You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁNLÊ THỊ HẢI YẾNHOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬPHÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLITKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Hình họcNgười hướng dẫn khoa họcThS. PHẠM THANH TÂMHÀ NỘI - 2015Lời cảm ơnSau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉbảo tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, khóa luận của tôi đếnnay đã được hoàn thành.Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy PhạmThanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo và đóng góp nhiềuý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này.Tôi chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điềukiện tốt nhất cho tôi trong thời gian tôi làm khóa luận.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thứcnên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhậnđược sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên đểkhóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015Sinh viênLê Thị Hải YếnLời cam đoanTôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập,nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, cácbạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướngdẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm. Trong quá trình làm khóaluận tôi có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trongmục tài liệu tham khảo. Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống bài tậphình học afin và hình học Ơclit” không có sự trùng lặp với các khóaluận khác.Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015Sinh viênLê Thị Hải YếnMục lụcMở đầu11 Không gian afin1.1 Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin . . . . . . . .1.3 Phẳng trong không gian afin . . . . . . . .1.4 Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . .1.5 Tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . .1.6 Tập lồi trong không gian afin . . . . . . . .1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin . . . .1.9 Siêu mặt bậc hai afin . . . . . . . . . . . .1.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . .2 Không gian Ơclit2.1 Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . .2.2 Các phẳng trong không gian Ơclit . . . .2.3 Góc và thể tích trong không gian Ơclit . .2.4 Ánh xạ đẳng cự và phép biến đổi đẳng cự2.5 Hình học Ơclit . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Nhóm đồng dạng và hình học đồng dạng .2.7 Siêu mặt bậc hai Ơclit . . . . . . . . . .2.8 Các bất biến hàm bậc hai và ứng dụng .......... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .gian afin. . . . .. . . . .. . . . .......................................................................................3891214182021222532........3539404447525457612.9 Siêu cầu trong không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . 662.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Kết luận74Tài liệu tham khảo75Mở đầu1. Lý do chọn đề tàiToán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về chuyên ngành hìnhhọc, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trìnhtoán phổ thông.Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểusâu hơn nữa về hình học afin và hình học Ơclit, tôi đã chọn đề tài“Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình họcƠclit” làm khóa luận tốt nghiệp.2. Mục đích nghiên cứuKhóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn vềhình học afin và hình học Ơclit.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu• Nghiên cứu các bài tập hình học afin và hình học Ơclit.• Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin và hình họcƠclit.4. Nhiệm vụ nghiên cứuTrình bày hệ thống một số các bài tập cơ bản về hình học afin vàhình học Ơclit.5. Phương pháp nghiên cứuNghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đếnnội dung nghiên cứu.Chương 1Không gian afinTrong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ bản sau:1.1. Không gian afin: Cho không gian véctơ V trên trường K, tậpA = ∅ mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A −→ V.−−→Kí hiệu ϕ(M, N ) = M N với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V) gọi là khônggian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:−i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi véctơ →u ∈ V, có duy nhất điểm N ∈ A−−→ →−sao cho M N = u .−−→ −−→ −−→ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P .Không gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với khônggian véctơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K không gian afin A). Không gian véctơ liên kết V thường được kí hiệu là→−A.Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n.Khi trường K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực,khi K = C, ta nói A là không gian afin phức.1.2. Độc lập afin: Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , ..., Am (m ≥ 1)của không−−−→ −−−→−−−→→−gian afin A gọi là độc lập nếu m véctơ A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am của A làhệ véctơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm một điểm A0 bất kì (tức trườnghợp m = 0) luôn được xem là độc lập.1.3. Mục tiêu afin: Cho không gian afin n chiều A liên kết với không3Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN→−→−−−−gian véctơ A . Gọi ε = {→e1 , →e2 , ..., →en } là một cơ sở của A và O là một−−−điểm thuộc A . Khi đó tập hợp {O; ε} hay {O; →e1 , →e2 , ..., →en } là một mục−tiêu afin của A . O gọi là điểm gốc của mục tiêu, →ei gọi là véctơ cơ sởthứ i của mục tiêu.1.4. Tọa độ afin: Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin−−→ →−−−−{O; →e1 , →e2 , ..., →en }. Với mỗi điểm X ∈ A ta có véctơ OX ∈ A , và vì vậycó duy nhất n phần tử x1 , x2 , ..., xn của trường K sao cho−−→−−−OX = x1 →e1 + x2 →e2 + ... + xn →en .Bộ n phần tử (x1 , x2 , ..., xn ) đó được gọi là tọa độ điểm X đối với mụctiêu đã chọn, kí hiệu:X(x1 , x2 , ..., xn ) hay X = (x1 , x2 , ..., xn ).1.5. Phẳng trong không gian afin: Cho không gian afin A liên kết→−−với không gian véctơ A . Gọi I là một điểm của A và →α là một không→−gian véctơ con của A . Khi đó tập hợp:−−→ −α = { M ∈ A IM ∈ →α}−được gọi là cái phẳng (gọi tắt là "phẳng") qua I và có phương là →α.→−Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi làm - phẳng.1.6. Vị trí tương đối của các phẳng: Trong không gian afin An−cho p - phẳng α và q - phẳng β (với p ≤ q ) lần lượt có phương là →α và→−β.a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.