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đường thẳng m vuông góc với AB. Qua B vẽ đường thẳng n vuông góc với AB. Qua trung điểm O của AB vẽ một đường thẳng cắt m ở C và cắt n ở D. So sánh các độ dài OC và OD. Giải Xét ∆AOC = ∆BOD, ta có: \(\widehat {CAO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \) (gt) OA = OB (gt) \(\widehat {AOC} = \widehat {BO{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) Suy ra: ∆AOC = ∆BOD (g.c.g) Vậy OC = OD (2 cạnh tương ứng) Câu 59 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có AB = 2,5cm, AC = 3cm, BC = 3,5cm. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau ở D. Tính chu vi tam giác ACD. Giải Ta có: AB // CD (gt) Suy ra: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {CAB}\) (2 góc so le trong) BC // AD (gt) Suy ra: \(\widehat {{\rm{CAD}}} = \widehat {ACB}\) (2 góc so le trong) Xét ∆ABC = ∆CDA, ta có: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {CAB}\) (chứng minh trên) AC cạnh chung \(\widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ABC = ∆CDA (g.c.g) Suy ra: CD = AB = 2,5(cm) và AD = BC = 3,5 (cm) Chu vi ∆ACD là: AC + AD + CD = 3 + 3,5 + 2,5 = 9 (cm) Câu 60 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB = BE. Giải Xét hai tam giác vuông ABD và EBD, ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {BE{\rm{D}}} = 90^\circ \) Cạnh huyền BD chung \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {EB{\rm{D}}}\left( {gt} \right)\) Suy ra: ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền góc nhọn) Vậy BA = BE (hai cạnh tương ứng) Giaibaitap.me Page 13
Câu 61 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng: a) ∆BAD = ∆ACE b) DE = BD + CE Giải a) Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \) (1) Trong ∆AEC, ta có: \(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {AC{\rm{E}}}{\rm{ = 90}}^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có: \(\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {B{\rm{D}}A} = 90^\circ \) AC = AB (gt) \(\widehat {AC{\rm{E}}} = \widehat {BA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AEC = ∆BDA (cạnh huyền, góc nhọn) b) Ta có: ∆AEC = ∆BDA => AE = BD và EC = DA Mà DE = DA + AE Vậy: DE = CE + BD Câu 62 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng: a) DM = AH b) MN đi qua trung điểm của DE Giải a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \) (1) Trong tam giác vuông AMD, ta có: \(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có: \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \) AB = AD (gt) \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn) Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3) b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \) (4) Trong tam giác vuông AHC, ta có: \(\widehat {AHC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\) Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có: \(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \) AC = AE (gt) \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn) Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng) Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3) Gọi O là giao điểm MN và DE Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có: \(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \) DM = EN (chứng minh trên) \(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong) Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE Vậy MN đi qua trung điểm của DE. Câu 63 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng: a) AD = EF b) ∆ADE =∆EFC c) AE = EC Giải a) Xét ∆DBF và ∆FDE, ta có ; \(\widehat {B{\rm{D}}F} = \widehat {DF{\rm{E}}}\) (so le trong vì EF // AB) DF cạnh chung \(\widehat {DFB} = \widehat {F{\rm{D}}E}\) (so le trong vì DE // BC) Suy ra: ∆DBF = ∆FED(g.c.g) =>DB = EF (2 cạnh tương ứng) Mà AD = DB (gt) Vậy: AD = EF b) Ta có: DE // BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat B\) (đồng vị) EF // AB (gt) \( \Rightarrow \widehat {{F_1}} = \widehat B\) (đồng vị) \(\widehat {{E_1}} = \widehat A\) (đồng vị) Xét ∆ADE và ∆ EFC, ta có: \(\widehat A = \widehat {{E_1}}\) (chứng minh trên) AD = EF (chứng minh trên) \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\)) Suy ra: ∆ADE = ∆ EFC (g.c.g) c) Vì ∆ADE = ∆ EFC (chứng minh trên) Nên AE = EC (hai cạnh tương ứng) Giaibaitap.me Page 14
Câu 64 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) DB = CF b) ∆BDC = ∆FCD c) DE// BC và \(DE = {1 \over 2}BC\) Giải a) Xét ∆ADE và ∆CFE, ta có: AE = CE (gt) \(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh) DE = FE(gt) Suy ra: ∆ADE = ∆CFE (c.g.c) \( \Rightarrow \) AD = CF (hai cạnh tương ứng) Mà AD = DB (gt) Vậy: DB = CF b) Ta có: ∆ADE = ∆CFE (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (2 góc tương ứng) \( \Rightarrow \) AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Hay AB // CF Xét ∆DBC = ∆CDF, ta có: BD = CF (chứng minh trên) \(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong vì CF // AB) DC cạnh chung Suy ra: ∆BDC = ∆FCD(c. g. c) c) Ta có: ∆BDC = ∆FCD (chứng minh trên) Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng) Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau) BDC = ∆FCD=> BC = DF (hai cạnh tương ứng) Mà \({\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\left( {gt} \right)\). Vậy \({\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\) Câu 65 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC. Hướng dẫn: Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB. Giải
Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K. Nối EK. Xét ∆BEK và ∆NKE, ta có: \(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong vì EN // BC) EK cạnh chung \(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong vì NK // AB) Suy ra: ∆BEK = ∆NKE (g.c.g) Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng) EN = BK (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ADM và ∆NKC, ta có: \(\widehat A = \widehat {KNC}\) (đồng vị vì NK // AB) AD = NK (vì cùng bằng BE) \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\)) Suy ra: ∆ADM = ∆NKC (c.g.c) =>DM = KC (hai cạnh tương ứng) Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM Câu 66 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE. Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc BIC Giải
Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\) \( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) \(\eqalign{ & \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\left( {gt} \right) \cr & \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr} \) Trong ∆BIC, ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) Kẻ tia phân giác \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh BC tại K Suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = 60^\circ \) Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) \(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh) Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)\) BI cạnh chung \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \) Suy ra: ∆BIE = ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆CIK và ∆CID, ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt) CI cạnh chung \(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \) Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID. Giaibaitap.me Page 15
Câu 67 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 a) Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 50°, bằng a ° b) Tính góc ở đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng 50°, bằng a° Giải a) Vì tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau nên số đo của một góc bằng 180° trừ góc ở đỉnh rồi chia cho 2 Ta có: \({{180^\circ - 50^\circ } \over 2} = 65^\circ \) \({{180^\circ - a^\circ } \over 2}\) b) Vì tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng 180° trừ đi hai lần góc ở đáy. Ta có: 180 °– 50°. 2 = 180° – 100° = 80° 180° – a . 2 Câu 68 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 100^\circ\). Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MN // BC. Giải Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\) Ta có: \(\widehat B = {{180^\circ - \widehat A} \over 2}\) \( = {{180^\circ - 100^\circ } \over 2} = 40^\circ \) (1) Mà AM = AN (gt) nên ∆AMN cân tại A => \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) \(\Rightarrow \widehat {AMN} = {{180^\circ - \widehat A} \over 2} = {{180^\circ - 100^\circ } \over 2} = 40^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {AMN}\) Vậy MN // BC (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau). Câu 69 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Chứng minh rằng BM = CN. Giải
Xét ∆ABM và ∆CAN, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat A\) chung AM = AN (cùng bằng một nửa AB, AC) Suy ra: ∆ABM = ∆ACN (c.g.c) Vậy DM = CN (hai cạnh tương ứng) Câu 70 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK . Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng ∆OBC là tam giác cân. Giải Xét ∆ABH và ∆ACK, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat A\) chung AH = AK (gt) Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc tương ứng) \(\eqalign{ & \widehat {ABC} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\left( 2 \right) \cr & \widehat {ACB} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\left( 3 \right) \cr} \) \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) hay ∆BOC cân tại O. Giaibaitap.me Page 16
Câu 71 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Vẽ lại hình bên vào vở rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình bên. Giải
- Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A - Vẽ tam giác đều ABD sao cho D và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa đường thẳng AB - Vẽ tam giác vuông cân ADE sao cho E và B nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng AD. Câu 72 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ∆ADE là tam giác cân. Giải Ta có: ∆ABC cân tại A Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân) Lại có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) (kề bù) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) Suy ra: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) BD = CE (gt) Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c) \( \Rightarrow \) AD = AE (2 cạnh tương ứng) Vậy ∆ADE cân tại A (theo định nghĩa tam giác cân) Câu 73 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt ở AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = BC. Chứng minh rằng BD // EC. Giải Ta có: BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) Lại có: BE = BC (gt) \( \Rightarrow \) ∆BEC cân tại B (theo định nghĩa) \( \Rightarrow \) \(\widehat E = \widehat {BCE}\) (tính chất tam giác cân) ∆BEC ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat E + \widehat {BCE}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Suy ra: \(\widehat {ABC} = 2\widehat E\) Hay \(\widehat E = \widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) Vậy BD // CE (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị như nhau) Câu 74 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tính số đo các góc của tam giác ACD như hình bên. Giải Ta có: ∆ABC vuông cân tại A Suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) Lại có: ∆BCD cân tại B (BC = BD) Suy ra: \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat D\) (tính chất tam giác cân) Trong ∆BCD ta có \(\widehat {ABC}\) góc ngoài tại đỉnh B Do vậy: \(\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat D\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Suy ra: \(\widehat {ABC} = 2\widehat {BC{\rm{D}}}\) \( \Rightarrow \widehat {BC{\rm{D}}} = {{45^\circ } \over 2} = 22^\circ 30'\) Vậy: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = 45^\circ + 22^\circ 30' = 67^\circ 30'\) Giaibaitap.me Page 17
