Phương pháp kí hiệu hệ lực

Please purchase a personal license.

CHƯƠNG 2
LÝ THUYẾT VỀ HỆ LỰC
MỤC ĐÍCH:
NỘI DUNG:
§1. NGẪU LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA NGẪU LỰC.
§2. PHÂN LOẠI HỆ LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA HỆ
LỰC.
§3. THU GỌN HỆ LỰC.
§4. DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC.
§5. BÀI TOÁN THU GỌN HỆ LỰC.
§6. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG, PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG HỆ LỰC.

§1. NGẪU LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA
NGẪU LỰC
1. Ngẫu lực
Định nghĩa : Ngẫu lực là hai lực tác dụng lên một vật mà chúng
song song, ngược chiều cùng độ lớn, Kí hiệu ( F , F ′)
Các yếu tố:
F'
+) Hai lực của ngẫu F và F' :
+) Mặt phẳng tác dụng (Π):
d
+) Cánh tay đòn d:
F
Π
+) Chiều tác dụng:
+) Giá trị mômen: m = F.d = F’.d

Ngẫu lực có tác dụng làm quay (xoay) vật quanh 1 tâm hoặc 1 trục

2. Các đặc trưng tác dụng của ngẫu lực:
2.1. Ngẫu lực trong mặt phẳng (áp dụng cho hệ lực phẳng)
Định lý 1: Trong một mặt phẳng, hai ngẫu lực có cùng chiều quay
và cùng giá trị mômen thì tương đương với nhau.
Nhận xét: tác dụng của ngẫu lực trong mặt phẳng được đặc trưng
bởi chiều quay và giá trị mômen của nó.
Mô men đại số của ngẫu lực: Mômen đại số của ngẫu lực là đại
lượng đại số thay thế cho tác dụng của ngẫu lực (F, F’) trong
mặt phẳng , kí hiệu m :
m = ± Fd
m F’
A
Dấu: + ngược kđh; - cùng chiều kđh
d
B

Chú ý: 1)Tên gọi:

2) Tác dụng của ngẫu sẽ không đổi nếu ta di chuyển tùy ý nó
trong mp tác dụng

2.2. Ngẫu lực trong không gian (áp dụng cho hệ lực không gian)

Định lý 2: Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời mặt phẳng tác
dụng của ngẫu lực song song với chính nó.
Nhận xét: ngẫu lực trong không gian
được đặc trưng bởi ba yếu tố:
F’
A
+ chiều quay của ngẫu lực,
B
+ giá trị mômen.
+ phương của mặt phẳng tác dụng,

Có thể thay thế ngẫu lực như một véc tơ
Gọi là Véctơ mômen của ngẫu lực:
Là một véctơ, xác định theo
công thức toán: m = ABxF′ = BAx F
Có phương, chiều, độ lớn?

F’

§2. PHÂN LOẠI HỆ LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC
DỤNG CỦA HỆ LỰC
Dựa vào các đường tác dụng lực của hệ ta có các loại hệ lực :
Hệ lực không gian:
Hệ lực đồng qui:
Hệ lực song song:
Hệ lực phẳng:
Hệ ngẫu lực:
Hệ lực nào cũng có hai đặc trưng cơ bản sau:

1. Véctơ chính của hệ lực
*) Định nghĩa: Véctơ chính của hệ lực bằng tổng hình học các véctơ biểu
diễn lực thành phần thuộc hệ, kí hiệu R ′
n

R ' = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fk
k =1

*) Cách xác định:
=> Phương pháp hình học:
=> Phương pháp giải tích:
Trong hệ tọa độ Oxyz:
Fk = X k i + Yk j + Z k k

Véc tơ lực:

…
Fn

k =1

Hình chiếu: R ′x = ∑ X k , R ′y = ∑ Yk , R ′z = ∑ Z k

A2
A

…
R’

An-1
An

R = R ′x + R ′y + R ′z

R ′y
R ′x
R ′z
′
; cos(R ′, Ox) =
; cos( R , Oy ) =
Góc nghiêng: cos(R ′, Ox ) =
R′
R′
R′

2. Mô men chính của hệ lực
2.1. Mômen chính của hệ lực phẳng
a) Mômen của lực lấy đối với tâm O trong mặt phẳng: là đại lượng
đại số, đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh tâm đó, xác định
theo công thức:

mO ( F ) = ± Fd

+ Dấu:
+ Độ lớn:
*) Chú ý: mO (F) = 0

mO(F)
O

F
d
A
P

b) Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một tâm: bằng tổng đại số
các mômen của các lực thuộc hệ lấy đối với tâm đó.
n