−b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu →α là không gian con của→−β.c) Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau vàkhông song song với nhau.4Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINd) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của thuyết tập hợp vàgọi là giao của hai cái phẳng α và β .e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β , α + β gọi làtổng của hai cái phẳng α và β .1.7. Tâm tỉ cự: Cho k điểm P1 , P2 , ..., Pk của không gian afin A và kkλi = 0. Khi đó có duy nhấtsố thuộc trường K: λ1 , λ2 , ..., λk sao choi=1điểm G sao chok−−→ →−λi GPi = 0 .i=1Điểm G nói trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệsố λi .Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệđiểm Pi .1.8. Tập lồi trong không gian afin thực: Một tập X trong khônggian afin thực gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm P, Q thuộc X thì đoạnthẳng P Q nằm hoàn toàn trong X .1.9. Đơn hình m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm .Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M saocho (với điểm O nào đó)−−→OM =m−−→λi OPi vớii=0mλi = 1.i=0Bây giờ xét tập hợp gồm những điểm M sao cho−−→OM =m−−→λi OPi vớii=0mλi = 1 và λi ≥ 0, i = 0, 1, ..., m.i=0Tập hợp đó được gọi là m - đơn hình với các đỉnh: P0 , P1 , ..., Pm và kíhiệu là S(P0 , P1 , ..., Pm ).5Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN1.10. Hình hộp m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm .Tập hợp những điểm M sao chom−−→−−→λi P0 Pi , với 0 ≤ λi ≤ 1 được gọi là m - hộp.P0 M =i=11.11. Ánh xạ afin: Cho hai không gian afin trên trường K là A và→−→−A liên kết với không gian véctơ A và A .Ánh xạ f : A −→ A được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến→−→−→−tính f : A −→ A , sao cho với mọi cặp điểm M, N ∈ A và ảnh−−−→ →− −−→M = f (M ), N = f (N ) ta có M N = f (M N ).→−→− →−Ánh xạ tuyến tính f : A −→ A được gọi là ánh xạ tuyến tính liênkết với f.1.12. Tỉ số đơn: Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R−→−→là số λ thuộc trường K sao cho RP = λRQ, và kí hiệu là [P, Q, R].1.13. Đẳng cấu afin: Ánh xạ afin f : A −→ A giữa hai không gianafin A và A trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh.Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A nếu có đẳngfcấu afin f : A −→ A . Khi đó ta kí hiệu A ∼ A .1.14. Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A −→ A từ không gianafin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phépafin.1.15. Tương đương afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của khônggian X , H1 và H2 là hai hình nào đó của X . Khi đó hình H1 gọi là tươngđương với hình H2 (đối với nhóm F , hay còn gọi là F - tương đương)nếu có phép biến đổi f ∈ F sao cho f (H1 ) = H2 , ta kí hiệu: H1 (F )H2 .∼1.16. Bất biến afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gianX , và H là một hình trong X . Một tính chất nào đó của hình H sẽ gọilà bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H tương đương với hình H(đối với nhóm F ) đều có tính chất đó.Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af (A) của không gian afin6Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINA thường gọi là tính chất afin.1.17. Siêu mặt bậc hai: Trong không gian afin An trên trường số−−−thực chọn mục tiêu afin {O;→e1 , →e2 , ..., →en }. Cho phương trình bậc hai:nnai xi + a0 = 0aij xi xj + 2(1)i=1i,j=1trong đó các hệ số aij , ai , a0 đều là số thực, các aij không đồng thời bằngkhông và aij = aji.Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho tọa độ (x1 , x2 , ..., xn )của nó thỏa mãn phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác địnhbởi phương trình đó.Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) thì phươngtrình (1) gọi là phương trình của (S).Với n = 2 và n = 3, các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đườngbậc hai và mặt bậc hai.1.18. Tâm của siêu mặt bậc hai: Tâm của siêu mặt bậc hai (S)là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì phương trình của (S) códạng:naij xi xj + a0 = 0i,j=1hay viết dưới dạng ma trận làxt Ax+a0 = 0 với A = (aij ).1.19. Điểm kì dị của siêu mặt bậc hai: Một điểm I gọi là điểmkì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I ∈ (S) và I là tâm của (S).7Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINBÀI TẬP1.1Không gian afin→−→−Bài tập 1.1.1. Cho (A,ϕ, A ) và (A ,ϕ , A ) là hai không gian afin trêntrường K, xét ánh xạ:−→− →φ : ((A × A ) × (A × A )) −→A ×A((M, M ), (N, N ))→ (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).→−→−Chứng minh rằng (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trêntrường K (gọi là tích trực tiếp của hai không gian afin A và A ).Bài giải−→− →Ta có (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K vì nóthỏa mãn hai tiên đề sau, thật vậy:a) Tiên đề về phép đặt vectơ.→−−→− →−Với mọi (M, M ) ∈ A × A và mọi (→u , u ) ∈ A × A suy ra tồn tạiduy nhất cặp điểm (N, N ) ∈ A × A sao cho→−−ϕ(M, N ) = →u , ϕ (M , N ) = u⇒ ((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ.→−+) Vì (A, ϕ, A ) là không gian afin nên:∀M, N, P ∈ A : ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ).→−+) Vì (A , ϕ , A ) là không gian afin nên:∀M , N , P ∈ A : ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ) = ϕ (M , P );∀(M, M ), (N, N ), (P, P ) ∈ A × A .Suy raφ[(M, M ), (N, N )] + φ[(N, N ), (P, P )]= (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )) + (ϕ(N, P ), ϕ (N , P ))= (ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ), ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ))= (ϕ(M, P ), ϕ (M , P ))8Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN= φ[(M, M ), (P, P )].−→− →Vậy (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K.Bài tập 1.1.2. Chứng minh rằng nếu M0 , M1 , ..., Mm là hệ m + 1 điểmđộc lập thì điều kiện cần và đủ để hệ m + 2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1không độc lập là với điểm O tùy ý ta có:−−→OM m+1 =mm−−→λi OMi vớii=0λi = 1.i=0Bài giải−−−→ −−−→−−−−→Hệ M0 , M1 , ..., Mm độc lập khi và chỉ khi hệ véctơ M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mmđộc lập tuyến tính. Hệ m+2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1 không độc lập.−−−→ −−−→−−−−−−→Suy ra { M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mm+1 } phụ thuộc tuyến tính.Suy ra tồn tại các ti không đồng thời bằng không sao chom−−−−−−→−−−→M0 Mm+1 =ti .M0 Mi (với các điểm O tùy ý)i=1−−→ −−−−−→⇒ M0 O + OMm+1 =−−−−−→⇒ OMm+1 = (1 −m−−→ −−→ti .