Hàm lũy thừa là gì

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo \(\alpha\): 

- Nếu \(\alpha\) nguyên dương thì tập các định là \(R\).

- Nếu \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha  = 0\) thì tập các định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Nếu \(\alpha \) không nguyên thì tập các định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có tập xác định là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập xác định \(R\), trong khi đó các hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},y = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều có tập xác định \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hay \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai mọi \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\)

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha  - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\) và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có đạo hàm tại mọi \(x\) khác \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

nếu \(u= u(x) \ne 0\) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác định của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và trên tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định \(R\). Trên khoảng \((0; +∞) \) ta có \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), do đó \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).

Công thức này còn đúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không có đạo hàm tại \(x= 0\).

Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định là \([0;+∞)\), không có đạo hàm tại \(x= 0\) và có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) tính theo công thức:

\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]

Tóm lại, ta có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với mọi \(x\) làm cho hai vế có nghĩa.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm có đạo hàm trên khoảng \(J\) và thỏa mãn điều kiện \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì

\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]

6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng \((0; +∞)\)

Chú ý: Khi khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng \((0; +∞)\) như trên).

Luỹ thừa của luỹ thừa là một dạng đặc biệt trong phần kiến thức luỹ thừa lớp 12. Có công thức phức tạp hơn, cách biến đổi cần nhiều bước và sáng tạo hơn luỹ thừa dạng cơ bản, tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải thì các bài toán dạng này không hề khó giải.

Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:

Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa - luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết

1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa

Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần. 

Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.

Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại luỹ thừa

Như chương trình THPT đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a^0$ thì $a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản

Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức: 

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
  • Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
  • Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$
• So sánh cùng số mũ:
  • Với số mũ dương $n>0: a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$
  • Với số mũ âm $n<0: a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:

Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

• Luỹ thừa của số e:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$ 

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm ngược của hàm $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu $a$ là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$

2. Luỹ thừa của luỹ thừa

2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?

Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của luỹ thừa như sau: 

Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $(a^n)^m$

2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa

Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:

$(a^m)^n=a^{m.n}$

2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa

VD1:

Lời giải

Chọn A

Ta có 

VD2.

Lời giải

3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa áp dụng

Để thành thạo các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần ghi nhớ về luỹ thừa của luỹ thừa. Chúc các em luôn học tốt nhé!