Câu 75 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tạiA) Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD Giải Ta có: ∆ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân) Lại có: AD = AB (gt) =>AD = AC do đó ∆ACD cân tại A \( \Rightarrow \widehat D = \widehat {{C_2}}\) (tính chất tam giác cân) Mà \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\) Nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat B + \widehat D\) (1) Trong ∆BCD, ta có: \(\widehat B + \widehat D + \widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(2\widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ \) Câu 76 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E. Tính tổng DE + DF. Giải Ta có: DF // AC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) (1) Lại có: ∆ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\) Hay ∆BFD cân tại F => BF = DF Nối AD. Xét ∆AFD và ∆DEA, ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {E{\rm{AD}}}\) (so le trong vì DF // AC) AD cạnh chung \(\widehat {F{\rm{D}}A} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (so le trong vì DE // AB) Suy ra: ∆ADF = ∆DAE (g.c.g) => AF = DF (hai cạnh tương ứng) Vậy: DE + DF = AF + BF = AB = 3(cm) Câu 77 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều. Giải Ta có: AB = AD + DB (1) BC = BE + EC (2) AC = AF + FC (3) AB = AC = BC (gt) (4) AD = BE = CF (gt) (5) Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra: BD = EC = AF Xét ∆ADF và ∆BED, ta có: AD = BE (gt) \(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều) AE = BD (chứng minh trên) Suy ra: ∆ADF = ∆BED (c.g.c) Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng) (6) Xét ∆ADF và ∆CFE ta có: AD = CF (gt) \(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều) EC = AF (chứng minh trên) Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c) Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7) Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE Vậy ∆DEF đều. Câu 78 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE Giải Ta có: DI // BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong) (1) Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (2) (vì BI là tia phân giác của \(\widehat B\)) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\) \( \Rightarrow \) ∆BDI cân tại D => BD = DI (3) Mà IE // BC (gt) => \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (so le trong) (4) Đồng thời: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (Vì CI là tia phân giác của \(\widehat {{C_1}}\)) (5) Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\) => ∆CEI cân tại E \( \Rightarrow \) CE = EI (hai cạnh tương ứng) (6) Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE. Giaibaitap.me Page 18
Page 19
Câu 82 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tính cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13cm, cạnh góc vuông kia bằng 12cm. Giải Giả sử ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), BC = 13cm, AC = 12cm Theo định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) Suy ra: \({\rm{A}}{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {13^2} - {12^2} = {25^2}\) Vậy AB = 5 (cm) Câu 83 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm Giải
∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \cr} \) Vậy AB = 13 (cm) ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \cr & \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr} \) Vậy HC = 16(cm) Ta có: BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm) Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 13 + 20 + 21 = 54 (cm) Câu 84 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trên hình dưới. Giải Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = {5^2} + {1^2} = 25 + 1 = 26 \Rightarrow AB = \sqrt {26} \cr & C{{\rm{D}}^2} = {2^2} + {2^2} = 4 + 4 = 8 \Rightarrow C{\rm{D}} = \sqrt 8 \cr & A{{\rm{D}}^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow A{\rm{D}} = 5 \cr} \) Và BC = 1 Câu 85 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Màn hình của một máy thu hình có dạng hình chữ nhật, chiều rộng 12 inh-sơ, đường chéo 20 inh-sơ. Tính chiều dài. Giải Giả sử màn hình máy thu hình là hình chữ nhật ABCD, chiều rộng BC = AD, chiều dài AB = CD , đường chéo AC = BD. Ta có tam giác ABD vuông tại A Theo định lý Pytago, ta có: \(B{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}\) \( \Rightarrow A{B^2} = B{{\rm{D}}^2} - A{{\rm{D}}^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256\) Vậy AB = 16 (inh-sơ) Giaibaitap.me Page 20
Page 21