(M0 O + OMi )mi=1−−→ti ).OM0 +i=1mi=1mti , λi = ti , i = 1, 2, ..., m ⇒Đặt λ0 = 1 −−−→ti OMi .mi=1λi = 1.i=1Suy ra có điều phải chứng minh.1.2Mục tiêu afin và tọa độ afin−−−Bài tập 1.2.1. Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin {O; →e1 , →e2 , →e3 } .→−→−→−→−→−→−Chứng tỏ rằng {O; e1 + e2 , e2 + e3 , e3 + e1 } cũng là mục tiêu afin. Hãyviết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai.Bài giải−→ →−→−→ − →−−−Đặt e 1 = −e1 + →e2 , e 2 = →e2 + →e3 , e 3 = →e3 + −e1 thì ma trận C chuyển−→−→−→−−−từ cơ sở ε = {→e1 , →e2 , →e3 } sang hệ ε = e 1 , e 2 , e 3 là9Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN1 0 1C = 1 1 0 . Ta có det C = 2 = 0.0 1 1Suy ra ε là một cơ sở của không gian afin A3 .→→ −−→ −Do đó O; e 1 , e 2 , e 3 là mục tiêu afin.Cho (x1 , x2 , x3 ), (x1 , x2 , x3 ) lần lượt là tọamục tiêu {O, ε} và {O, ε }.Công thức đổi mục tiêux1x1 x2 = C. x 2 ⇔x3x3độ của điểm X trong haix1 = x 1 + x 3x2 = x 1 + x 2 .x3 = x 2 + x 3Bài tập 1.2.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin−−−−{O; →e1 , →e2 , →e3 , ..., →en }(I)j−→→−Đặt e =e , j = 1, .., n. Chứng tỏ rằng với i ≤ j thìjii=1−→ −→−→(II){O; e 1 , e 2 , ..., e n }cũng là mục tiêu afin. Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I)sang mục tiêu (II).Bài giải−→ −→−→−−−e1 , →e2 , ..., →en }Ma trận tọa độ của hệ ε = e 1 , e 2 , ..., e n với cơ sở ε = {→là1 1 ... 1 0 1 ... 1 C= . Ta có det C = 1 = 0 . ... ... ... ... 0 0 ... 1−→ −→−→Do đó ε = e 1 , e 2 , ..., e n là một cơ sở.−→ −→−→Suy ra O; e 1 , e 2 , ..., e n là một mục tiêu afin.10Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINCông thức đổi mục tiêunxix=1i=1nxi .x=2x = Cx ⇔i=2...............xn = x nBài tập 1.2.3. Trong không gian afin 2 chiều A2 trên trường số thực R−→ −→−−cho mục tiêu: {O, →e1 , →e2 } (I) và O , e 1 , e 2 (II). Đối với mục tiêu (I)ba điểm P, Q, R có tọa độ là P = (2, 1), Q = (1, 1), R = (1, −1). Đối vớimục tiêu (II) chúng có tọa độ là P = (6, −2), Q = (4, −1), R = (2, −3).Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II).Bài giải+)Cách 1 : Ta viết được−−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→OO = OP − O P = OQ − O Q = OR − O R−→−→−−= 2→e1 + →e2 − 6e 1 + 2e 2−→ −→−−=→e1 + →e 2 − 4e 1 + e 2−→−→−−=→e −→e − 2e + 3 e .1Giải ra được212−→ 1−1−e1 = →e1 + →e233−→1−2−e2 =− →e1 + →e2 .33−→2−1−−OO = − →e1 + →e233112 x1 = x 1 − x 2 −333Suy ra công thức đổi tọa độ là121 . x1 = x 1 + x 2 +33311Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN+)Cách 2 : Giả sử công thức đổi tọa độ làx1 = a1 x 1 + a2 x 2 + a0.x2 = b1 x 1 + b2 x 2 + b0Với điểm P ta có2 = 6a1 − 2a2 + a01 = 6b1 − 2b2 + b0(1)(2)Với điểm Q ta có1 = 4a1 − a2 + a01 = 4b1 − b2 + b0(3)(4)1 = 2a1 − 3a2 + a0(5)−1 = 2b1 − 3b2 + b0(6)12Từ (1), (3), (5) ta có a1 = −a2 = , a0 = − .33121Từ (2), (4), (6) ta có b1 = , b2 = , b0 = .333Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm.Với điểm R ta có1.3Phẳng trong không gian afinBài tập 1.3.1. Trong không gian afin A cho m - phẳng α và điểm P ∈/ α.Chứng minh rằng có (m + 1) - phẳng duy nhất chứa α và P .Bài giảiTa có α là m - phẳng đi qua (m + 1) điểm độc lập A0 , A1 , ..., Am và→−điểm P ∈/ α. Gọi β là không gian véctơ (m + 1) chiều mà→−−−−→ −−−→−−−→ −−→β = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P .