M O = ∑ mO (Fk )
k =1

2.2. Véctơ mômen chính của hệ lực không gian
a) Véctơ mômen của lực đối với một tâm trong không gian: là đại lượng
vật lý đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh tâm đó, và được xác
định theo công thức: m O (F) = OAxF
mO( F )
+ Có hướng theo quy tắc bàn tay phải
+ Độ lớn : mO(F) = F.d (N.m)
Nếu đặt vào tâm O một hệ trục cố định Oxyz

thì ta có công thức giải tích:
i
j
k

m O (F) = x A

A
d

F
P

b) Véctơ mômen chính của hệ lực không gian đối với một tâm:
n
bằng tổng hình học các véctơ mômen của các lực
M O = ∑ m O (Fk )
thuộc hệ lấy đối với tâm đó.

k =1

mz(F)
A
F’
O

2.3 Mômen của hệ lực lấy đối với một trục
a) Mômen của một lực lấy đối với một trục: là
đại lượng đại số, đặc trưng cho tác dụng làm
quay vật quanh trục đó, được xác định theo công
thức:
m (F) = ± F ′d
z
Trong đó, F′ = hch ⊥( π ) [F] ; (π) ┴ z, (π) x z = O

d = k/c từ O đến đ/thẳng chứa F′

Dấu “+”: chiều dương; “ – ”: Chiều âm

Chú ý: mz (F) = 0
n
b) Mômen chính của hệ lực đối với một trục: bằng tổng
M z = ∑ m z ( Fk )
các mômen của các lực thuộc hệ lấy đối với trục đó:
k =1
Chú ý: Đặt vào O hệ trục Oxyz, ta có các mô men chính của
hệ lực lấy đối với các trục tọa độ: M x , M y , M z

2.4. Liên hệ mômen của lực đối với một tâm và mômen của
lực đối với một trục
Định lý: Mô men của một lực đối với một trục bằng hình chiếu của
véc tơ mômen lực đối với tâm nằm trên trục lên trục đó. Gọi O là
điểm thuộc trục z, cho lực F ta có:
mz (F) = hcz mO (F)

[

]

Áp dụng: Từ định lý, qua O dựng hệ trục Oxyz, ta có:
m O ( F) = m x ( F). i + m y ( F). j + m z ( F).k

=> ∑ m O ( Fk ) = ∑ m x (Fk ). i + ∑ m y ( Fk ). j + ∑ m z ( Fk ).k
M O = M x . i + M y . j + M z .k

Ví dụ 1. Cho hệ lực (F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ) đặt tại các đỉnh của hình lập

phương cạnh a ABCD.A’B’C’D’, F1 = F2 = P; F3 = F4 = P 2 , F5 = P 3
z

*) m x (F1 ) = − F1 .CC′ = −Pa;

m y ( F1 ) = 0;

C’

m z (F1 ) = F1 .C′A′ = Pa


M x = ∑ m x (Fk ) = −3Pa
k =1

5

=> M y = ∑ m y ( Fk ) = − Pa
k =1

5

M z = ∑ m z (Fk ) = 3Pa
k =1


A’

B’

F1
D’

A
C
x

=> M A = −3Pa i − Pa j + 3Pak

F2
D

§3. THU GỌN HỆ LỰC
1. Phép dời lực song song:
Định lý: Lực F đặt tại A tương đương với lực F' song song, cùng chiều,
cùng cường độ với lực F nhưng đặt tại B và một ngẫu lực có momen
bằng momen của lực F đối với B.

B
A
F ~ ( F ′, m = mB ( F ))
m = m B (F)
2. Thu gọn hệ lực đồng quy:
F'
F
Định lý: Hệ lực đồng quy sẽ tương đương
với một lực, lực đó đạt tại điểm đồng quy
và biểu diễn bằng véctơ chính của hệ lực
F n F1
F12
đó, hoặc tương đương với hệ lực cân bằng
R
nếu véctơ chính của hệ lực đó bằng 0.
F2
O
 Đặt tại điểm đồng quy

n
R=
R = ∑ Fk

k =1

F12 ..( n −1 ) F
3

F123

3. Thu gọn hệ ngẫu lực:
Định lý:Hệ ngẫu lực bất kỳ sẽ tương đương với một ngẫu lực có véctơ
mômen bằng tổng véctơ mômen của các ngẫu lực thành phần
n