Câu 89 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC trên các hình dưới đây. a) Trên hình bên trái: AH = 7cm, HC = 2cm b) Trên hình bên phải: AH = 4cm, HC = 1cm Giải a) ∆ABC cân tại A, ta có: AB = AC = 2 + 7 = 9 Trong tam giác vuông BHA, ta có \(\widehat {BHA} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{H^2} = B{H^2} + H{A^2}\) Suy ra: \(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - {7^2} = 81 - 49 = 32\) Trong tam giác vuông BHC, ta có \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\) \(B{C^2} = 32 + {2^2} = 36 \Rightarrow BC = 6\) b) ∆ABC cân tại A nên ta có: AB = AC = 4 +1 = 5 Trong tam giác vuông BHA, ta có: \(\widehat {BAH} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{B^2} = B{H^2} + H{A^2}\) Suy ra: \(B{H^2} = A{B^2} - H{A^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9\) Trong tam giác vuông BHC, ta có \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\) \(B{C^2} = 9 + {1^2} = 10 \Rightarrow BC = \sqrt {10} \) Câu 90 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Bạn An đi từ nhà mình (A) qua nhà bạn Bảo (B) rồi đến nhà bạn Châu (C). Lúc về, An qua nhà bạn Dũng (D) rồi trở về nhà mình (hình bên). So sánh quãng đường lúc đi và quãng đường lúc về của An, quãng đường nào dài hơn. Giải Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \) \(= {600^2} + {600^2} \) \(= 360000 + 360000 \) \(= 720000\) Trong tam giác vuông ACD, ta có \(\widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \) Áp dụng đinh lý Pytago, ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{C^2} + C{{\rm{D}}^2} \) \(= 720000 + {300^2} \) \(= 720000 + 90000 \) \(= 810000\) Suy ra: AD = 900m Quãng đường ABC dài 600 + 600 = 1200 (m) Quãng đường CDA dài 300 + 900 = 1200 (m) Vậy quãng đường lúc đi và lúc về của An là bằng nhau. Câu 91 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho các số: 5; 8; 9; 12; 13; 15; 17 Hãy chọn ra các bộ ba có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải Ta có: \({5^2} = 25\) \({8^2} = 64\) \({9^2} = 81\) \({12^2} = 144\) \({13^2} = 169\) \({15^2} = 225\) \({17^2} = 289\) Ta có: 25 + 144 = 169 hay \({5^2} + {12^2} = {13^2}\) 81 + 144 = 225 hay \({9^2} + {12^2} = {15^2}\) Theo định lý đảo định lý Pytago thì bộ ba số 5;12;13 và 9;12;15 là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông. Câu 92 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới) là tam giác vuông cân. Giải Đặt độ dài cạnh ô vuông là 1 (đơn vị chiều dài) Áp dụng định lý Pytago ta có: \(\eqalign{ & {\rm{A}}{B^2} = {1^2} + {2^2} = 1 + 4 = 5 \cr & B{C^2} = {1^2} + {2^2} = 1 + 4 = 5 \cr & A{C^2} = {3^2} + {1^2} = 9 + 1 = 10 \cr} \) Suy ra: \({\rm{A}}{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) Áp dụng định lý đảo định lý Pytago ta có ∆ABC vuông tại B. Suy ra: \({\rm{A}}{C^2} = B{C^2} = 5\) \( \Rightarrow \) AB = BC. Vậy ∆ABC vuông cân tại B. Giaibaitap.me Page 22
Câu 93 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A. Giải Xét tam giác vuông ADB và ADC, ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{D}}C} = 90^\circ \) AB = AC (gt) AD cạnh chung Suy ra: ∆ADB = ∆ADC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng) Vậy AD là tia phân giác \(\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) Câu 94 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Giải Xét hai tam giác vuông ADB và AEC, ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \) AB = AC (gt) \(\widehat {DAB} = \widehat {E{\rm{A}}C}\) \( \Rightarrow \) ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: AD = AE (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông ADK và AEK, ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}K} = \widehat {A{\rm{E}}K} = 90^\circ \) AD = AE (chứng minh trên) AK cạnh chung Suy ra: ∆ADK = ∆AEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: \(\widehat {DAK} = \widehat {E{\rm{A}}K}\) (2 góc tương ứng) Vậy AK là tia phân giác của góc BAC. Câu 95 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác của góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng: a) MH = MK b) \(\widehat B = \widehat C\) Giải a) Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có: \(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \) Cạnh huyền AM chung \(\widehat {HAM} = \widehat {K{\rm{A}}M}\) (gt) \( \Rightarrow \) ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng) b) Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) MH = MK (chứng minh trên) MC = MB (gt) Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: \(\widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng) Giaibaitap.me Page 23
Câu 99 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng: a) BH = CK b) ∆ABH = ∆ACK Giải a) Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân) Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên) BD = CE (gt) Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng) Xét hai tam giác vuông BHD và CKE, ta có: \(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \) BD = CE (gt) \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆BHD = ∆CKE (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng) Xét tam giác vuông AHB và ACK, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \) AB = AC (gt) BH = CK (chứng minh trên) Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC. Giải Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\) Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có: \(\eqalign{ & \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \cr & \widehat {DBI} = \widehat {EBI}\left( {gt} \right) \cr} \) BI cạnh huyền chung \( \Rightarrow \) ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ; \(\eqalign{ & \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr & \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \) CI canh huyền chung Suy ra: ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có: \(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \) ID = IF (chứng minh trên) AI