→−β là (m + 1) - phẳng đi qua A0 có phương là β . Rõ ràng β đi qua P .−−−→ −−−→−−−→−Ta có m - phẳng α đi qua A0 phương →α = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am nênα ⊂ β. Nếu có (m + 1) - phẳng β thỏa mãn điều kiện đầu bài thì khiđó→−→−−−−→ −−−→−−−→ −−→β = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P = β ,và đi qua A0 suy ra β = β .12Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN−−−Bài tập 1.3.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin {O; →e1 , →e2 , ..., →en }−→−và các điểm Pi với OP i = ai →ei (ai = 0)(i = 1, 2, ..., n). Chứng minh rằngn điểm P1 , P2 , ..., Pn độc lập và phương trình siêu phẳng đi qua n điểmấy có thể viết dưới dạng:xnx1 x2++ .... += 1.a1 a2anBài giải−→−−→−−→ −−→−Ta có OP i = ai →ei (ai = 0)(i = 1, 2, ..., n). P1 Pi = OPi − OP1 =−−−−−ai →ei − a1 →e1 , i = 2, ..., n. Đặt →µ i = ai →e i − a1 →e1 ta cón−ti →µi =i=2⇒Hện→−−−ti (ai →ei − a1 →e1 ) = 0i=2 ai ti = 0, i = 2, ..., nn −aiti = 0⇒ t1 = .... = tn = 0.i=2−−→ −−→−−→P1 P2 , P1 P3 , ..., P1 Pnđộc lập tuyến tính nên P1 , P2 , ..., Pn xácđịnh một siêu phẳng α có phương trìnhu1 x1 + u2 x2 + ... + un xn = b.Vì O ∈/ α nên suy ra b = 0 do đó ta cóu2unu1(1) ⇔ x1 + x2 +....+ xn = 1.bbbPi có tọa độ thứ i bằng ai còn các tọa độ khác bằng không nên1ui= .baix1 x2xnTừ (2) suy ra++ ... += 1.a1 a2an(1)(2)Bài tập 1.3.3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và siêu phẳngcho bởi các phương trình sau đây:x1 − b1x2 − b2xn − bn== ... =vàa1a2an13Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânnci xi + d = 0.i=1CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINBài giảiTrong không gian afin A đường thẳng ∆ có phương trìnhx1 − b1x2 − b2xn − bn== ... =a1a2anvà siêu phẳng α có phương trìnhn(1)nci xi + d = 0.(2)i=1Đặtxi − bi⇒ xi = tai + bi ; i = 1, ..., n.aiThế vào (2) ta đượct=ntnc i ai +i=1ci bi + d = 0.(3)i=1n•ci ai = 0.i=1nci bi + d = 0 tức là (3) đúng với ∀t ⇒ ∆ ⊂ α.Nếui=1nci bi + d = 0 ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ ∆ không cắt α.Nếui=1nci b i + dn•ci ai = 0 ⇒ t = −i=1i=1⇒ ∆ cắt (α) tại M (x1 , ..., xm ) duync i aii=1nhất, với xi = ai t + bi (i = 1, ..., n).1.4Vị trí tương đối của các phẳngBài tập 1.4.1. Cho tập M gồm m + 1 điểm độc lập của không gian afinAn (m < n). Gọi N và N là hai tập con không rỗng của M và khônggiao nhau. Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và α sao choN ⊂ α và N ⊂ α .Bài giải14Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINKhông làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết:M là tập gồm m + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pm ;N là tập gồm r + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pr ;N là tập gồm m − r điểm Pr+1 , ..., Pm .Cả ba hệ điểm trên đều độc lập.n−−→−−→ti P0 Pi ⇒ N ⊂ α;α = X : P0 X =i=1m−r−1−−−−→−−−−−−−→Y : Pr+1 Y =1k Pr+1 Pr+1+k ⇒ N ⊂ β;k=1→−→−có thể giả thiết dim α ≥ dim β .→−−+ Nếu α//β ⇒ β ⊂ →α.−−−−−−−→−−→−−→⇒ Pr+1 Pr+1+k biểu thị tuyến tính qua P0 P1 , ..., P0 Pr−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−→⇒ P0 Pr+1+k = Pr+1 Pr+1+k + P0 Pr+1r−−→−→t i P0 Pi .⇒ P0 I =β=i=1Suy ra hệ điểm P0 , P1 , ..., Pr , Pr+1 , Pr+1+k không độc lập.