M = ∑ mk
k =1

4. Thu gọn hệ lực không gian bất kỳ về một tâm:
Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ khi thu gọn về một tâm ta nhận
được một lực và một ngẫu lực, lực đó đặt tại tâm thu gọn và được biểu
diễn bằng véctơ chính của hệ lực, còn ngẫu lực có véctơ mômen bằng
véctơ momen chính của hệ lực đã cho đối với tâm đó.
R ′O
F1 , F2 ,..., Fn ~ RO′ , M O
MO

(

) (

)

5. Ảnh hưởng của tâm thu gọn:
Định lý: Véc tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn, còn véc tơ
mômen chính biến đổi theo tâm thu gọn theo quy luật:

M A = M O + m A ( RO′ )

nhưng hình chiếu của nó lên phương véc tơ chính lại không phụ thuộc
vào tâm thu gọn.
MO

(F , F ,..., F ) ~ (R′ , M )
(R ′ , M ) ~ (R ′ , m (R ′ ), M
(F , F ,..., F ) ~ (R ′ , M )
1

(b), (c) =>

(a)

(b)
O)

R ′O
O

(c)

M A = M O + m A (R ′O )

R ′A

m A (R ′O )

§4. DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC
1. Dạng tối giản của hệ lực không gian:
Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ tương đương với một
trong bốn dạng tối giản sau:
 R′ = 0
1) F1 , F2 ,..., Fn ~ 0 ⇔ 
M O = 0
 R′ = 0
2) F1 , F2 ,..., Fn ~ (F, F′) ⇔ 
M O ≠ 0

(

)

(

)

 R′ ≠ 0
3) F1 , F2 ,..., Fn ~ R ⇔ 
R ′.M O = 0

(

)

(

)

4) F1 , F2 ,..., Fn ~ (R 1 , R 2 chéo nhau) ⇔ R ′.M O ≠ 0

=> Định lý Varignon:
Định lý: Nếu hệ lực có hợp lực thì véctơ mômen của hợp lực đối với
một tâm bất kỳ bằng véctơ momen chính của hệ lực đối với tâm đó
mO ( R ) = M O

Ý nghĩa: Nếu hệ lực có hợp lực thì vị trí điểm đặt của hợp lực
sẽ được xác định dựa vào định lý Varignon.

=> Phương trình trục xoắn:
RO′ .M O ≠ 0

*) Định nghĩa 1: Hệ lực xoắn là hệ lực gồm một lực và một
ngẫu lực có véctơ mômen song song với véctơ lực.
*) Định nghĩa 2: Trục xoắn là đường tác dụng của lực trong hệ
trục xoắn.

⇒ Phương trình trục xoắn (tiếp)

R ′O

Có hai trường hợp:
MO
Trường hợp 1. Khi R ′O và M O cùng phương

O
M O: Gọi là mômen xoắn
Trường hợp 2. R ′O và tạo M O với nhau góc α ≠ 90o Trục xoắn
Phân tích: M O = M1 + M 2 với M1 // R ′O , M 2 ⊥ R ′O
Thay thế M 2 = ( R 1 , R 1′ ) / R 1 = −R O
(R ′O , M O ) ~ (R ′O , M1 , M 2 ) ~ (R O , R 1 , R 1′ , M1 ) ~ (R 1′ , M1 ) M O

Mômen xoắn:

M1 =

Phương trình trục xoắn:
M x − (yRz′ − zR′y ) M y − (zR′x − xR′z ) M z − (xR′y − yR′x )
=
=
Rx′
R′y
R′z

R 1′
M1

M O .R ′
R′

R 'O

R1
Trục xoắn

2. Dạng tối giản của các hệ lực khác:
Hệ lực đồng quy: Hệ lực đồng qui tương đương với hệ lực cân bằng
nếu véctơ chính bằng 0 hoặc có hợp lực nếu véctơ chính khác 0.
Hệ ngẫu lực: Hệ ngẫu lực tương đương với một ngẫu lực nếu véctơ
mômen chính khác không, hoặc tương đương với hệ lực cân bằng nếu
véctơ mômen chính khác 0.
Hệ lực phẳng: Hệ lực phẳng thu gọn về một tâm thuộc mặt phẳng:

(F , F ,..., F ) ~ (R ′ , M
1

)

Hệ lực phẳng sẽ tương đương với một trong ba dạng tối giản sau:
 R′ = 0
1) F1 , F2 ,..., Fn ~ 0 ⇔ 
M O = 0

(

)

(

)

2) F1 , F2 ,..., Fn ~ R ⇔ R ′ ≠ 0

 R′ = 0
3) F1 , F2 ,..., Fn ~ MO ⇔ 
M O ≠ 0

(

)