cạnh huyền chung Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: \(\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng) Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat A\) Câu 101 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK. Giải Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có: BM = CM (gt) \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \) MI cạnh chung Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c) \( \Rightarrow \) IB = IC (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có: \(\eqalign{ & \widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} = 90^\circ \cr & \widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I}\left( {gt} \right) \cr} \) AI cạnh huyền chung Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có: \(\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \) IB = IK (chứng minh trên) IH = IK (chứng minh trên) Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Vậy BH = CK (2 cạnh tương ứng) Giaibaitap.me Page 24
Câu 96 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. Giải Ta có: \(\eqalign{ & AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\left( {gt} \right){\rm{ }}\left( 1 \right); \cr & {\rm{ }}AM{\rm{ }} = {1 \over 2}AB\left( {gt} \right)\left( 2 \right); \cr & AN = {1 \over 2}AC\left( {gt} \right)\left( 3 \right) \cr} \) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có: \(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \) AM = AN (chứng minh trên) AI cạnh huyền chung Suy ra: ∆AMI = ∆ANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng) Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\). Câu 97 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A. Giải Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \) AB = AC (chứng minh trên) AD cạnh huyền chung \( \Rightarrow \) ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng) Vậy AD là tia phân giác của góc A. Câu 98 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Giải Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot AC\) Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có: \(\eqalign{ & \widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \cr & \widehat {HAM} = \widehat {K{\rm{A}}M\left( {gt} \right)} \cr} \) AM cạnh huyền chung \( \Rightarrow \) ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) MH = MK (chứng minh trên) MB = MC (gt) Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: \(\widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng) Vậy ∆ABC cân tại A. Giaibaitap.me Page 25
Câu 103 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB. Giải Gọi H là giao điểm của AB và CD Nối AC, AD, BC, BD Xét ∆ACD và ∆BCD, ta có: AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau) AD = BD (bán kính hai cung tròn bằng nhau) CD cạnh chung Suy ra ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng) Xét hai tam giác AHC và BHC, ta có: AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) CH cạnh chung Suy ra: ∆AHC = ∆BHC (c.g.c) Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1) Ta có: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai cạnh tương ứng) \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2) Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB. Câu 104 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho \({\rm{D}}B = EC = {1 \over 2}DE\) a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó? b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng BM = CN. c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó. d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC. Giải Xét ∆ADE cân tại A nên \(\widehat D = \widehat E\) Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có: AD = AE (gt) \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên) DB = EC (gt) Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c) Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng) Vậy ∆ABC cân tại A. b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có: \(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \) BD = CE (gt) \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng) c) Ta có: ∆BMD = ∆CNE (chứng minh trên) Suy ra: \(\widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng) \(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh) \(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay ∆IBC cân tại I. d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có: AB = AC (chứng minh trên) IB = IC (vì ∆IBC cận tại I) AI cạnh chung Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng) Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) Câu 105 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Cho hình dưới trong đó \({\rm{AE}} \bot BC\) Tính AB biết AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m. Giải Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có: \(A{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{{\rm{C}}^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow E{C^2} = A{C^2} - A{{\rm{E}}^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \cr & \Rightarrow EC = 3\left( m \right) \cr} \) Ta có: BC = BE + EC BE = BC – EC = 9 – 3 = 6(m) Áp dụng Pytago vào tam giác vuông AEB, ta có: \(A{B^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{B^2} = {4^2} + {6^2} = 16 + 36 = 52\) Suy ra: \({\rm{A}}B = \sqrt {52} \left( m \right) \approx 7,2\left( m \right)\) Câu 106 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 Tìm các tam giác bằng nhau trên hình bên.
Giải Ta có: ∆ACB = ∆ ECD(c.g.c) ∆ACD = ∆ECB(c.g.c) ∆ABD = ∆EDB(c.g.c) ∆ABE = ∆EDA(c.g.c) Giaibaitap.me Page 26
|