Điều này trái với giả thiết.Nếu α ∩ β = ∅. Lấy I ∈ α ∩ β , ta cór−−→−→ti P0 Pi ;P0 I =i=1m−r−−−→Pr+1 I =−−−−−−−→1k Pr+1 Pr+1+k .(1)(2)k=1Lấy (1) trừ (2) suy ra−−−→IPr+1 =r−−→ m−r −−−−→ −−−−−−→ti P0 Pi −1k (Pr+1 P0 + P0 Pr+1+k ).i=1k=1Suy ra hệ P0 , P1 , ..., Pm không độc lập (trái với giả thiết).Trường hợp tổng số điểm trong N và N nhỏ hơn (m + 1) thì chứngminh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N .Bài tập 1.4.2. Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian afin An .Chứng minh rằng:→−−→ →a) α∩β = ∅ khi và chỉ khi với mọi P ∈ α, mọi Q ∈ β có P Q ∈/−α+β,→−−→ →hoặc khi và chỉ khi có P ∈ α, Q ∈ β để P Q ∈/−α + β.15Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN−b) Nếu lấy P ∈ α và Q ∈ β và gọi →γ là không gian véctơ con một−→chiều gây bởi bởi véctơ P Q, thì−−−→ − →−α ∩ β = ∅ khi và chỉ khi α + β = →α + β−−−→→−−−α ∩ β = ∅ khi và chỉ khi α + β = (→α + β)⊕→γ.Bài giải−−→ − →a) Giả sử α ∩ β = ∅ mà có P ∈ α, Q ∈ β sao cho P Q ∈ →α + β thì→−→−→−−→−−−có thể viết P Q = →a + b với →a ∈→α , b ∈ β . Lấy điểm A ∈ α sao→−−−→−→ −→−→ →−cho P A = →a thì b = P Q − P A = AQ ∈ β . Do đó A ∈ β , suy raα ∩ β = ∅, điều này trái với giả thiết. Vậy với mọi điểm P ∈ α, Q ∈ β→−−→ →đều phải có P Q ∈/−α + β.→−−→ →Ngược lại, nếu có P ∈ α, Q ∈ β sao cho P Q ∈/−α + β mà α∩β = ∅ thì−−→ −→ −→ − →lấy một điểm chung A ∈ α ∩ β , ta có P Q = P A + AQ ∈ →α + β , nhưng→−→−−→ →−→ →điều này mâu thuẫn với giả thiết P Q ∈/−α + β . Vậy từ P Q ∈/−α + βphải suy ra α ∩ β = ∅.−−−→ − →−b)+ Nếu α ∩ β = ∅ thì hiển nhiên α + β = →α + β.−−−→ − →−Ngược lại, α + β = →α + β.−−−→ − →−→ − →−−Vì P ∈ α, Q ∈ β nên P Q ∈ →α + β ⇒ PQ = →a + b . Vì →a ∈→αnên có duy nhất điểm I ∈ α sao cho→−−→ −−→ −→ −→PI = →a ⇒ b = P Q − P I = IQ ⇒ I ∈ β ⇒ α ∩ β = ∅.→−−→ →+ Nếu α ∩ β = ∅ ⇔ ∀P ∈ α, ∀Q ∈ β ⇒ P Q ∈/−α + β−−−→→−−−⇒ α + β = (→α + β)⊕→γ.−−−→→−−−−→→−−Ngược lại, giả sử α + β = ( α + β ) ⊕ →γ . Nếu α ∩ β = ∅ ⇒ α + β =→−→−α + β . Điều này trái với giả thiết. Vậy α ∩ β = ∅.Bài tập 1.4.3. Cho hai siêu phẳng α và α có phương trình lần lượt là:nnai xi + b = 0 vài=1a i xi + b = 0.i=1a) Tìm điều kiện để α và α cắt nhau, để α và α song song, để α vàα chéo nhau, để α và α trùng nhau.b) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của các siêu phẳng đi quaα ∩ α (nếu có) hoặc song song với α và α (nếu α ∩ α = ∅) có thể viết16Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINdưới dạng:nλn= 0 với |λ| + |µ| = 0.a i xi + bai x i + b + µi=1i=1Người ta gọi phương trình đó là phương trình chùm siêu phẳng xácđịnh bởi α và α .Bài giảia) Hai siêu phẳng α và α có phương trình lần lượt là:nna i xi + b = 0.ai xi + b = 0 vài=1i=1Suy ra→−−α = {→x (x1 , ..., xn ) thỏa mãnnai x i = 0(1)};i=1n→−−α = {→y (y1 , ..., yn ) thỏa mãna i yi = 0(2)}.i=1→−−+ α//α ⇔ →α ≡ α ⇔ (1) và (2) tương đương.→−→−α =α+α≡α ⇔có điểm chung (1) tương đương với (2)n⇔.(ai − a i )xi + b − b = 0 có nghiệmi=1+ α ∩ α ⇔ (1) và (2) không tương đương.b) Phương trìnhnλnai xi + b +µi=1+ α∩α =∅a i xi + b= 0 với |λ|+|µ| = 0.i=1n(∗) ⇔(λai + µa i )xi + λb + µb = 0.i=1Nếu λai + µai = 0, i = 1, 2, ..., n.µVới λ = 0 ⇒ ai = − ai , i = 1, 2, ..., n.λSuy ra (1) và (2) tương đương, trái với giả thiết.Do đó (*) là phương trình siêu phẳng γ .