2. Dạng tối giản của các hệ lực (tiếp)
Hệ lực song song: Có R ′O ⊥ M O => R ′O .M O = 0 , nên nó tương đương:
Tương đương với hệ lực cân bằng nếu véctơ chính bằng 0 và
mômen chính bằng 0.
Tương đương với một lực nếu véctơ chính khác 0.
Tương đương với một ngẫu lực nếu véctơ chính bằng 0 và mômen

chính khác 0.
Hệ lực song song cùng chiều sẽ có hợp lực.
(*) Áp dụng tìm hợp lực của hệ lực phân bố:
Hệ lực phân bố: là hệ lực song song cùng chiều được phân bố
theo quy luật nào đó trên một miền xác định của vật

Áp dụng tìm hợp lực của hệ lực phân bố (tiếp):
Xét hệ lực phân bố phẳng:
q(x) là phân bố lực tại vị trí x, đơn vị N/m
Hợp lực Q của hệ lực có:
+) Phương chiều: như hệ lực phân bố
L

+) Độ lớn: Q = ∫ q( x )dx
0

+) Điểm đặt:

Cách A: d =

q(x) Q

x
d

∫ q(x ).xdx

0
L

∫ q(x)dx

Trường hợp đặc biệt 1.
P/C: hvẽ
0
d

Hệ lực phân bố đều q0: thu gọn: Q = Q = q 0 L
 d = L/2

qmax
Trường hợp đặc biệt 2.
A
Hệ lực phân bố tam giác qmax: 
d
P/C: hvẽ


q L
Thu gọn:
Q = Q = max
2

 d = L/3

B
L

§5. BÀI TOÁN THU GỌN HỆ LỰC
1. Bài toán: Cho hệ lực bất kỳ. Hãy xác định dạng tối giản của hệ lực
đó.
2. Phương pháp giải:
Xác định hai đại lượng là véctơ chính và véctơ mômen chính đối với
một tâm nào đó.
Dựa vào chúng để nhận biết dạng tối giản của hệ lực.
Nếu hệ lực có hợp lực ta dùng định lý Varignon để xác định điểm
đặt hợp lực.
Nếu hệ lực tương đương với hệ lực xoắn, ta xác định phương
trình trục xoắn và mômen xoắn.

Ví dụ 1. Cho hệ lực (F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ) đặt tại các đỉnh của hình lập
phương cạnh a, ABCD.A’B’C’D’, F1 = F2 = F3 = F4 = P

z A’

Thu gọn hệ lực.

B’

C’
Véctơ chính: R ′ = 0 i + P 2 j + P 2k
Véctơ mômen chính/A: M A = 0 i − Pa 2 j + Pa 2k
A
Tích: M A .R ′ = 0.0 + (− Pa 2 ).P 2 + Pa 2 .P 2 = 0
F2
Hệ lực có hợp lực
F3
C
+) Độ lớn R = R ′x 2 + R ′y2 + R ′z2 = 2P
x

D’

+) Điểm đặt lực. Gọi N(x,y,z) là điểm đặt của lực
Ta có: m A (R ) = M A => AN × R = M A
i
j
x
y
0 P 2

k
z
P 2

= (0,−Pa 2 , Pa 2 )

y − z = 0

 x = a Là đường thẳng chứa N.

Ví dụ 2. Trọng lực của một tháp truyền hình với móng bê tông nặng G =

14tấn. Lực căng của dây ăng ten F = 2tấn và hợp lực của áp lực gió P = 5tấn.
Biết F // Oy, P // Ox , H = 15m, h = 6m.
z
F
Hãy thu gọn hệ lực về tâm O của đáy móng và kết luận bản
chất của hệ lực trên.
P

Bài giải: R ′ = 50 i + 20 j − 140k
M O = −300 i + 300 j − 0k
R O ' ≠ 0;

R O '.M O = −9000KN 2 m

H
G

Hệ lực xoắn
x

+) Phương trình trục xoắn:
− 30 + 14 y + 2 z 30 − 5 z − 14 x 2 x − 5 y
=
=
5
2
14
+) Mômen xoắn M1
M O .R ′ 9000
M1 =
=
= 60KNm
150
R′

h
y

§ 6. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG, PHƯƠNG TRÌNH CÂN
BẰNG HỆ LỰC
Hệ lực không gian
Điều kiện cân bằng tổng quát:
n

m O (Fk ) = 0
M O = k∑
=1
F1 , F2 ,..., Fn ~ 0 ⇔ 
n
n
n
R ′ = ∑ X . i + ∑ Y . j + ∑ Z .k = 0
k
k
k

k =1
k =1
k =1