+ α ∩ α = ∅ thì α ∩ α có phương trình17Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân(∗)CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINnai xi + b = 0i=1n⇒ α ∩ β ⊂ γ.a i xi + b = 0i=1µ+ α ∩ α = ∅. Nếu λai + µai = 0, i = 1, n thì b = − bi ⇒ α ≡ αλtrái với giả thiết. Cho nên (*) là phương trình siêu phẳng γ .1.5Tâm tỉ cự của hệ điểmBài tập 1.5.1. Cho G là tâm tỉ cự của họ k điểm {P1 , P2 , ..., Pk } gắnkvới họ hệ số {λ1 , λ2 , ..., λk };λi = 0 . Cho G là tâm tỉ cự của họi=1(m − k) điểm {Pk+1 , Pk+2 , ..., Pm } gắn với họ hệ số {λk+1 , λk+2 , ..., λm };mλj = 0 . Cho G là tâm tỉ cự của họ m - điểm {P1 , P2 , ..., Pm }j=k+1mgắn với họ hệ số { λ1 , λ2 , ..., λm } ;λi = 0 . Chứng tỏ rằng khi đói=1G là tâm tỉ cự của họ hai điểm G , G gắn với họ hệ số:kλ =mλi và λ =i=1λj .j=k+1Bài giảiDo điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1 , P2 , ..., Pk } gắn với họ hệ sốk−−→ →−{λ1 , λ2 , ..., λk } nênλi G Pi = 0 .(1)i=1Tương tự vì G là tâm tỉ cự của họ (m − k) điểm {Pk+1 , Pk+2 , ..., Pm }m−−−→ →−(2)gắn với họ hệ số {λk+1 , λk+2 , ..., λm } nênλ j G Pj = 0 .j=k+1Từ (1) và (2) suy rak−−→λi G Pi +i=1mj=k+118Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân−−−→ →−λj G Pj = 0CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINk⇔−−→ −−→λi (GPi − GG ) +i=1k⇔j=k+1−−→λi GPi +i=1m⇔−−→ −−→→−λj (GPj − GG ) = 0m−−→λj GPj −mki=1−−→λi GG +i=1j=k+1−−→λi GPi =k−−→λi GG +i=1mm−−→λj GG→−= 0j=k+1−−→λj GG .(3)j=k+1Mặt khác do G là tâm tỉ cự của họ m - điểm {P1 , P2 , ..., Pm } gắn với họm−−→ →−λi GPi = 0 .(4)hệ số {λ1 , λ2 , ..., λm } nêni=1kTừ (3) và (4) suy ra−−→λi GG +i=1mm−−→ →−λj GG = 0 .j=k+1kλi = 0 nên λ =Theo giả thiếti=1(5)mλi và λ =i=1λj thỏa mãnj=k+1λ +λ = 0.(6)Từ (5) và (6) suy ra G là tâm tỉ cự của họ hai điểm G , G gắn với họhệ số λ , λ .Bài tập 1.5.2. Cho bốn điểm phân biệt P1 , P2 , P3 , P4 . Xét các đườngthẳng đi qua một trong bốn điểm đó và đi qua trọng tâm của ba điểm cònlại (có bốn đường thẳng như vậy). Lại xét các đường thẳng đi qua trungđiểm của đoạn thẳng nối hai điểm còn lại (có ba đường thẳng như vậy).Chứng minh rằng bảy đường thẳng nói trên cùng đi qua một điểm.Mở rộng bài toán cho trường hợp có m điểm phân biệt.Bài giảiGọi G là trọng tâm của hệ bốn điểm P1 , P2 , P3 , P4 .Theo Bài tập 1.5.1, G thuộc đường thẳng nối hai trung điểm của cáccạnh đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 và G thuộc đường thẳng nối đỉnhvới trọng tâm của mặt đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 suy ra bảy đườngthẳng đồng quy tại G.Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt.Chia hệ m điểm thành hai tập N và N khác ∅ và không giao nhau.19Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhânCHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFINKhi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểmtrong N đồng quy tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu.1.6Tập lồi trong không gian afinBài tập 1.6.1. Chứng minh rằng nếu M nằm giữa hai điểm P và Q thì−−→−−→M P = k M Q với k < 0.Bài giảiVì M nằm giữa hai điểm P và Q nên với điểm O bất kì ta luôn có−−→−→−→OM = αOP + (1 − α)OQ với 0 < α < 1.−−→−−→−−→−−→−−→⇔ OM = αOM + αM P + (1 − α)OM + (1 − α)M Q−−→−−→ →−⇔ αM P + (1 − α)M Q = 0−−→ α − 1 −−→⇔ MP =MQαα−1Đặt= k.αα−1 α−1<0 |
